【摘要】：本文主要研究非線性偏微分方程多解計(jì)算的大范圍收斂性算法及其相關(guān)應(yīng)用。非線性偏微分方程解的多重性和不穩(wěn)定性,給計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和相關(guān)理論的研究帶來了諸多本質(zhì)的困難,尤其是直接針對(duì)非線性偏微分方程本身的具有大范圍收斂性的數(shù)值算法的研究尚處于起步階段。如何設(shè)計(jì)穩(wěn)定的數(shù)值算法去逼近不穩(wěn)定的解,同時(shí)減少非線性偏微分方程多解計(jì)算對(duì)初值的依賴性,從而實(shí)現(xiàn)大范圍收斂性,又保證每次所計(jì)算出來的解一定為新解,從而使得每次計(jì)算都有效。上述內(nèi)容都是非常重要且富有挑戰(zhàn)性的科學(xué)問題。文章主要包含兩部分內(nèi)容。首先第一部分內(nèi)容針對(duì)具有山路型變分結(jié)構(gòu)的一類非線性偏微分方程,首先介紹基于標(biāo)準(zhǔn)化非精確搜索準(zhǔn)則的局部極小極大方法(LMM)的基本概念和思想,并回答“最優(yōu)化理論中Goldstein線性搜索策略是否能夠推廣應(yīng)用到無限維Hilbert空間非線性偏微分方程多解的計(jì)算中”這一問題。文中借助能量泛函J的梯度與局部峰選擇p(v)的有界變差的關(guān)系給出標(biāo)準(zhǔn)化Goldstein搜索準(zhǔn)則,該準(zhǔn)則克服了標(biāo)準(zhǔn)化Armijo搜索準(zhǔn)則在算法中需要人為設(shè)置一個(gè)最小迭代步長(zhǎng)的缺陷。值得注意的是,在原來的LMM算法的可行性證明中,局部峰選擇p(v)滿足局部Lipschitz連續(xù)是一個(gè)非常重要的條件。本文將借助X.D.Yao在文獻(xiàn)[114]中定義的局部峰選擇p(v)所謂的“超線性”性質(zhì)將基于標(biāo)準(zhǔn)化Goldstein搜索準(zhǔn)則和Armijo搜索準(zhǔn)則的LMM算法的可行性證明中,p(v)的局部Lipschitz連續(xù)性條件降低為連續(xù)即可,并給出了在這種較弱的假定之下,上述兩個(gè)算法的全局收斂性。第二部分的內(nèi)容討論旨在計(jì)算新解的增廣部分牛頓法(APNM)。通過已找的解的信息構(gòu)造合適的增廣奇異變換(AST),再利用APN-M方法求解相應(yīng)的增廣奇異方程。該方法將迭代限制在一類廣義的Nehari流形MG內(nèi)進(jìn)行,打破了經(jīng)典Newton法的奇異線-局部場(chǎng)結(jié)構(gòu)和對(duì)稱不變性,這是區(qū)別于其他Newton型算法的最大亮點(diǎn)。值得指出的是,該算法不受變分結(jié)構(gòu)的限制,并保證了每次計(jì)算出來的解必定為新解,但其核心是構(gòu)造合適的增廣奇異變換。在我們已有工作的基礎(chǔ)上[115],本文將提出一類新的巧妙地增廣奇異變換G,其在形式上雖然只與文[115]中的增廣奇異變換G發(fā)生了看似細(xì)微的改變,但其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)卻發(fā)生了巨大變化。事實(shí)上,利用該新的增廣奇異變換G在計(jì)算新解時(shí)所需條件將大為減弱,且條件易于驗(yàn)證。此外上述利用新的增廣奇異變換G求新解的思想對(duì)于非齊次問題同樣適用,從而擴(kuò)大了APNM方法的應(yīng)用范圍。本部分內(nèi)容將給出基于這類新的增廣奇異變換G的APNM方法的理論分析,并將其直接應(yīng)用到幾類非線性偏微分方程多解計(jì)算中,其中包含Henon方程、Gross-Pitaevskii方程以及一類非齊次非線性偏微分方程。
[Abstract]:In this paper, the large range convergence algorithm of nonlinear partial differential equations with multiple solutions and its related applications are studied. The multiplicity and instability of the solutions of nonlinear partial differential equations bring many essential difficulties to the design of calculation methods and the study of related theories. Especially, the study of numerical algorithms with large range convergence for nonlinear partial differential equations is still in its infancy. How to design a stable numerical algorithm to approximate the unstable solution, and at the same time to reduce the dependence of the multiple solutions of nonlinear partial differential equations on the initial value, so as to achieve the convergence of a wide range, and to ensure that the solution calculated every time must be a new solution. So that every calculation is effective. All of these are very important and challenging scientific issues. The article mainly contains two parts. In the first part, for a class of nonlinear partial differential equations with mountain path variational structure, the basic concepts and ideas of the local minimax method (LMM) based on the standard inexact search criterion are introduced. The question whether the Goldstein linear search strategy in optimization theory can be extended to the computation of multiple solutions of nonlinear partial differential equations in infinite dimensional Hilbert spaces is answered. Based on the relationship between the gradient of the energy functional J and the bounded variation of the local peak selection p (v), a normalized Goldstein search criterion is presented, which overcomes the defect that the normalized Armijo search criterion needs to set a minimum iterative step size artificially in the algorithm. It is worth noting that the local peak selection of p (v) to satisfy the local Lipschitz continuity is a very important condition in the feasibility of the original LMM algorithm. In this paper, with the help of the local peaks defined by X.D.Yao in reference [114], the so-called "superlinear" property of p (v) is chosen. The feasibility of the LMM algorithm based on standardized Goldstein search criteria and Armijo search criteria is proved by reducing the local Lipschitz continuity condition of p (v) to continuity. The global convergence of the two algorithms is given under this weak assumption. The second part discusses the augmented partial Newton method (APNM).) for calculating the new solution. The appropriate augmented singular transformation (AST),) is constructed from the information of the solution, and the APN-M method is used to solve the corresponding augmented singular equation. The method limits the iteration to a class of generalized Nehari manifold MG and breaks the singular line-local field structure and symmetry invariance of the classical Newton method, which is the highlight of other Newton algorithms. It is worth pointing out that the algorithm is not restricted by the variational structure and ensures that the solution calculated every time must be a new solution, but its core is to construct an appropriate augmented singular transformation. On the basis of our previous work, this paper will propose a new class of ingeniously augmented singular transformations G, whose mathematical structure has changed greatly although it only appears to change slightly with the augmented singular transformation G in [115]. As a matter of fact, the conditions required for the calculation of the new solution by using the new augmented singular transformation G will be greatly weakened, and the conditions are easy to verify. In addition, the idea of using the new augmented singular transformation G to find the new solution is also applicable to the nonhomogeneous problem, thus extending the application of the APNM method. In this part, the theoretical analysis of the APNM method based on the new augmented singular transformation G is given, and it is directly applied to the multiple solutions of several nonlinear partial differential equations. It contains Henon equation, Gross-Pitaevskii equation and a class of nonhomogeneous nonlinear partial differential equations.
【學(xué)位授予單位】：湖南師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O175.29

