【摘要】：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)廣泛存在于自然界和人類社會中,如互聯(lián)網(wǎng)、交通網(wǎng)、電力網(wǎng)、蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)、人際關(guān)系網(wǎng)等等.可以說任何由相同或不同個體構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng),當我們把這些個體抽象為節(jié)點,個體之間的相互作用抽象為邊時,都可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來表征.近年來,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究已經(jīng)在數(shù)學、物理、計算機科學、力學、生命科學及信息科學等多個學科領(lǐng)域內(nèi)展開,取得了令人矚目的成就.隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在流行病的防控、互聯(lián)網(wǎng)的擁塞控制、交通系統(tǒng)的優(yōu)化、電力系統(tǒng)級聯(lián)故障的分析及生態(tài)系統(tǒng)的演化等領(lǐng)域的普遍應(yīng)用,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動力學與控制受到了學術(shù)界眾多科研工作者的廣泛關(guān)注和深入研究.研究表明,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的大多數(shù)復(fù)雜動力學行為都是伴隨著網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)和節(jié)點動力學性質(zhì)的改變而產(chǎn)生的.特別地,具有時滯和非線性因素的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)通常會出現(xiàn)諸如穩(wěn)定、不穩(wěn)定、同步、振蕩、分岔和混沌等特殊的行為,對這些動力學行為的研究為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在各領(lǐng)域的實際應(yīng)用提供了非常重要的理論基礎(chǔ)和依據(jù).然而,具有時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的特征方程是包含指數(shù)函數(shù)的超越方程,無法精確解出它的無窮多個特征根,給網(wǎng)絡(luò)動力學的分析帶來了一定的難度.因此,關(guān)于時滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學的研究極具挑戰(zhàn)性,同時對人類社會的發(fā)展具有重要的科學意義和實際應(yīng)用價值.目前,研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動力學行為主要為實現(xiàn)以下幾個目的:一是理解網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)如何影響網(wǎng)絡(luò)的動力學行為;二是理解網(wǎng)絡(luò)上的動力學行為如何決定網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu);三是如何采用合適的控制策略來控制網(wǎng)絡(luò)達到預(yù)期的動力學行為.本文以具有時滯的耦合振子網(wǎng)絡(luò)為對象,開展復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動力學行為與控制的研究.論文的主要研究內(nèi)容和創(chuàng)新點如下:(1)研究一類具有激勵或抑制長連接的時滯小世界振子網(wǎng)絡(luò)的動力學行為.根據(jù)矩陣的擾動理論,分別給出網(wǎng)絡(luò)連接強度矩陣的最大和最小特征值的上界和下界.基于時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性基本理論,考察了系統(tǒng)特征方程的特征根的分布,研究了網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性,給出網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)完全穩(wěn)定和完全不穩(wěn)定的區(qū)域.討論了小世界網(wǎng)絡(luò)的魯棒穩(wěn)定性,并將本文給出的穩(wěn)定性判定條件與平均場理論給出的穩(wěn)定性條件進行比較分析.雖然文中給出的穩(wěn)定性條件是保守的,但能確保在絕大多數(shù)情形下系統(tǒng)穩(wěn)定,特別是在激勵和抑制連接同時存在的條件下.給出網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)發(fā)生叉型分岔和Hopf分岔的充分條件.最后通過數(shù)值模擬討論了連接強度矩陣的特征值離開穩(wěn)定性區(qū)域的先后順序和方向.(2)研究一類具有時滯的復(fù)雜振子網(wǎng)絡(luò)的牽制控制.首先利用正交變換,將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)映射成為一個簡單的具有相同動力學性質(zhì)的等價系統(tǒng).通過對轉(zhuǎn)換后系統(tǒng)的特征方程進行分析,發(fā)現(xiàn)所研究系統(tǒng)的平衡點對任何時滯都是不穩(wěn)定的.為鎮(zhèn)定不穩(wěn)定的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),本文提出了一種具有時滯狀態(tài)反饋的有效控制策略-牽制控制,即通過控制網(wǎng)絡(luò)的一少部分節(jié)點達到控制整個網(wǎng)絡(luò)的目的.通過對受控網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進行分析并利用正交變換的逆變換,給出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)平衡點的局部穩(wěn)定性、Hopf分岔及余維2分岔的存在條件.利用中心流形定理和規(guī)范形理論研究了Hopf分岔的方向和分岔周期解的穩(wěn)定性.最后通過數(shù)值模擬考察了網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)通向混沌的路徑.(3)研究一類具有時滯的雙層耦合復(fù)雜振子網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和復(fù)雜時空動力學.首先,應(yīng)用分而治之算法,分析了雙層網(wǎng)絡(luò)與每個單層網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣的特征值之間的關(guān)系,進而給出系統(tǒng)的平衡點局部穩(wěn)定的判定條件.發(fā)現(xiàn)雙層網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性完全可以通過單層網(wǎng)絡(luò)矩陣的最大和最小特征值來確定,因此僅需要通過研究單層網(wǎng)絡(luò)即可以了解整個網(wǎng)絡(luò)的動力學行為.當網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)量較大時,大大降低了理論分析的難度并簡化了計算過程.應(yīng)用中心流形定理分析了系統(tǒng)的周期性,表明雙層振子之間相互作用可以產(chǎn)生復(fù)雜的時空動力學行為,如反射波,鏡面波等.最后,數(shù)值模擬驗證了理論分析的結(jié)果.(4)研究一類具有隨機長連接強度的時滯小世界振子網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性.應(yīng)用隨機矩陣理論和矩陣擾動理論,分析了網(wǎng)絡(luò)連接強度矩陣最大特征值的概率分布和最小特征值的下界,進而通過對時滯系統(tǒng)特征方程的特征根進行分析給出系統(tǒng)的平衡點局部完全穩(wěn)定和完全不穩(wěn)定的判定條件.對于給定的系統(tǒng)參數(shù),給出了計算系統(tǒng)穩(wěn)定的概率公式.并討論長連接概率和隨機長連接強度的均值、方差對網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響.
