【摘要】：本博士學(xué)位論文主要研究微分系統(tǒng)可積的代數(shù)方面,具有不變量的微分系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué),以及解析微分系統(tǒng)和解析微分同胚的解析等價(jià)正規(guī)型的存在性。具體為廣義Lorenz系統(tǒng)的代數(shù)可積性,具有不變代數(shù)曲面的廣義Lorenz系統(tǒng)的極限環(huán)分支及其軌道的全局拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),同時(shí)還給出了任意階平均法的表示公式及其在周期解與可積性研究方面的應(yīng)用。最后,我們考慮了解析可積微分系統(tǒng)在周期軌道鄰域的解析正規(guī)化子的存在性,以及環(huán)面解析擾動(dòng)微分同胚與向量場(chǎng)的解析等價(jià)正規(guī)型的存在性與環(huán)面解析微分同胚族與向量場(chǎng)族的幾乎可約性。論文的研究?jī)?nèi)容共分四個(gè)部分。第一部分主要研究廣義Lorenz系統(tǒng)的代數(shù)可積性,極限環(huán)分支及其全局動(dòng)力學(xué)。代數(shù)可積性是動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)重要研究課題,在Darboux[Bull.Sci.Math.2(1878),60 96,123 144,151 200]、Bruns[Theory of Differential Equations by Forsyth,1900]和Poincar′e[Rend.Circ.Mat.Palermo 5(1981),161 191;11(1987),193 239]做出了奠基性的工作之后,多項(xiàng)式微分系統(tǒng)代數(shù)可積性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為完整地刻畫系統(tǒng)的Darboux多項(xiàng)式的問(wèn)題。Poincar′e在他的工作中已指出:沒(méi)有有效的方法計(jì)算給定多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的Darboux多項(xiàng)式,這也在過(guò)去100多年的研究中得到了證實(shí)。Lorenz系統(tǒng)不變代數(shù)曲面的分類問(wèn)題始于Segur[Soliton and the inverse scattering transform,in Topics in Ocean-Physics,1982],但該系統(tǒng)Darboux多項(xiàng)式的完整分類問(wèn)題直到2002年才由Llibre和Zhang[J.Math.Phys.43(2002),1622 1645]解決,從而進(jìn)一步解決了經(jīng)典Lorenz系統(tǒng)的代數(shù)可積性問(wèn)題。沿著Llibre和Zhang的思想,我們考慮廣義Lorenz系統(tǒng):賦 = a(y- x) = P(x, y, z),賧 = bx + cy- xz = Q(x, y, z),賨=dz+xy=R(x,y,z),的代數(shù)可積性及其整體動(dòng)力學(xué),其中x,y和z是實(shí)變量,a,b,c和d是實(shí)參數(shù)。該系統(tǒng)是由經(jīng)典的Lorenz系統(tǒng)[J.Atmos.Sci.20(1963),130 141],Chen系統(tǒng)[Internat.J.Bifur.Chaos 9(1999),1465 1466]和L¨u系統(tǒng)[Internat.J.Bifur.Chaos 12(2002),659 661]的統(tǒng)一化得到的系統(tǒng)。利用加權(quán)齊次多項(xiàng)式和解線性偏微分方程的特征曲線法以及Blow up變換技術(shù),我們給出了廣義Lorenz系統(tǒng)Darboux多項(xiàng)式的完整的分類,進(jìn)而在此基礎(chǔ)上完成了具有不變代數(shù)曲面的廣義Lorenz系統(tǒng)全局動(dòng)力學(xué)性態(tài)的研究。