【摘要】：本文主要考慮具奇異或退化性質(zhì)的二階拋物型方程的系數(shù)反演問題,研究在適當(dāng)?shù)母郊訔l件下解的唯一性和條件穩(wěn)定性,正則化問題的解的存在性,唯一性,穩(wěn)定性,收斂性,以及有效的數(shù)值重構(gòu)方法。第一章,首先介紹了偏微分方程系數(shù)反問題的研究背景,其后引入了本文的數(shù)學(xué)模型,并詳細闡述了研究動機和研究的主要困難。第二章,介紹了一些函數(shù)空間和相應(yīng)的積分嵌入理論,以及二階拋物型方程的適定性結(jié)果,這些結(jié)果在后面章節(jié)的證明中起到了重要作用。第三章,研究了一個利用終端觀測值確定二階拋物型方程的輻射系數(shù)的反問題。與通常的終端控制問題不同,這里的觀測數(shù)據(jù)僅在某個固定方向上給出,而不是整個區(qū)域,這會導(dǎo)致拋物型方程的共軛理論在此并不適用。另外,由于方程的定解域是圓或扇形,在極坐標(biāo)下定解域可轉(zhuǎn)化為一個矩形,但同時也會造成方程的主項系數(shù)奇異。為了克服系數(shù)奇異的困難,我們引入了一些賦權(quán)的Sobolev空間�；谧顑�(yōu)控制理論框架,原問題被轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題。我們首先證明了極小元的存在性,并導(dǎo)出了極小元所滿足的必要條件。利用極小元所滿足的必要條件,以及正問題解的一些先驗估計結(jié)果,我們證明了極小元的唯一性和穩(wěn)定性。最后,為了說明最優(yōu)控制問題的解和原問題的解之間的差異,我們還證明了極小元的收斂性,并給出了收斂階。第四章,研究了一個利用附加條件同時重構(gòu)二階退化拋物型方程的初值和源項系數(shù)的反問題。該問題的主要特征有兩點:(i)方程的主項系數(shù)在定解區(qū)域的兩端都退化為零;(ii)方程中包含兩個獨立的未知函數(shù),因之這是一個多參數(shù)反演問題。系數(shù)的退化性一方面會造成方程在定解域的部分邊界上缺失邊界條件,另一方面還會導(dǎo)致方程的解沒有足夠的正則性。首先,我們利用Carleman估計和對數(shù)凸性方法證明了原問題解的唯一性和條件穩(wěn)定性。由于原問題的不適定性,我們利用優(yōu)化方法將原問題轉(zhuǎn)化為一個最優(yōu)控制問題,并建立了正則化解的存在性,必要條件和收斂性。由于控制泛函含有兩個獨立的未知函數(shù),且二者的地位并不相同,我們無法應(yīng)用拋物型方程的共軛理論,否則無法得到正則化解的全局唯一性。我們這里采用的是分項估計的方法,并通過對必要條件的細致分析,最終得到了正則化解的全局唯一性和穩(wěn)定性。第五章,討論了前一章中提出的反問題的數(shù)值重構(gòu)。我們利用Landweber迭代算法來求反問題的數(shù)值解,其中的關(guān)鍵是求出正問題算子的共軛算子的具體形式。然而,由于兩個未知函數(shù)的相互耦合,我們很難直接看出共軛算子的結(jié)構(gòu)。為此,我們采用算子分解方法,通過將正問題算子分解為四個獨立的算子,并分別求出對應(yīng)的共軛算子,最后再組合在一起而得到了正問題算子的共軛算子。我們還進行了數(shù)值實驗,并給出了典型的具體算例。數(shù)值實驗表明我們的算法是穩(wěn)定而有效的,兩個未知函數(shù)都重構(gòu)得很好。
[Abstract]:In this paper, we consider the inversion of coefficients for second-order parabolic equations with singular or degenerate properties. We study the uniqueness and conditional stability of solutions under appropriate additional conditions, the existence, uniqueness, stability, convergence and effective numerical reconstruction methods of regularization problems. In the first chapter, we introduce the coefficients of partial differential equations. In the second chapter, we introduce some function spaces and integral embedding theories, and the well-posed results of second-order parabolic equations. These results play an important role in the proof of the following chapters. In this paper, we study an inverse problem for determining the radiation coefficients of a second order parabolic equation by means of terminal observations. Unlike ordinary terminal control problems, the observed data are given only in a fixed direction, not in the whole region. This leads to the fact that the conjugate theory of the parabolic equation is not applicable here. In addition, the definite solution of the equation is given. In order to overcome the difficulty of coefficient singularity, we introduce some weighted Sobolev spaces. Based on the framework of optimal control theory, the original problem is transformed into an optimization problem. We prove the uniqueness and stability of the minimal element by using the necessary conditions satisfied by the minimal element and some prior estimates of the solution of the positive problem. Finally, we prove the difference between the solution of the optimal control problem and the solution of the original problem. In Chapter 4, we study an inverse problem of simultaneous reconstruction of the initial and source coefficients of Second Order Degenerate Parabolic Equations by using additional conditions. The main characteristics of this problem are as follows: (i) the principal coefficients of the equations degenerate to zero at both ends of the given solution region; (i i) the equations contain two independent unknown functions, because On the one hand, the degeneracy of coefficients leads to the absence of boundary conditions on some boundaries of the solution domain, and on the other hand, the solution of the equation does not have enough regularity. For the ill-posedness of the original problem, we use the optimization method to transform the original problem into an optimal control problem, and establish the existence, necessary conditions and convergence of the regularized solution. The global uniqueness and stability of the regularized solution can not be obtained. In the fifth chapter, the numerical reconstruction of the inverse problem proposed in the previous chapter is discussed. We use Landweber iterative algorithm to solve the inverse problem. The key to the numerical solution of the problem is to find the concrete form of the conjugate operator of the operator of the positive problem. However, because of the coupling of two unknown functions, it is difficult to see the structure of the conjugate operator directly. Finally, the conjugate operator of the positive problem operator is obtained by combining the conjugate operator. Numerical experiments are carried out and a typical example is given. Numerical experiments show that our algorithm is stable and effective, and both unknown functions are well reconstructed.
【學(xué)位授予單位】：蘭州大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O175.26

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本文編號：2200173