【摘要】：本文中我們主要研究了多項(xiàng)式值的數(shù)字和、給定因數(shù)數(shù)目的整數(shù)以及和集與差集中的等差數(shù)列.具體工作如下：1.多項(xiàng)式值的數(shù)字和設(shè)整數(shù)q≥2,sq(n)表示非負(fù)整數(shù)n在q-進(jìn)制下的數(shù)字和.眾多學(xué)者對(duì)數(shù)字和進(jìn)行了研究并得到了很多成果.本文主要研究多項(xiàng)式值的數(shù)字和.設(shè)其中h≥1,l≥1,αh0,b10.本文證明了下面兩個(gè)定理：定理1.1.設(shè)deg p1(x)deg p2(x),如果對(duì)任意的正整數(shù)n,都有p1(n)≥1和p2(n)≥1,那么對(duì)任意的正數(shù)ε,都存在一個(gè)只依賴于ε,q,p1(x)和p2(x)的正常數(shù)Cl,使得對(duì)充分大的正整數(shù)N,總有其中α=ε(2h(l+3)(h(l+3)+1)+ε)-1.定理1.2.設(shè)deg p1(x)deg p2(x),如果對(duì)任意的正整數(shù)n,都有p1(n)≥1和p2(n)≥1,那么對(duì)任意的正數(shù)ε,都存在一個(gè)只依賴于ε,q,p1(x)和p2(x)的正常數(shù)C2,使得對(duì)充分大的正整數(shù)N,總有2.給定因數(shù)數(shù)目的整數(shù)設(shè)正整數(shù)n=q1q2...qs,qi(1≤i≤s)均是素?cái)?shù),q1≥q2≥...≥qs, A(n)=p1q1-1p2q2-1...psqs-1,pk表示第κ個(gè)素?cái)?shù).如果n1，正因數(shù)個(gè)數(shù)為n的最小正整數(shù)恰好是A(n),那么稱n為平凡數(shù).如果n1,n不是平凡數(shù),那么稱n為非平凡數(shù).1968年,Grost[26]確定了素因數(shù)數(shù)目(重素因數(shù)重復(fù)計(jì)數(shù))不超過6的正整數(shù)中所有的非平凡數(shù)；并證明了形如16p(p是一個(gè)奇素?cái)?shù))的數(shù)均是非平凡數(shù).2006年,Brown[5]證明了下面的結(jié)果：(i)素?cái)?shù)p的κ次冪pκ是非平凡數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)2p≤pκ,其中pκ表示第κ個(gè)素?cái)?shù)；(ii)所有的無平方因子的數(shù)都是平凡數(shù)；(iii)設(shè)O表示全體平凡數(shù)構(gòu)成的集合,那么對(duì)任意的0δ1/2,總有特別地,所有的平凡數(shù)在正整數(shù)集中的密度是1.在本文中,我們給出了正整數(shù)為平凡數(shù)的幾個(gè)充分條件,改進(jìn)了非平凡數(shù)計(jì)數(shù)函數(shù)的上界,完全弄清楚了5-自由數(shù)中哪些數(shù)是平凡數(shù).我們證明了下面的三個(gè)定理：定理2.1.設(shè)正整數(shù)n1的素?cái)?shù)分解式是n=q1q2…qs,q1≥ q2≥…≥qs1,如果對(duì)所有的正整數(shù)i≤(?),都有其中pk表示第κ個(gè)素?cái)?shù),[(?)]表示不小于(?)的最小整數(shù),那么n是平凡數(shù).定理2.2.對(duì)任意的ε0,不等式N exp(-log log N)≤|[1,N]\O|≤N exp(-(loglogN)1-ε)對(duì)充分大的整數(shù)N均成立,其中[1,N]={1,2,…,N}.定理2.3.一個(gè)5-自由數(shù)是非平凡數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它在集合F5中,其中F5 ={2×34,22×33,22×34,22×34×5, 23,23×3,23×32,23×33,23×34,23×34×5,24,24×32,24×33,24×34,24×33×5,24×34×5,24×34×54}∪{16p：p是一個(gè)奇素?cái)?shù)}.上述成果已發(fā)表在J.Number Theory上.3.和集與差集中的等差數(shù)列對(duì)于A, B(?)[1,N]={1,2,…,N},設(shè)A+B={a+b:a∈A,b∈B}, A-B={a-b:a∈A,b∈B}.2007年,Croot,Ruzsa和Schoen[9]證明了：對(duì)任意的奇數(shù)κ≥3和充分大的整數(shù)N,如果A,B(?)[1,N],|A||B|≥6N2-2/(κ-1),那么A+B包含長(zhǎng)度為κ的等差數(shù)列.2010年,Hamel,Lyall,Thompson和Walters[28]證明了：設(shè)A∈[1,N],奇數(shù)κ≥3,如果|A|≥4N1-2/(k-1),那么A-A包含長(zhǎng)度為κ的等差數(shù)列.在本文中,我們證明了下面的兩個(gè)定理：定理3.1.設(shè)s ≥ 1,Ai(?)[1,N](1≤i ≤ s),κ≥3是一個(gè)奇數(shù).如果|A1||A2|…|As|≥2s-1(?)Ns-2/(k-1),那么(a)Ai-Aj(1≤i,j≤s)均包含公差相同且長(zhǎng)度為κ的等差數(shù)列；(b)Ai-Ai(1≤i≤s)均包含同一個(gè)長(zhǎng)度為κ的等差數(shù)列.定理3.2.對(duì)任意的d0和任意的奇數(shù)κ≥3,都存在一個(gè)常數(shù)N0=N(δ,k),使得當(dāng)N≥N0,A,B(?)[1,N],|A||B|≥δN2-2/(k-1)時(shí),A+B包含長(zhǎng)度為κ的等差數(shù)列.上述成果已發(fā)表在Int.J.Number Theory上.
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：南京師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O156

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本文編號(hào)：2448438