這項(xiàng)工作從兩個(gè)方面推廣和改進(jìn)了已有的相關(guān)工作[Llibre和Zhang,J.Math.Phys.2002;Cao和Zhang,J.Math.Phys.2007]:1、提供了包括經(jīng)典Lorenz系統(tǒng),Chen系統(tǒng)和L¨u系統(tǒng)在內(nèi)的三類微分系統(tǒng)的代數(shù)可積性的統(tǒng)一證明方法,特別的我們得到了chen系統(tǒng)與l¨u系統(tǒng)非代數(shù)可積的結(jié)論,這是全新的結(jié)果;2、提供了一類研究三維系統(tǒng)全局軌道拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的方法,尤其是給出了具有不變代數(shù)曲面的廣義lorenz系統(tǒng)極限環(huán)不存在的證明,并且完整地刻畫了從不變代數(shù)曲面及無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)以外出發(fā)的軌道的α極限集和ω極限集。后兩個(gè)問(wèn)題在已有的相關(guān)文獻(xiàn)中都沒(méi)能很好地解決。第二部分主要研究任意階平均法理論及其在微分方程周期解與可積性研究方面的應(yīng)用。平均法是研究微分方程周期解分支的一個(gè)重要工具。低階平均法以及應(yīng)用的結(jié)果非常豐富,任意階平均法理論只是近年來(lái)才發(fā)展起來(lái)。gin′e等在[physicad250(2013),58 65]中首先得到一維周期微分系統(tǒng)的任意階平均法公式。llibre等[nonlin-earity27(2014),2417 2417]在未擾動(dòng)系統(tǒng)充滿等時(shí)周期軌道時(shí)得到任意階平均法公式并將其應(yīng)用到平面系統(tǒng)的中心問(wèn)題中。該結(jié)果需要一些特定的假設(shè)條件,從而限制了該方法的應(yīng)用范圍。當(dāng)未擾動(dòng)的n維微分系統(tǒng)賦=f_0(t,x)的周期解形成的流形的維數(shù)小于n時(shí),malkin和roseau分別于1956和1966年給出了一階平均法公式。buic?a等[comm.pureappl.anal.6(2007),103 111;physicad241(2012),528 533]將malkin和roseau的一階平均法公式擴(kuò)展到二階平均法公式。但該情形下的任意階平均法公式一直沒(méi)有給出。通過(guò)發(fā)展新的技術(shù)和方法,我們給出任意有限維解析周期微分系統(tǒng)的任意階平均法公式。與前人的工作相比,我們結(jié)果的新穎之處體現(xiàn)在:1、給出了攝動(dòng)微分系統(tǒng)的任意階平均法公式,它包含所有已知的相關(guān)結(jié)果作為特例;2、證明了平均法公式具有類似與bautin定理的結(jié)論,從而可用于研究平面解析微分系統(tǒng)的中心焦點(diǎn)問(wèn)題,這是該領(lǐng)域的全新的結(jié)果;3、同時(shí)給出平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng)在冪零和某些退化奇點(diǎn)鄰域的平均法公式,從而可以用于研究這類系統(tǒng)的可積性和極限環(huán)分支。第三部分研究解析可積微分系統(tǒng)在周期軌鄰域的解析等價(jià)正規(guī)型的存在性。正規(guī)型理論具有豐富的內(nèi)容,它是研究動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的重要方法之一。這里主要關(guān)心poincar′e正規(guī)型,其中最困難的問(wèn)題是將原系統(tǒng)化為poincar′e正規(guī)型的變換的收斂性。該領(lǐng)域經(jīng)典的結(jié)果是poincar′e dulac定理,以及滿足diophantine條件的siegel定理和bruno定理等。近年來(lái),zung等發(fā)現(xiàn)解析可積微分系統(tǒng)與解析等價(jià)正規(guī)型之間的聯(lián)系。zung[ann.math.161(2005),141 156;math.res.lett.9(2002),217 228]利用環(huán)作用的方法證明了解析可積hamilton系統(tǒng)等的解析等價(jià)正規(guī)型的存在性。zhang[j.differentialequations244(2008),1080 1092;254(2013),3000 3022]證明了局部解析可積微分系統(tǒng)在奇點(diǎn)鄰域的解析等價(jià)正規(guī)型的存在性,并且給出正規(guī)型的完整表達(dá)式。