【摘要】：這篇博士學(xué)位論文主要研究分?jǐn)?shù)次耗散的多孔介質(zhì)方程解的長時間動力學(xué)問題:這里(—△)σ/2 是分?jǐn)?shù)次 Laplacian 算子,σ ∈(0,2),,m ≥ 1,Ω 是RN(N≥1)中的一個有界區(qū)域,并且具有充分正則的邊界(?)Ω,u0是初始值,h∈L∞(Ω)是不依賴于時間的外部強迫項,g(s)是非線性項.在第三章中,我們主要研究m1并且分?jǐn)?shù)次算子為譜分?jǐn)?shù)次Laplacian算子(the spectral fractional Laplacian)情形.全章分成三個部分,第一部分研究非線性項是多項式增長情形下解的存在性.證明了當(dāng)初值u0∈Lm+1(Ω)時存在弱解u(x,t),使得um(x,t)∈ L2(0,T;H0σ/2(Ω)).由于方程的主部算子是非線性的,通常的Faedo-Galerkin方法難以應(yīng)用.為了克服這一困難,應(yīng)用文獻[89]中的方法,我們將時間離散化,先考慮相應(yīng)的差分方程,然后再由差分方程的解來逼近原方程的解.又由于非線性項g的出現(xiàn),文獻[89]中證明弱解存在性的方法將不再適用.事實上,非線性項的存在導(dǎo)致了算子(I + εA)-1沒有很好的壓縮性(這里Au =(-△)σ/2|u|m-1u),從而Crandall-Liggett定理不再適用,而Crandall-Liggett定理是文獻[89]證明弱解存在性的關(guān)鍵.我們應(yīng)用Aubin-Lions引理和一些緊性定理來處理這一問題,最終證明了定理3.3.第二部分主要研究非線性項在無上增長限制情形下方程解的適定性.我們首先得到了弱解在Lm+1(Ω)空間的存在性(見定理3.5),然后證明了逼近解在L1(Ω)空間上生成連續(xù)半群(見定理3.16).在證明初值u0 ∈Lm+1(Ω)方程解的存在性的過程中.我們同樣將時間離散化,考慮差分方程.但在證明差分方程解的存在性,即,相應(yīng)的橢圓方程解的存在性的問題時,由于非線性項沒有上方控制,通常的不動點理論,非線性泛函分析理論較難應(yīng)用.我們對這一橢圓方程應(yīng)用Faedo-Galerkin方法,先考慮一個Rn上方程組的解(見引理3.4).而即便是有窮維的方程,由于非線性項的存在,給解的存在性帶來一些麻煩.為此我們應(yīng)用極大單調(diào)算子理論來得到有限維方程解的存在性,再用有窮維方程的解逼近橢圓方程的解.另一方面的困難是在利用差分方程解作逼近的過程中,由于非線性項沒有上增長限制,使得我們不能用通常的方法來得到g(uε)的極限.因此我們應(yīng)用Orlicz空間理論來克服這一困難.為了證明逼近解在L1(Ω)上生成連續(xù)半群,我們先證明了逼近解在L1(Ω)上的存在性.又因為多孔介質(zhì)方程是退化微分方程,我們通過攝動的辦法首先證明了初值uo ∈ Cc∞(Ω)時方程解的存在性,并給出了解的L1-L∞估計,然后再用光滑函數(shù)在L1(Ω)空間做逼近得到逼近解的存在性并得到了唯一性(空間連續(xù)性).第三部分,我們研究了逼近解的長時間行為.通過證明緊吸收集的存在性,我們得到了全局吸引子的存在性(見定理3.18).緊接著,我們用Z2指標(biāo)的方法來研究吸引子的維數(shù).我們證明了在一定條件下吸引子的維數(shù)是無窮維的(見定理 3.21).第四章主要研究m = 1并且?guī)в邢拗品謹(jǐn)?shù)次Laplacian算子(the restricted fractional Laplacian)的多孔介質(zhì)方程長時間行為.我們得到了解的適定性(見定理4.2),(L02(Ω),L02(Ω))-全局吸引子的存在性(見定理4.5)和(L02(Ω),H0σ/2(Ω))-全局吸引子的存在性(見定理4.8).由于非線性項沒有上方的控制,主要帶來兩方面的困難.一方面,在我們用Faedo-Galerkin方法證明解的存在性的過程中.我們難以通過估計g(um)來得到弱極限.為了克服這一困難,我們應(yīng)用Orlicz空間中弱緊性定理來得到g(um)的弱收斂性.另一方面,在證明解的唯一性時,不可以直接作用w,而是作用w的截斷函數(shù)Ψk(w).這給我們帶來一個新的問題,主部算子該如何估計.為了解決這一問題,我們應(yīng)用σ-調(diào)和延拓的方法([25,89]).緊接著,我們得到了(L02(Ω),L02(Ω))-全局吸引子的存在性.由于無法得到解半群在空間H0σ/2(Ω)上的連續(xù)性,我們運用文獻[124]中提到的強弱連續(xù)半群思想來處理這一問題.又因為(—△)σ/2是限制分?jǐn)?shù)次拉普拉斯算子,因此方程解的正則性較低.為了克服這一困難,我們給出了一個漸近先驗估計,從而得到(L02(Ω),H0σ/2(Ω))-全局吸引子的存在性.
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：南京大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O175

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本文編號：2428582