【摘要】：徑向基函數(shù)是處理多元問題的一種有效方法,它是通過定義在[0,+∞)上的一元函數(shù)φ與Rn上的歐幾里德范數(shù)||·||2來表示n元函數(shù)φ(||x-y||2),其中x,y ∈Rn.事實上,在過去二十年中,徑向基函數(shù)經(jīng)歷了深入的研究,并在科學(xué)和工程的各個領(lǐng)域,如多變量數(shù)據(jù)插值與逼近、曲面重構(gòu)、偏微分方程的數(shù)值解、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、機(jī)器學(xué)習(xí)等都取得了巨大的成功.徑向基函數(shù)最初的發(fā)展集中于多元數(shù)據(jù)插值.在1982年,Franke[5]發(fā)表了一篇綜述論文總結(jié)了在當(dāng)時可用于散亂數(shù)據(jù)集合上幾乎所有的插值方法.結(jié)果發(fā)現(xiàn)徑向基函數(shù)作為處理散亂數(shù)據(jù)插值問題具有高效,方便存儲,運算簡單的優(yōu)點.所以,近年來,Schaback[14],Wendland[15],Beastong[16],Wu[9,14]等國內(nèi)外學(xué)者對徑向基函數(shù)理論與應(yīng)用進(jìn)行了更進(jìn)一步系統(tǒng)的研究.多尺度的方法是小波分析的核心思想,已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)壓縮,圖形圖像處理和其它諸多工程領(lǐng)域,并取得了極大的成功.另外,多尺度的方法也是數(shù)值分析中的重要方法,并在函數(shù)逼近,偏微分方程數(shù)值解等領(lǐng)域,如Monte Carlo模擬等有著廣泛的應(yīng)用.它的基本思想是在不同的尺度(或分辨率)水平上表達(dá)任意函數(shù).在1996年,Ami Harten[13]提出數(shù)據(jù)多尺度表示的一個一般框架,這個框架是小波理論[1,2,10]的推廣,在2000年,F.Arandiga[3]等人為紀(jì)念A(yù)mi Harten,對該框架進(jìn)行深入研究,并給出多尺度多項式插值的相關(guān)結(jié)果.這充分表明了該框架非常便于對離散數(shù)據(jù)進(jìn)行多尺度逼近.本文基于Ami Harten[3,13]提出的數(shù)據(jù)多尺度表示的框架,提出了一種新的用徑向基函數(shù)插值散亂數(shù)據(jù)的多尺度方法:對于給定區(qū)間上的散亂數(shù)據(jù)點,首先進(jìn)行分級粗化,形成由精細(xì)到粗糙的分層結(jié)點集合,然后分別利用局部和全局兩種徑向基函數(shù)插值的方法對所給數(shù)據(jù)進(jìn)行多尺度插值逼近,并與文獻(xiàn)[3]中所給的多項式插值的結(jié)果進(jìn)行比較.本文還將所提出的局部和全局徑向基函數(shù)插值的方法推廣到了二元矩形區(qū)域上的數(shù)據(jù)的多尺度插值逼近.通過與文獻(xiàn)[3]中結(jié)果對比,我們發(fā)現(xiàn),本文提出的多尺度徑向基函數(shù)插值的方法相對于多項式插值而言,具有更好的整體逼近性,其逼近的能量更集中.論文最后還通過數(shù)值實驗驗證了所得結(jié)論.
[Abstract]:The radial basis function is an effective method to deal with multivariate problems. It represents the n-ary function 蠁 (| x 鈮，

本文編號：2485658