[Abstract]:Complex networks exist widely in nature and human society, such as the Internet, transportation networks, power networks, protein-protein interaction networks, interpersonal networks, etc. It can be said that any complex system composed of the same or different individuals, when we abstract these individuals as nodes, the interaction between individuals as edges, we can use complexity. In recent years, research on complex networks has been carried out in many fields, such as mathematics, physics, computer science, mechanics, life science and information science, and has made remarkable achievements. The dynamics and control of complex networks have been extensively and deeply studied by many researchers in the academia. The results show that most of the complex dynamic behaviors of complex networks are accompanied by the changes of topological structure and dynamic properties of nodes. In general, complex networks with time-delay and nonlinearity usually exhibit special behaviors such as stability, instability, synchronization, oscillation, bifurcation and chaos. The study of these dynamic behaviors provides a very important theoretical basis and basis for the practical application of complex networks in various fields. Characteristic equation is a transcendental equation containing exponential function, which can not accurately solve its infinite number of characteristic roots. It brings a certain degree of difficulty to the analysis of network dynamics. To study the dynamic behavior of complex networks is to understand how the topological structure of the network affects the dynamic behavior of the network; to understand how the dynamic behavior of the network determines the topological structure of the network; and to adopt appropriate control strategies to control the network to achieve the desired dynamic behavior. The main contents and innovations of this paper are as follows: (1) The dynamic behavior of a class of small-world oscillator networks with time-delay and excitation or suppression of long connections is studied. According to the perturbation theory of matrices, the network connections are given respectively. The upper and lower bounds of the maximum and minimum eigenvalues of the strength matrix are given. Based on the stability theory of time-delay systems, the distribution of eigenvalues of the eigenvalues of the eigenvalues of the systems is investigated, the stability and instability of the networks are studied, and the regions of complete stability and complete instability of the networks are given. The stability criterion given in this paper is compared with the stability criterion given in the mean field theory. Although the stability criterion given in this paper is conservative, it can ensure the stability of the system in most cases, especially under the condition that both excitation and restraint connections exist simultaneously. Finally, the order and direction of the eigenvalues of the connection strength matrix leaving the stability region are discussed by numerical simulation. (2) The pinning control of a class of complex oscillator networks with time delay is studied. By analyzing the characteristic equations of the transformed system, it is found that the equilibrium point of the studied system is unstable for any time delay. To stabilize the unstable network system, an effective control strategy with time-delay state feedback, i.e. pinned control, is proposed. By analyzing the controlled network system and using the inverse transformation of orthogonal transformation, the local stability of equilibrium point, the existence conditions of Hopf bifurcation and codimension 2 bifurcation are given. The direction of Hopf bifurcation and the stability of bifurcation periodic solution are studied by using the central manifold theorem and the normal form theory. The path to chaos is investigated by numerical simulation. (3) The stability and complex space-time dynamics of a class of two-layer coupled complex oscillator networks with time-delay are studied. Firstly, the relationship between the eigenvalues of the adjacency matrix of the two-layer network and each single-layer network is analyzed by using the divide-and-conquer algorithm, and then the equilibrium of the system is given. It is found that the stability of a two-layer network can be determined by the maximum and minimum eigenvalues of the single-layer network matrix, so the dynamic behavior of the whole network can be understood only by studying the single-layer network. The periodicity of the system is analyzed by using the central manifold theorem. It is shown that the interaction between two-layer oscillators can produce complex spatio-temporal dynamic behaviors, such as reflected waves, mirror waves, etc. Finally, the results of theoretical analysis are verified by numerical simulation. (4) A class of small-world oscillator networks with stochastic long connection strength is studied. Stability and instability. By using random matrix theory and matrix perturbation theory, the probability distribution of the maximum eigenvalue and the lower bound of the minimum eigenvalue of the network connection strength matrix are analyzed. For a given system parameter, the probabilistic formula for calculating the stability of the system is given. The effects of the mean and variance of the long connection probability and the stochastic long connection strength on the stability of the network are discussed.
【學位授予單位】：吉林大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O157.5

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本文編號：2213290