【摘要】：非線性科學(xué)是研究非線性問題共性的一門新的交叉學(xué)科,是自然科學(xué)領(lǐng)域中的一門學(xué)科。我們所研究的非線性發(fā)展方程主要是源于流體力學(xué)、等離子體物理、非線性光學(xué)、凝聚態(tài)物理、生物學(xué)等領(lǐng)域。如今,許多方法被應(yīng)用于各類非線性發(fā)展方程的求解中,例如反散射法、Backlund法、Darboux變換法,Hirota雙線性法、Painleve分析法、幾何分支理論以及同宿呼吸子極限法等等。本文正是以非線性發(fā)展方程的理論為基礎(chǔ),運(yùn)用Hirota雙線性法、Painleve分析法、幾何分支理論和同宿呼吸子極限法,借助計(jì)算機(jī)符號(hào)計(jì)算研究幾個(gè)非線性發(fā)展方程,獲得其解析解,并進(jìn)一步研究其解的基本性質(zhì)。本文的內(nèi)容安排如下：(1)運(yùn)用幾何分支理論和動(dòng)力系統(tǒng)定性理論研究了一個(gè)帶克爾項(xiàng)的非線性Schrodinger方程,該方程描述光波在非線性光纖中的傳輸過程。通過行波變換,我們將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程,畫出軌線圖,判別解的類型,得到孤波解和橢圓函數(shù)周期解。(2)其次,研究了耦合修正Korteweg-de Vries方程組,該方程組描述了水波在傳輸過程中的相互作用。處理耦合修正Korteweg-de Vries方程組,通過兩次行波變換,化為常微分系統(tǒng),并進(jìn)行定性理論分析。在不同的參數(shù)下,我們得到六組軌線圖,根據(jù)軌線圖的性質(zhì),得到孤波解和橢圓函數(shù)解。此外,運(yùn)用擴(kuò)展的橢圓函數(shù)法,得到新的橢圓函數(shù)解。(3)最后本文研究了一種特殊的水波——畸形波。研究了(2+1)維Kadomtsev-Petviashvili方程和(1+1)維對(duì)稱正則長波方程,在Hirota雙線性方法的基礎(chǔ)上,借助符號(hào)計(jì)算,運(yùn)用同宿呼吸子極限法,求得方程呼吸子解,進(jìn)一步分析得到方程的畸形波解。綜上所述,本文主要結(jié)合解析方法和計(jì)算機(jī)符號(hào)計(jì)算,跨學(xué)科地分析了在光通信和流體力學(xué)等領(lǐng)域中具有重要研究價(jià)值的一些非線性發(fā)展方程,包括對(duì)它們的解的性質(zhì)的研究。本文中用到的研究方法,也可以應(yīng)用到其它耦合及高階非線性模型的研究上。另外,對(duì)于文中得到的研究結(jié)果,希望能為相關(guān)領(lǐng)域的研究提供一些理論上的幫助。
[Abstract]:Nonlinear science is a new interdiscipline to study the commonness of nonlinear problems, and it is also a subject in the field of natural science. The nonlinear evolution equations are mainly derived from hydrodynamics, plasma physics, nonlinear optics, condensed matter physics, biology and so on. Nowadays, many methods are applied to solve nonlinear evolution equations, such as backscattering method, Backlund method, Darboux transformation method, Hirota bilinear method, Painleve analysis method, geometric bifurcation theory, homoclinic respiratory limit method and so on. In this paper, based on the theory of nonlinear evolution equation, using Hirota bilinear method, Painleve analysis method, geometric bifurcation theory and homoclinic respiratory limit method, several nonlinear evolution equations are studied by means of computer symbolic calculation, and their analytical solutions are obtained. The basic properties of the solution are further studied. The contents of this paper are as follows: (1) A nonlinear Schrodinger equation with Kerr term is studied by using the geometric bifurcation theory and the qualitative theory of dynamical systems. The equation describes the propagation process of light waves in nonlinear optical fibers. Through traveling wave transformation, we transform partial differential equation into ordinary differential equation, draw derailment diagram, distinguish the type of solution, obtain solitary wave solution and periodic solution of elliptic function. (2) secondly, we study the coupled modified Korteweg-de Vries equations. The equations describe the interaction of water waves in the process of transmission. This paper deals with coupled modified Korteweg-de Vries equations and transforms them into ordinary differential systems by twice traveling wave transformation, and makes qualitative theoretical analysis. Under different parameters, we obtain six sets of orbital diagrams. According to the properties of the orbital diagrams, we obtain solitary wave solutions and elliptic function solutions. In addition, a new elliptic function solution is obtained by using the extended elliptic function method. (3) in the end, a special water wave, deformity wave, is studied. In this paper, the (21) dimensional Kadomtsev-Petviashvili equation and (11) dimensional symmetric regular long wave equation are studied. On the basis of Hirota bilinear method, by means of symbolic calculation and homoclinic respiratory limit method, the authors obtain the solutions of the equation respiratory elements. The deformable wave solution of the equation is obtained by further analysis. To sum up, some nonlinear evolution equations, including the properties of their solutions, which are of great value in the field of optical communication and fluid mechanics, are mainly analyzed in this paper by means of analytical methods and computer symbolic calculations. The methods used in this paper can also be applied to the study of other coupling and high order nonlinear models. In addition, we hope to provide some theoretical help for the research in related fields.
【學(xué)位授予單位】：北京郵電大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175.29

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本文編號(hào)：2423808