發(fā)布時(shí)間：2018-12-21 11:08

【摘要】：該文研究偏微分方程中三個(gè)重要的不等式:Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式,Nash不等式和Isoperimetric不等式.對(duì)于這三個(gè)不等式的證明,該文主要運(yùn)用偏微分方程的思想.具體來說,該文用拉普拉斯方程的基本解引入位勢(shì)證明Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式;運(yùn)用熱方程的Poisson公式證明Nash不等式;運(yùn)用一個(gè)關(guān)于拉普拉斯算子的Poisson方程的解逼近Isoperimetric不等式.另一方面,這三個(gè)不等式有某種意義下的等價(jià)性.首先,該文證明L1形式的Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式等價(jià)于Isoperimetric不等式;其次,該文證明了 L2形式的Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式等價(jià)于Nash不等式.最后,該文找到了一種推廣了的Nash不等式即Lp(1pn)形式的Nash不等式,并證明它等價(jià)于1pn的 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式.
[Abstract]:In this paper, we study three important inequalities in partial differential equations: Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality, Nash inequality and Isoperimetric inequality. For the proof of these three inequalities, this paper mainly uses the idea of partial differential equation. In this paper, Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality is proved by introducing the fundamental solution of Laplacian equation, Poisson equation of heat equation is used to prove Nash inequality, and the solution of Poisson equation of Laplacian operator is used to approximate Isoperimetric inequality. On the other hand, these three inequalities are equivalent in some sense. Firstly, this paper proves that Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality in L1 form is equivalent to Isoperimetric inequality, and then proves that Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality in L2 form is equivalent to Nash inequality. Finally, we find a generalized Nash inequality, that is, Nash inequality in Lp (1pn) form, and prove that it is equivalent to 1pn's Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality.
【學(xué)位授予單位】：華中師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O175.2

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6 劉曉s，

本文編號(hào)：2388828