【摘要】：非線性薛定諤方程是現(xiàn)代科學(xué)中具有普遍意義的重要方程之一,它在流體力學(xué)、固體物理、非線性光學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域中具有廣泛應(yīng)用.19世紀(jì)70年代,人們用逆散射方法研究薛定諤方程時(shí)發(fā)現(xiàn)其解由一系列孤立子及色散波構(gòu)成,隨后由于其孤立子解具有較好的性質(zhì)而被廣泛地研究與應(yīng)用.特別是立方非線性薛定諤方程所描述的光纖通信系統(tǒng),由此產(chǎn)生的光纖孤子在光纖通信中具有重要應(yīng)用.非線性薛定諤方程是一類非線性拋物型偏微分方程,對于其一般形式的解析解求解較為困難,沒有普遍而有效的求解方法,通常采用數(shù)值方法研究其性質(zhì).本文利用有限差分法給出數(shù)值求解立方非線性薛定諤方程的三種差分格式,并從理論上分析了它們的局部截?cái)嗾`差與穩(wěn)定性.在數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分,針對具體的初邊值問題,對立方非線性薛定諤方程的孤立子解進(jìn)行數(shù)值求解,并利用三種差分格式數(shù)值求解初值受到擾動(dòng)時(shí)數(shù)值解與解析解之間的誤差值隨時(shí)間變化的發(fā)展情況,同時(shí)數(shù)值模擬了在初始時(shí)刻完全分離的兩個(gè)孤立子的碰撞情形,與理論結(jié)果相同,從而驗(yàn)證了所給出的三種差分格式的有效性.研究結(jié)果表明本文所給出的三種有限差分格式可以對立方非線性薛定諤方程進(jìn)行有效地?cái)?shù)值求解,三種格式各有優(yōu)缺點(diǎn),根據(jù)具體問題的需要,可以選取相應(yīng)的數(shù)值格式進(jìn)行數(shù)值求解.最后對本文內(nèi)容進(jìn)行總結(jié),并對進(jìn)一步的工作進(jìn)行展望.
[Abstract]:Nonlinear Schrodinger equation is one of the most important equations in modern science. It is widely used in fluid mechanics, solid state physics, nonlinear optics, electromagnetism and so on. It is found that the solution of Schrodinger equation is composed of a series of solitons and dispersive waves when the inverse scattering method is used to study the Schrodinger equation. Then the soliton solution is widely studied and applied because of its good properties. Especially for the optical fiber communication system described by cubic nonlinear Schrodinger equation, the resulting optical fiber solitons have important applications in optical fiber communication. Nonlinear Schrodinger equation is a kind of nonlinear parabolic partial differential equation. It is difficult to solve its general analytical solution and there is no universal and effective method to solve it. Numerical method is usually used to study its properties. In this paper, three finite difference schemes for solving cubic nonlinear Schrodinger equation are given, and their local truncation errors and stability are analyzed theoretically. In the numerical experiment, the soliton solution of the square nonlinear Schrodinger equation is numerically solved for the specific initial-boundary value problem. Three difference schemes are used to numerically solve the evolution of the error between the numerical solution and the analytical solution when the initial value is disturbed. At the same time, the collision of two solitons completely separated at the initial time is numerically simulated. The results are the same as the theoretical results, so the validity of the three difference schemes is verified. The results show that the three finite difference schemes presented in this paper can be numerically solved effectively against the square nonlinear Schrodinger equation. Each of the three schemes has its own merits and demerits. The corresponding numerical scheme can be selected for numerical solution. Finally, the content of this paper is summarized, and the future work is prospected.
【學(xué)位授予單位】：河南大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.82

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本文編號：2388325