【摘要】：近年來,大量的試驗結(jié)果表明基于整數(shù)階導(dǎo)數(shù)建立的某些模型不能很好地反映現(xiàn)實世界中的一些現(xiàn)象,如反常擴散和復(fù)雜粘彈性材料.其中一個主要的原因是傳統(tǒng)的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的極限定義,其反映的是一個局部的性質(zhì).這使得具有非局部特性的分?jǐn)?shù)階微積分算子受到了廣泛關(guān)注.然而,由于絕大多數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程的精確解不能被顯式給出,對其數(shù)值解的研究變得十分必要和重要.鑒于此,本文將引入或改進若干數(shù)值方法,以期獲得幾類空間分?jǐn)?shù)階和時空分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值解.在第一章,我們簡要回顧了分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展歷程,介紹了求解分?jǐn)?shù)階微分方程的常用數(shù)值方法及其理論,尤其對有限差分方法在這一領(lǐng)域的應(yīng)用給出了較為詳細(xì)地介紹,最后給出了將在后續(xù)章節(jié)頻繁用到的一些定義和符號.在第二章,針對一類空間分?jǐn)?shù)階Schr(o|")dinger波方程,我們導(dǎo)出了它在連續(xù)形式下的兩個守恒量,提出了一個自封閉的三層線性差分格式,并且討論了提出格式的守恒能力和精度,借助于數(shù)值算例對格式的守恒性能和精度進行了驗證.在第三章,考慮了一類強耦合的空間分?jǐn)?shù)階Schr(o|")dinger方程.本章內(nèi)容是對第二章工作的推廣.同樣,我們給出了方程本身具有的兩個守恒量,提出了一個非線性的守恒型差分格式,并證明了格式的可解性、穩(wěn)定性和l∞范數(shù)下的收斂性.為提高計算效率,進一步給出了一個線性的守恒型差分格式.數(shù)值試驗驗證了這兩種格式的有效性.在第四章,就單個和耦合情形的時空分?jǐn)?shù)階Schr(o|")dinger方程構(gòu)造了相應(yīng)的Crank-Nicolson差分格式及其線性化格式.詳細(xì)地分析了這些格式的局部截斷誤差、穩(wěn)定性和解的存在性,并給出了這兩種情形下的數(shù)值結(jié)果.這項工作的意義在于為這類問題提供了一種新的數(shù)值解法,尤其是為耦合問題提供了穩(wěn)定且有效的線性格式.在第五章,考慮了一類二維半線性的空間分?jǐn)?shù)階阻尼波方程.該方程有著廣泛的應(yīng)用背景,空間分?jǐn)?shù)階telegraph方程、sine-Gordon方程和Klein-Gordon方程都可視為它的特殊情形.針對該阻尼波方程,提出了一個有二階時間精度和四階空間精度的緊致差分格式,并討論了格式的可解性和收斂性.為提高計算效率,進一步構(gòu)造了一個交替方向的緊致差分格式.最后,對應(yīng)前述三類方程的數(shù)值結(jié)果驗證了格式的有效性.在第六章,提出了一類求解空間分?jǐn)?shù)階擴散方程的高精度算法.這類算法通過聯(lián)合分?jǐn)?shù)階緊致差分逼近和邊值方法得到,具有四階空間精度和四階、五階、六階甚至更高階的時間精度.為求解產(chǎn)生的大型線性系統(tǒng),Strang-型、Chan-型和P-型預(yù)處理子被引進.當(dāng)所用邊值方法Ak1,k2-穩(wěn)定時,用GMRES方法求解與Strang-型預(yù)處理子相對應(yīng)的預(yù)優(yōu)系統(tǒng)被證明是快速收斂的.數(shù)值算例驗證了方法的收斂速率和高精度.在第七章,我們對本文工作做了一個簡要的總結(jié),然后羅列了一些有待進一步研究的問題.
[Abstract]:In recent years, a large number of experimental results show that some models based on the integral-order derivative can not well reflect some of the phenomena in the real world, such as abnormal diffusion and complex viscoelastic materials. One of the main reasons is that the traditional integer order derivative is defined by the limit of the function, which reflects a local property. This makes fractional-order micro-integral operators with non-local characteristics widely concerned. However, because the exact solution of most fractional differential equations cannot be given explicit, it is necessary and important to study the numerical solution. In view of this, a number of numerical methods are introduced or modified in order to obtain the numerical solutions of the differential equations of fractional order and space-time fractional order. In the first chapter, we briefly review the development of fractional calculus, and introduce the common numerical method and its theory to solve the fractional differential equation, especially the application of finite difference method in this field. Finally, some definitions and symbols to be used frequently in subsequent chapters are given. In the second chapter, for a class of spatial fractional-order Schr (o | "In this paper, we derive a self-closed three-layer linear difference scheme and verify the conservation and precision of the format by means of a numerical example. In the third chapter, a class of strongly coupled spatial fractional order Schr (o |") dinger equations. The content of this chapter is the promotion of the second chapter. In the same way, we give the two conserved quantities of the equation, and put forward a non-linear conservation type difference scheme, and prove the solvability, stability and the convergence of l-norm. In order to improve the calculation efficiency, a linear conservation type difference scheme is given. The validity of these two formats is verified by numerical experiments. In the fourth chapter, the corresponding Crank-Nicolson difference scheme and its linearized form are constructed for the time-space fractional-order Schr (o | ") dinger equation of a single and a coupling condition. The local truncation error, the stability and the existence of these formats are analyzed in detail. The significance of this work is to provide a new numerical solution for such problems, in particular to provide a stable and effective linear format for the coupling problem. In the fifth chapter, In this paper, a class of two-dimensional and semi-linear space fractional-order damping wave equation is considered. The equation has a wide application background, and the space fractional-order tegph equation, the sine-Gordon equation and the Klein-Gordon equation can be considered as special cases. A compact difference scheme with second-order time precision and fourth-order spatial precision is presented, and the solvability and convergence of the format are discussed. In order to improve the calculation efficiency, a compact difference scheme with alternate directions is further constructed. The validity of the format is verified by the numerical results of the three kinds of equations. In the sixth chapter, a kind of high-precision algorithm for solving the spatial fractional order diffusion equation is proposed. This kind of algorithm is obtained by the joint fractional order compact difference approximation and the edge value method, and has the fourth order spatial precision and the fourth order. Five orders, six orders, and even higher order time precision. In order to solve the large linear system, the Sarang-type, the Chan-type and the P-type pre-processor are introduced. When the edge value methods Ak1 and k2 used are stable, In this paper, the convergence rate and high precision of the method are verified by the GMRES method. The convergence rate and the high precision of the method are verified by numerical examples. In chapter 7, we summarize the work of this paper. A number of issues to be further studied are then listed.
【學(xué)位授予單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

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本文編號：2475470