【相似文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前10條

1 李德勝;張才仙;陳淑銘;;選擇策略對(duì)進(jìn)化算法性能的影響[J];科技資訊;2007年11期

2 梁民,孫仲康;多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的快速學(xué)習(xí)算法及其仿真研究[J];系統(tǒng)工程與電子技術(shù);1993年09期

3 王忠;陳伏虎;;基于陣元域數(shù)據(jù)的聯(lián)合檢測(cè)與跟蹤算法[J];聲學(xué)學(xué)報(bào)(中文版);2007年06期

4 蘇開樂;關(guān)于D.W.Etherington的擴(kuò)充產(chǎn)生算法的一個(gè)注記[J];計(jì)算機(jī)工程與科學(xué);1998年04期

5 江宇聞;;Overcomplete ICA算法研究[J];中山大學(xué)研究生學(xué)刊(自然科學(xué)、醫(yī)學(xué)版);2004年02期

6 王杰;王加銀;;Mean Shift算法的收斂性討論[J];北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2008年05期

7 胡夢(mèng)佑;陳鈞量;;快速加權(quán)滑窗RLS格型算法[J];中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);1992年02期

8 裴炳南;吳顯鼎;張明武;;MLMS算法的偽收斂現(xiàn)象[J];河南科學(xué);1993年Z1期

9 張承慧;一種工業(yè)過程時(shí)變參數(shù)估計(jì)新算法——修正目標(biāo)函數(shù)法[J];中國(guó)工程科學(xué);2001年11期

10 丁海軍;李峰磊;;蜂群算法在TSP問題上的應(yīng)用及參數(shù)改進(jìn)[J];中國(guó)科技信息;2008年03期

相關(guān)會(huì)議論文 前10條

1 何敏;陳中顯;梅松濤;;蟻群算法的研究與進(jìn)展[A];中國(guó)計(jì)量協(xié)會(huì)冶金分會(huì)2010年會(huì)論文集[C];2010年

2 高瑋;;免疫連續(xù)蟻群算法[A];第二十六屆中國(guó)控制會(huì)議論文集[C];2007年

3 唐乾玉;韓曾晉;;基于擾動(dòng)分析的優(yōu)化算法[A];1994中國(guó)控制與決策學(xué)術(shù)年會(huì)論文集[C];1994年

