【摘要】：本文主要研究Atiyah-Singer局部指標(biāo)定理的推廣和證明及非交換留數(shù).Atiyah-Singer指標(biāo)定理作為比較前沿的研究課題,將看似無關(guān)的數(shù)學(xué)兩大分支—分析與拓?fù)洹o密結(jié)合起來,同時(shí)它也給微分幾何,偏微分方程,微分拓?fù)?算子代數(shù),數(shù)論等諸多領(lǐng)域提供了最基本的聯(lián)系,具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值.Atiyah和Singer在1961年聯(lián)手解決了 Israel Gel'fand的猜測(cè):用流形的拓?fù)洳蛔兞棵枋鼍�性橢圓算子的指標(biāo).二人在此結(jié)論的基礎(chǔ)上創(chuàng)建了 Atiyah-Singer指標(biāo)定理.Atiyah-Singer指標(biāo)定理可敘述為:緊致流形上的任何一個(gè)線性橢圓算子的解析指標(biāo)等于其拓?fù)渲笜?biāo).自Atiyah和Singer在1963年宣布Atiyah-Singer指標(biāo)定理后,出現(xiàn)了其多種推廣和證明方法,其中熱核證明方法得到了很多學(xué)者的關(guān)注.Patodi首次利用熱核方法證明了局部Gauss-Bonnet-Chern定理.幾年后,Getzler和Bismut利用熱核方法分別給出了局部指標(biāo)定理的純解析證明.這引導(dǎo)出了很多局部指標(biāo)定理的推廣和不同的熱核證明,其中Ponge利用Getzler.rescaling和Greiner的熱核漸近法給了的局部指標(biāo)定理的證明.該證明方法是本篇論文主要沿用的證明方法.Ponge和Wang利用Getzler rescaling和Greiner的熱核漸近法證明了等變局部指標(biāo)定理.Lafferty, Yu, Zhang利用熱核Clifford漸近展開法在偶數(shù)維Spin流形上給出了保定向等距映射下的Lefschetz定點(diǎn)公式.Wang利用Getzler rescaling和Greiner的熱核漸近法證明了一族Dirac算子的局部指標(biāo)定理和等變局部指標(biāo)定理.起初,Lefschetz理論在等變指標(biāo)定理證明中的應(yīng)用都是在偶數(shù)維流形上的保持定向等距對(duì)合的情況下進(jìn)行,在奇數(shù)維流形的情況下沒有非平凡的Lefschetz公式.Freed考慮了作用在緊致奇數(shù)維Spin流形上的定向反轉(zhuǎn)等距對(duì)合的情況,用K理論的方法給出了相應(yīng)的Lefschetz公式,進(jìn)一步給出Dirac算子的奇數(shù)維指標(biāo)公式.Wang利用Dirac算子和定向反轉(zhuǎn)等距對(duì)合構(gòu)建了一個(gè)偶譜三元組并計(jì)算了其Chern-Connes特征.Wang和Liu在Freed的結(jié)論的基礎(chǔ)上證明了帶有反演分次的Dirac算子的奇數(shù)維等變指標(biāo)定理.受到以上證明方法和結(jié)論的啟發(fā),本文第二章利用Getzler rescaling和Greiner的熱核漸近法證明了一族Dirac算子的奇數(shù)維局部指標(biāo)定理和等變局部指標(biāo)定理.Zhang介紹了 Sub-Signature算子并證明了其局部指標(biāo)定理.Ma, Zhang, Dai等人利用Sub-Signature算子給出了 Riemann-Roch-Grothendieck型公式的新的證明.本文第三章利用Getzler rescaling和Greiner的熱核漸近法證明了 Sub-Signature算子的偶數(shù)維等變局部指標(biāo)定理.另一方面,非交換幾何是當(dāng)前十分活躍的研究領(lǐng)域.它對(duì)幾何、拓?fù)�、�?shù)論,以及物理都產(chǎn)生著重要的影響.非交換留數(shù)被發(fā)現(xiàn)于Adler和Wodzicki的相關(guān)研究文獻(xiàn)中,在非交換幾何中扮演著重要的角色.Connes發(fā)現(xiàn)Dirac算子的逆平方的非交換留數(shù)與Einstein-Hilbert作用成比例,現(xiàn)稱此結(jié)論為Kastler-Kalau-Walze定理.Kastler和Kalau,Walze分別獨(dú)立的證明了此定理.近期,Ponge利用非交換留數(shù)定義了低維黎曼流形體積.Fedosov等人結(jié)合熱核展開方法給出了帶邊流形的非交換留數(shù)表示.Wang定義了關(guān)于Dirac算子的帶邊流形低維體積并證明了相應(yīng)的Kastler-Kalau-Walze類型定理.Wang在7維Spin帶邊流形上計(jì)算了 Wres[(π+D-2)2]并證明了相應(yīng)的Kastler-Kalau-Walze類型定理.Ackermann和Tolksdorf在偶數(shù)維Spin流形上證明了最一般的帶撓率的Dirac算子的Lichnerowicz公式.Wang等人在緊致帶邊Spin流形上得到關(guān)于帶撓率的Dirac算子的Kastler-Kalau-Walze類型定理,并相應(yīng)的導(dǎo)出了流形上的重力作用.在以上結(jié)論的基礎(chǔ)上,本文第四章證明了 7維帶邊Spin流形上的關(guān)于帶撓率的Dirac算子的一個(gè)Kastler-Kalau-Walze類型定理,并導(dǎo)出了 7維帶邊Spin流形上的重力作用.全文共四章.本文第一章主要回顧了 Greiner的熱核漸近法,正交標(biāo)架與法坐標(biāo)系的概念及帶邊流形上的非交換留數(shù)的相關(guān)主要概念和結(jié)論.本文第二章利用Getzler rescaling和Greiner的熱核漸近法證明了一族Dirac算子的奇數(shù)維局部指標(biāo)定理及等變局部指標(biāo)定理.本文第三章利用Getzler rescaling和Greiner的熱核漸近法證明了 Sub-Signature算子的偶數(shù)維等變局部指標(biāo)定理.本文第四章證明了 7維帶邊Spin流形上的關(guān)于帶撓率的Dirac算子的一個(gè)Kastler-Kalau-Walze 類型定理,并導(dǎo)出了 7 維帶邊 Spin 流形上的重力作用.
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【學(xué)位授予單位】：東北師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O174

【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前1條

1 張偉平;子符號(hào)差算子及其局部指標(biāo)定理[J];科學(xué)通報(bào);1996年04期

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1 王劍;非交換留數(shù)、重力、共形不變量和幾何量子化公式[D];東北師范大學(xué);2014年

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本文編號(hào)：2354563