【摘要】：本文提出了二次浸入型有限元方法,該方法用來求解二維空間中二階橢圓界面問題.標準有限元方法可以解決均勻材質(zhì)問題,如連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的微分方程,電磁場中的Maxwell方程等.對于非均勻材質(zhì)問題,如電磁體問題,航天工程中的空間帶電問題等,一般有限元方法的網(wǎng)格剖分需要沿著界面曲線進行,但此方法需要花費大量的計算量來進行網(wǎng)格剖分,因此本文提出了浸入型有限元方法.浸入型有限元方法是非協(xié)調(diào)元方法并且它的網(wǎng)格剖分不受界面曲線的控制,因此可以選擇固定網(wǎng)格,如笛卡爾網(wǎng)格剖分,從而節(jié)省大量的時間和存儲量.一般的界面問題有限元形狀函數(shù)的形成需要滿足自由度與界面跳躍條件,但要唯一確定二次浸入型有限元基函數(shù),還需要添加額外的限制條件.本文給出兩類擴展界面條件,并證明此基函數(shù)的存在唯一性.文章先給出線性界面的兩種類型擴展條件,進而給出一般界面曲線的擴展條件.接下來給出此方法構(gòu)造的分片二次有限元空間的最優(yōu)插值誤差,即在L2空間中的收斂階為θ(h3),在間斷的H1空間中的收斂階為θ(h2),并給出數(shù)值算例.但此方法構(gòu)造的分片二次有限元空間的有限元插值誤差在L2空間和在間斷的H1空間中均不能達到最優(yōu)誤差,因此最后提出加局部懲罰項的浸入型有限元方法,具體方法就是內(nèi)部界面邊上加懲罰項構(gòu)成了局部懲罰方法從而達到與插值誤差相同的收斂階.對于線性或雙線性浸入型有限元空間均不需要加懲罰項即能達到最優(yōu)誤差估計.
[Abstract]:In this paper, a quadratic immersion finite element method is proposed, which is used to solve the second order elliptical interface problem in two dimensional space. The standard finite element method can solve the problem of uniform material, such as differential equation in continuum mechanics, Maxwell equation in electromagnetic field and so on. For non-uniform material problems, such as electromagnet problem, space electrification problem in space engineering and so on, the mesh generation of the general finite element method needs to be carried out along the interface curve, but this method needs to spend a lot of computation to carry on the grid generation, so this paper proposes the immersive finite element method. Immersive finite element method is nonconforming element method and its mesh generation is not controlled by interface curve, so fixed grid, such as Cartesian mesh generation, can be selected, thus saving a lot of time and storage. The formation of finite element shape function of general interface problem needs to meet the conditions of degree of freedom and interface jump, but in order to determine the quadratic immersion finite element basis function, it is necessary to add additional constraints. In this paper, two kinds of extended interface conditions are given, and the existence and uniqueness of the basis function are proved. In this paper, two types of extension conditions of linear interface are given, and then the extension conditions of general interface curve are given. Next, the optimal interpolation error of piecewise quadratic finite element space constructed by this method is given, that is, the convergence order is theta (h3) in L2 space and theta (H2) in interrupted H 1 space, and a numerical example is given. However, the finite element interpolation error of piecewise quadratic finite element space constructed by this method can not achieve the optimal error in L2 space and intermittent H 1 space, so the immersive finite element method with local penalty term is proposed, that is, the local penalty method is formed by adding penalty term on the edge of the internal interface, so as to achieve the same convergence order as the interpolation error. For linear or bilinear immersion finite element spaces, the optimal error estimation can be achieved without the need of penalty term.
【學(xué)位授予單位】：鄭州大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O241.82

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本文編號：2500758