【摘要】：作為一種非常重要的數(shù)學(xué)模型,積分方程被廣泛應(yīng)用在流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電動(dòng)力學(xué)、電磁場(chǎng)理論、輻射學(xué)、生物學(xué)以及人口問(wèn)題當(dāng)中,非線性Fredholm積分方程作為積分方程的一個(gè)重要分支被許多學(xué)者研究.由于積分方程的未知項(xiàng)在積分當(dāng)中,難以用一個(gè)精確的解析表達(dá)式給出.因此在實(shí)際應(yīng)用中,選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法求解積分方程顯得尤為重要.眾所周知,譜方法的原理是把解近似地展開(kāi)成正交多項(xiàng)式的有限級(jí)數(shù)形式,即解的近似譜展開(kāi)式,再根據(jù)解的近似譜展開(kāi)式以及原方程,求出解的近似譜展開(kāi)式的系數(shù)方程組.因此級(jí)數(shù)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)越多,譜方法的精度就越高,快速傅里葉變換的不斷發(fā)展促進(jìn)著譜方法的計(jì)算量不斷減少,不需要取太多的項(xiàng)數(shù)就可以達(dá)到預(yù)期的高精度.已有文獻(xiàn)將譜方法運(yùn)用到積分方程的求解問(wèn)題中,并獲得較高的精度、穩(wěn)定性與收斂性。但現(xiàn)有研究未涉及非線性Fredholm積分方程Jacobi譜配置方法的求解問(wèn)題,為此本文將Jacobi譜方法應(yīng)用于非線性Fredholm積分方程中求解,得到非線性弱奇異Fredholm積分方程的高精度逼近.首先,本文給出Fredholm積分方程的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀以及配置法、正交多項(xiàng)式、譜方法等預(yù)備知識(shí),為下文介紹Jacobi譜配置法做鋪墊.其次,詳細(xì)介紹Jacobi譜配置法求解非線性弱奇異Fredholm積分方程的具體算法,將弱奇異函數(shù)吸收進(jìn)權(quán)函數(shù)中,用Jacobi-Gauss求積公式來(lái)離散積分,以及用牛頓迭代法處理非線性部分的具體過(guò)程.最后對(duì)給出的數(shù)值格式進(jìn)行理論分析,分別給出在L∞范數(shù)與L2范數(shù)下的收斂性分析,理論證明Jacobi譜配置解的L∞誤差與L2誤差都呈指數(shù)收斂,最后給出不同的數(shù)值例子分別驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性與方法的有效性.
【圖文】：

０．０５邋［？邐－ｉ逡逑ｓｓ＾邐邋，0ｉ￣ａ，￣ｓ￣ｓ￣＾￣ｓ￣？￣？￣ｂ逡逑（ａ）邋Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ邋ｓｏｌｕｔｉｏｎ邋ａｎｄ邋Ｅｘａｃｔ邋ｓｏｌｕｔｉｏｎ邐（ｂ）邋Ｔｈｅ邋ｅｒｒｏｒｓ邋ｕ邋—邋Ｕ邋ｖｅｒｓｕｓ邋ｔｈｅ邋ｎｕｍｂｅｒ邋ｏｆ邋ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎ逡逑ｐｏｉｎｔｓ邋ｉｎ邋Ｌ°°邋ｎｏｒｍｓ逡逑＿邋２邋Ｎ＝５０時(shí)例４．２的真解與數(shù)值解擬合圖像：（ｆｅ）與ＩＴ誤疊圖像（：右：）逡逑可以驗(yàn)證是上述方程的真解．圖２邋Ｆｉｇ．ａ展亦；了真解與Ｊａｃｏｂｉ譜逡逑配置解的擬合程度ｊ人圖中可以看出用Ｊａｃｏｂｉ譜配置解與真解具有很好的擬合性．逡逑Ｆｉｇ．ｂ表明了Ｌ￣誤差的收斂情況，可以看出誤差是成指數(shù)收斂的．逡逑例４．３考慮弱：奇異Ｆｒｅｄｈｏｌｍ積分方程如下逡逑．、邐ｆ１邋１邐、逡逑ｘ（ｔ）邋＝ｇ（ｔ）＋邋／邋邐邐－ｒ＾ｃｏｓ＾＋ｘ＾））＾，邋０＜／＜邋１，逡逑Ｊ0邋＼ｓ－ｔｙ＇１逡逑已知ｘ⑷＝ｍｓ（ｆ）是該方程的真解，將ｘ（ｆ）邋＝ｍｓ．（？）代入上式可求得．逡逑５０逡逑ｒ邐邐邐邐邐邋——－１０－３邐邐邐邐邐邐邐邐邐邐邐邐邐邋■

第５章邋Ｊａｃｏｂｉ譜配置法在Ｌ２空間的誤差分析逡逑線性的Ｆｒｅｄｈｏｌｍ．積分方程．，而例５．２，例５：３是解光滑與解弱奇異的非線性Ｆｒｅｄｈｏｌｍ逡逑積分方程，我們繪制出了況＝１０，１５，２０，２５，３０，３５，，４０，４５，５０的誤差圖，可以發(fā)現(xiàn)該方逡逑法在Ｌ２空間上成指數(shù)收斂．逡逑例５．１．第二類錢性弱奇異Ｆｒｅｄｈｏｌｍ積分方程如下逡逑＿邋＝邋／＞邐＆扯邋＋邋剛，逡逑其中逡逑邐邋丌邐ｐ２邐邐逡逑—邋＼Ｊｔ邋２邋—邋（ｆ邋＋邋２）邋＋邋（ｆ邋＋邋２）以ｒｃｔａｎ邋＾邐＼］＿邋２＼／ｌ２邋－邋２？逡逑－（＾邋＋邋２）ｌｏｇ（２Ｖ６＾７邋＋邋４Ｖ２）邋＋邋（＾邋＋邋２）ｌｏｇ（２ＶＴｈ２）．逡逑
【學(xué)位授予單位】：北京工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O175.5

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本文編號(hào)：2599205