4 金成勛;周廣祿;郭恒業(yè);;對(duì)ICP算法中穩(wěn)定采樣的研究[A];立體圖象技術(shù)及其應(yīng)用研討會(huì)論文集[C];2005年

5 陳元琰;閆友彪;羅曉曙;;REM算法的改進(jìn)[A];廣西計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)2005年學(xué)術(shù)年會(huì)論文集[C];2005年

6 范瑛;;改進(jìn)蟻群算法結(jié)合BP網(wǎng)絡(luò)用于入侵檢測(cè)[A];中國(guó)運(yùn)籌學(xué)會(huì)模糊信息與模糊工程分會(huì)第五屆學(xué)術(shù)年會(huì)論文集[C];2010年

7 萬麗芬;鐘炎平;;約束LMS算法研究[A];第二十屆電工理論學(xué)術(shù)年會(huì)論文集[C];2008年

8 云飛;薛青;姚義軍;;改進(jìn)型LMBP算法在軍事數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用研究[A];'2010系統(tǒng)仿真技術(shù)及其應(yīng)用學(xué)術(shù)會(huì)議論文集[C];2010年

9 朱雙東;艾智斌;閻夏;;BP網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法的改進(jìn)方案探析[A];1998年中國(guó)智能自動(dòng)化學(xué)術(shù)會(huì)議論文集（上冊(cè)）[C];1998年

10 唐乾玉;陳翰馥;韓曾晉;;串行生產(chǎn)線的參數(shù)優(yōu)化[A];1994年中國(guó)控制會(huì)議論文集[C];1994年

相關(guān)博士學(xué)位論文 前10條

1 楊擴(kuò)軍;TIADC系統(tǒng)校準(zhǔn)算法研究與實(shí)現(xiàn)[D];電子科技大學(xué);2015年

2 黃亞魁;幾類優(yōu)化問題的BB型算法研究[D];西安電子科技大學(xué);2015年

3 王戈;通信信號(hào)若干聯(lián)合處理技術(shù)研究[D];解放軍信息工程大學(xué);2013年

4 易雯帆;非線性偏微分方程多解計(jì)算大范圍收斂算法及其應(yīng)用研究[D];湖南師范大學(xué);2016年

5 王可心;大規(guī)模過程系統(tǒng)非線性優(yōu)化的簡(jiǎn)約空間理論與算法研究[D];浙江大學(xué);2008年

6 鮑吉鋒;平衡問題和優(yōu)化問題若干算法的收斂性分析[D];浙江大學(xué);2013年

7 韓飛;基于先驗(yàn)信息編碼的約束學(xué)習(xí)算法研究[D];中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué);2006年

8 袁東輝;蟻群算法在飛行模擬器平臺(tái)中若干應(yīng)用問題的研究[D];吉林大學(xué);2011年

9 厲丹;視頻目標(biāo)檢測(cè)與跟蹤算法及其在煤礦中應(yīng)用的研究[D];中國(guó)礦業(yè)大學(xué);2011年

10 滕月陽(yáng);正電子發(fā)射斷層成像中的數(shù)學(xué)模型與算法[D];東北大學(xué);2012年

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前10條

1 楊展;城軌列車自動(dòng)調(diào)整系統(tǒng)模型與算法研究[D];西南交通大學(xué);2015年

2 馬英鈞;基于人工蜂群算法的約束優(yōu)化問題研究[D];華中師范大學(xué);2015年

3 錢其;電網(wǎng)諧波和間諧波功率的計(jì)量算法研究[D];中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué);2015年

4 蔣玉冰;無線通信信號(hào)到達(dá)角跟蹤算法研究[D];電子科技大學(xué);2014年

5 孫方亮;基于粒子群與中心引力的一種新混合算法及應(yīng)用[D];西安電子科技大學(xué);2014年

6 于詩(shī)杰;基于無波前探測(cè)的大氣光通信自適應(yīng)補(bǔ)償方法研究[D];西安電子科技大學(xué);2014年

7 柯家龍;壓縮感知算法及其在成像中的應(yīng)用[D];南京郵電大學(xué);2015年

8 劉光泓;并行磁共振圖像全變分恢復(fù)一階算法研究[D];南京郵電大學(xué);2015年

9 張德祥;基于改進(jìn)蟻群算法的機(jī)器人三維路徑規(guī)劃研究[D];青島科技大學(xué);2015年

10 張申利;基于蜂群算法的GIS優(yōu)化選址及其并行化研究與應(yīng)用[D];中國(guó)石油大學(xué)(華東);2014年

，

本文編號(hào)：2252367