【摘要】：關(guān)于多尺度模型問題(包括帶奇性多尺度問題)的研究,在科學(xué)和工程上有著非常廣泛的應(yīng)用.本文針對多尺度模型問題分別提出了多尺度間斷Galerkin方法(包括多尺度間斷有限元方法和多尺度間斷Petrov-Galerkin方法)；傳統(tǒng)有限元和超樣本多尺度Petrov-Galerkin方法相結(jié)合的組合方法；多尺度間斷有限體積元方法.在第二章中,我們研究了多尺度間斷Galerkin方法(MsDGM),包括多尺度間斷有限元和多尺度間斷Petrov-Galerkin方法.DG方法在處理曲邊問題和非一致,非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格等情況時(shí)更有優(yōu)勢,而且DG格式具有局部守恒性質(zhì).這些優(yōu)點(diǎn)在多尺度問題中有很多應(yīng)用MsDGM是多尺度方法和DG方法的耦合,其主要思想是在超樣本多尺度有限元空間中利用DG格式進(jìn)行多尺度數(shù)值模擬.本章針對多尺度問題分別采用了間斷有限元和間斷Petrov-Galerkin兩種數(shù)值求解方法.在DG的格式下,共振誤差消失了.另外,Petrov-Galerkin方法可以降低計(jì)算復(fù)雜性.我們給出了誤差分析并進(jìn)行了數(shù)值模擬.數(shù)值試驗(yàn)顯示數(shù)值方法是有效的.在第三章中,我們提出了組合有限元和超樣本多尺度Petrov-Galerkin方法(FE-OMsPGM)用于求解奇性多尺度橢圓問題.例如,地下水流模擬中的通道問題或井-區(qū)域附近的奇性問題.FE-OMsPGM的基本思想是：先將計(jì)算區(qū)域分為問題區(qū)域和普通區(qū)域,其中問題區(qū)域是奇性所在的區(qū)域.然后在問題區(qū)域上利用細(xì)網(wǎng)格上的傳統(tǒng)有限元方法,在普通區(qū)域上利用超樣本多尺度Petrov-Galerkin方法,兩種區(qū)域的交界面上的銜接問題利用加罰技術(shù)來處理FE-OMsPGM融合了FEM和OMsPGM的優(yōu)點(diǎn),自由度比傳統(tǒng)FEM的少,處理奇性問題的效果比OMsPGM的效果好.我們給出了誤差分析和相應(yīng)的數(shù)值試驗(yàn).數(shù)值結(jié)果顯示了FE-OMsPGM的正確性和有效性.在第四章中,我們研究了間斷有限體積元方法(DFVEM).有限體積元方法是一種質(zhì)量守恒格式,在計(jì)算流體動力學(xué)中有很廣泛的應(yīng)用.間斷有限體積元方法融合了DG和FVEM二者的優(yōu)點(diǎn).我們構(gòu)造了一種新的DFVEM,較之前的DFVEM,不同之處在于控制體的選取.本章研究的目的是為了提出求解多尺度模型問題的多尺度間斷有限體積元方法.誤差分析和相應(yīng)的數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了方法的正確性.在第五章中,我們提出了多尺度間斷有限體積元方法(MsDFVEM)求解多尺度問題MsDFVEM是多尺度方法與間斷有限體積元方法的一種耦合,其基本思想是在超樣本多尺度有限元空間中利用間斷有限體積元方法逼近多尺度解,不僅可以準(zhǔn)確的抓住小尺度的信息,同時(shí)也可以獲得粗網(wǎng)格上的質(zhì)量守恒.MsDFVEM可以看作是MsDPGM的一個(gè)小的擾動,因此在MsDPGM的基礎(chǔ)上,我們只需對擾動項(xiàng)進(jìn)行分析,進(jìn)而給出MsDFVEM的誤差分析.
[Abstract]:The study of multi-scale model problems (including singularity multi-scale problems) has been widely used in science and engineering. In this paper, the multi-scale discontinuous Galerkin method (including the multi-scale discontinuous finite element method and the multi-scale discontinuous Petrov-Galerkin method) and the combination of the traditional finite element method and the super-sample multi-scale Petrov-Galerkin method are proposed to solve the multi-scale model problems, respectively. Multiscale discontinuous finite volume element method. In the second chapter, we study the multiscale discontinuous Galerkin method (MsDGM), which includes the multiscale discontinuous finite element method and the multiscale discontinuous Petrov-Galerkin method. The DG method has advantages in dealing with curved edge problems and non-uniform, unstructured meshes, etc. Moreover, the DG scheme has the property of local conservation. Many of these advantages are coupled by MsDGM and DG methods in multi-scale problems. The main idea is to use DG scheme to carry out multi-scale numerical simulation in super-sample multi-scale finite element space. In this chapter, two numerical methods, discontinuous finite element method and discontinuous Petrov-Galerkin method, are used to solve the multi-scale problem. In the DG scheme, the resonance error disappears. In addition, the Petrov-Galerkin method can reduce computational complexity. Error analysis and numerical simulation are given. Numerical experiments show that the numerical method is effective. In chapter 3, we propose a combined finite element method and a super-sample multi-scale Petrov-Galerkin method (FE-OMsPGM) for solving singular multi-scale elliptic problems. For example, the passage problem in groundwater flow simulation or the singularity problem near the well- region. The basic idea of FE-OMsPGM is that the computational region is divided into the problem region and the ordinary region, where the problem region is the region where the singularity is located. Then the traditional finite element method on fine mesh is used in the problem area, and the hyper-sample multi-scale Petrov-Galerkin method is used in the ordinary area. The problem of connection at the interface between the two regions is solved by adding penalty technique to deal with the advantages of FEM and OMsPGM. The degree of freedom is less than that of traditional FEM, and the effect of dealing with singularity is better than that of OMsPGM. Error analysis and corresponding numerical experiments are given. Numerical results show the correctness and validity of FE-OMsPGM. In chapter 4, we study the discontinuous finite volume element method (DFVEM).) Finite volume element method (FVM) is a mass conservation scheme, which is widely used in computational fluid dynamics (CFD). The discontinuous finite volume element method combines the advantages of DG and FVEM. We construct a new DFVEM, which is different from the previous DFVEM, in the selection of control bodies. The purpose of this chapter is to propose a multiscale discontinuous finite volume element method for solving multiscale model problems. The correctness of the method is verified by error analysis and corresponding numerical experiments. In chapter 5, we propose a multiscale discontinuous finite volume element method (MsDFVEM) for solving multiscale problem MsDFVEM is a coupling of the multiscale method and the discontinuous finite volume element method. Its basic idea is to use the discontinuous finite volume element method to approach the multi-scale solution in the hyper-sample multi-scale finite element space, which can not only accurately grasp the small scale information. At the same time, we can obtain the mass conservation on rough meshes. MsDFVEM can be regarded as a small disturbance of MsDPGM. Therefore, on the basis of MsDPGM, we only need to analyze the perturbation term and then give the error analysis of MsDFVEM.
【學(xué)位授予單位】：南京大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

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本文編號：2286223