【摘要】：多孔介質(zhì)中滲流驅(qū)動(dòng)問題是一類典型和復(fù)雜的物理現(xiàn)象,這個(gè)問題與生活實(shí)際中的環(huán)境污染和油藏開采等問題是密切相關(guān)的,這也是當(dāng)今科學(xué)家非常感興趣的研究領(lǐng)域之一.宏觀尺度下對(duì)這類問題的模擬一般是通過質(zhì)量守恒方程以及Darcy定律的變分形式來實(shí)現(xiàn)的,所獲得的數(shù)學(xué)模型主要是由一組非線性偏微分方程耦合而形成.其中主要包含流體的輸運(yùn)和流動(dòng)兩個(gè)子問題:一個(gè)是關(guān)于流動(dòng)的壓力方程,另一個(gè)是關(guān)于輸運(yùn)的濃度方程.Ewing在[62]中對(duì)多孔介質(zhì)的滲流驅(qū)動(dòng)問題的數(shù)學(xué)模型和數(shù)值模擬做了比較全面的概述.這種滲流驅(qū)動(dòng)問題的計(jì)算規(guī)模非常龐大,我們希望能夠獲得更高效的數(shù)值方法用以快速求解這種問題,提高其計(jì)算效率.本文主要探討不可壓縮流體混溶驅(qū)動(dòng)問題的高效數(shù)值方法,構(gòu)造幾類不可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問題的混合有限元方法和標(biāo)準(zhǔn)有限元方法耦合的兩層網(wǎng)格方法,討論和分析兩層網(wǎng)格算法的收斂性質(zhì).本文主要考慮混溶驅(qū)動(dòng)問題中的三類不可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問題.首先考慮只有分子擴(kuò)散現(xiàn)象的驅(qū)動(dòng)問題,然后研究具有重力系數(shù)項(xiàng)r(c)的滲流驅(qū)動(dòng)問題,最后探討即有分子擴(kuò)散又有分子彌散現(xiàn)象的這種復(fù)雜的不可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問題.我們針對(duì)上述三種不可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問題分別構(gòu)造混合有限元法和標(biāo)準(zhǔn)有限元法耦合的兩層網(wǎng)格方法,并且獲得一系列的逼近性質(zhì)和誤差估計(jì).通過研究發(fā)現(xiàn)這種求解近似問題的兩層網(wǎng)格算法能夠保持與原問題的變分問題相同的精度,但是可以很大程度上節(jié)省計(jì)算時(shí)間.本文主要工作分為如下三個(gè)部分.第一部分,首先給出只有分子擴(kuò)散現(xiàn)象的不可壓縮混溶驅(qū)動(dòng)模型問題的弱形式,接著將RTk混合有限元逼近壓力和流速方程與標(biāo)準(zhǔn)有限元逼近濃度方程相結(jié)合,從而建立混合有限元離散格式.根據(jù)橢圓投影性質(zhì)和許進(jìn)超教授[112]的對(duì)偶論證技巧給出混合有限元解的Lq模誤差估計(jì).然后,在細(xì)網(wǎng)格上利用牛頓迭代思想,構(gòu)造混合有限元離散格式的快速兩層網(wǎng)格算法.它的主要思想是將細(xì)空間上一個(gè)耦合的非線性問題轉(zhuǎn)化為粗空間上一個(gè)非線性問題和細(xì)空間上一個(gè)(或者兩個(gè))線性問題.同時(shí),我們也獲得了濃度的Lq誤差估計(jì)和壓力與流速的收斂性質(zhì).最后,給出數(shù)值算例驗(yàn)證所得到的理論結(jié)果.第二部分,我們?cè)O(shè)計(jì)具有重力系數(shù)項(xiàng)r(c)的不可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問題混合有限元和標(biāo)準(zhǔn)有限元耦合的兩層網(wǎng)格算法,首先建立不可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問題的混合有限元離散格式,通過一些逼近性質(zhì)和對(duì)偶論證方法等技巧,獲得混合有限元離散格式的Lq模估計(jì).然后,對(duì)混合有限元離散格式引入兩層網(wǎng)格技巧,設(shè)計(jì)混合有限元法的兩層網(wǎng)格算法,進(jìn)一步給出相應(yīng)的收斂性估計(jì).通過收斂性分析和數(shù)值算例,可以發(fā)現(xiàn)所構(gòu)造的兩層網(wǎng)格算法能夠保持混合有限元法的相同精度,但是大大節(jié)約了數(shù)值計(jì)算的時(shí)間.第三部分,我們主要探討具有復(fù)雜的分子擴(kuò)散和彌散現(xiàn)象的不可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問題,構(gòu)造擴(kuò)散系數(shù)為非線性項(xiàng)的滲流驅(qū)動(dòng)問題混合有限元和標(biāo)準(zhǔn)有限元耦合的兩層網(wǎng)格算法.首先,我們給出問題的弱形式;然后對(duì)壓力和流速方程利用RTk的混合有限元逼近,對(duì)濃度方程利用標(biāo)準(zhǔn)有限元逼近,我們獲得混合有限元離散格式并對(duì)有限元解進(jìn)行理論分析;接著,我們?cè)O(shè)計(jì)混合有限元和標(biāo)準(zhǔn)有限元耦合的兩層網(wǎng)格方法,通過對(duì)算法的分析和探討獲得關(guān)于濃度Lq誤差估計(jì)和壓力與流速的收斂性質(zhì).
【圖文】：

邐（４．４．２）逡逑本例中，我們選取區(qū)域Ｑ邋＝邋［０，１］邋ｘ邋［０，１］和常數(shù)Ｔ邋＞邋０．時(shí)間步長(zhǎng)Ｔ邋＝邋ｌ．Ｏｅ邋—５．逡逑為了簡(jiǎn)單方便起見，假定空間步長(zhǎng)／／Ｐ邋＝邐＝圪心＝／ｉｐ邋＝邋／ｉ．圖４．１和圖４．２分逡逑別給出了在時(shí)刻ｆ邋＝邋１．０ｅ＿３處兩層網(wǎng)格解＾的圖形，觀察表４．１中，我們針對(duì)算逡逑法３給出了兩層網(wǎng)格方法關(guān)于濃度，壓力和速度相應(yīng)的｜｜ｃｎ－Ｃ＾｜｜邋，逡逑和｜｜ｐ＂邋－邐誤差．從誤差分析中可以觀察到當(dāng)選取粗網(wǎng)格步長(zhǎng)和細(xì)網(wǎng)格步長(zhǎng)為逡逑把＝＆時(shí)，，關(guān)于丨丨＃邋—邋［＾丨＾和丨｜ｐｎ邋一尸廠｜丨的誤差估計(jì)為一階的收斂性，濃度逡逑｜｜ｃ＂－Ｃ＾｜｜的收斂階大約２階，這恰好和我們兩層網(wǎng)格算法理論分析中定理３．３．１和逡逑定理３．３．２的分析式相吻合的．接下來，我們來看算法４的數(shù)值算例．表４．２中獲逡逑得兩層網(wǎng)格算法４的數(shù)值解｜｜ｃｎ邋—邐，｜｜ｕ＂邋—邋Ｃ／Ｍｖ和｜丨壙—的誤差估逡逑計(jì)，從計(jì)算所得誤差的數(shù)值結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)保持粗網(wǎng)格不變，分別選取合適的細(xì)逡逑網(wǎng)格步長(zhǎng)
【學(xué)位授予單位】：湘潭大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O241.82;O357.3

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本文編號(hào)：2535616