受上述工作的驅(qū)動(dòng),我們考慮解析微分系統(tǒng)賦=f(x),x∈??Rn,在周期軌道鄰域解析等價(jià)正規(guī)型的存在性,其中?銰R~n是開(kāi)子集且f(x)∈Cω(?)。我們得到的結(jié)論是:當(dāng)該系統(tǒng)有一個(gè)位于區(qū)域?內(nèi)的周期軌Γ,且系統(tǒng)在該周期軌道鄰域解析可積,則該系統(tǒng)在周期軌道鄰域解析等價(jià)于它的Poincar′e正規(guī)型。這個(gè)結(jié)果進(jìn)一步完善了解析可積微分系統(tǒng)與解析等價(jià)正規(guī)型之間的關(guān)系,同時(shí)我們指出與可積系統(tǒng)在原點(diǎn)附近的解析正規(guī)化子相比,該結(jié)果的最大困難是:1、在證明特征乘子的性質(zhì)中,函數(shù)獨(dú)立的首次積分個(gè)數(shù)小于共振譜集所張成線性空間的維數(shù),我們是根據(jù)Floquet乘子一定有0特征值來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題的;2、在解析正規(guī)化子存在性的證明中,沒(méi)有要求線性部分的矩陣滿足可對(duì)角化的條件,我們提供了一般情況下的證明。第四部分研究環(huán)面擾動(dòng)解析微分同胚與解析向量場(chǎng)的解析等價(jià)正規(guī)型的存在性及環(huán)面微分同胚族與向量場(chǎng)族的幾乎可約性。對(duì)于環(huán)面動(dòng)力系統(tǒng)的正規(guī)型研究一直較少,當(dāng)未擾動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)滿足Diophantine的條件時(shí),Arnold[Geometric Methods in Theory of Ordinary Differential Equations,1990]給出了低維情況下環(huán)面微分同胚的解析可約性,Treschev和Zubelevich[Introduction to the Perturbation Theory of Hamiltonian System,2010]考慮了一類環(huán)面擾動(dòng)向量場(chǎng)的解析可約性。對(duì)于向量場(chǎng)族而言,P′erez Marco[Comm.Math.Phys.223(2001),451 464;Ann.Math.157(2003),557 574]利用Pluripolar理論研究了向量場(chǎng)族與微分同胚族在平衡點(diǎn)鄰域的一致可約性。在他們工作的基礎(chǔ)之上,我們給出了環(huán)面擾動(dòng)解析微分同胚與解析向量場(chǎng)在未擾動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)滿足其它的條件下的解析正規(guī)化子的存在性。進(jìn)一步地,我們將P′erez Marco的結(jié)論擴(kuò)展到環(huán)面微分同胚族與環(huán)面向量場(chǎng)族,得到了環(huán)面微分同胚族與向量場(chǎng)族的幾乎可約性。這些推廣的難度主要體現(xiàn)在:1、為了證明同倫方程解析解的存在性,需要構(gòu)建復(fù)數(shù)帶形區(qū)域上的Fourier理論,這比原點(diǎn)鄰域Fourier理論的證明上更加復(fù)雜;2、在證明幾乎可約性定理中,為了應(yīng)用Bernstein-Walsh引理來(lái)處理非Pluripolar集,我們所構(gòu)造的可數(shù)子集分解起到了關(guān)鍵的作用。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：上海交通大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175

【相似文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前10條

1 梁錦鵬;一類三次系統(tǒng)的極限環(huán)[J];系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué);2003年03期

2 王國(guó)棟,唐衡生,陳文成;一類2n-1次系統(tǒng)的極限環(huán)[J];南華大學(xué)學(xué)報(bào)(理工版);2003年02期

3 高]]，

本文編號(hào)：2357816