【摘要】：高振蕩問題已廣泛出現(xiàn)于許多科學(xué)工程應(yīng)用領(lǐng)域,例如與生活息息相關(guān)的電磁、聲波散射問題,而高振蕩積分方程是高振蕩問題中的一個重要研究方向。然而由于高振蕩積分方程中的高振蕩性質(zhì),傳統(tǒng)積分方程數(shù)值解法面臨極其困難的數(shù)值計算挑戰(zhàn),使得高振蕩積分方程數(shù)值解至今被認(rèn)為是一項極具挑戰(zhàn)性的數(shù)值難題。因此,高振蕩積分方程及其數(shù)值解研究對高振蕩理論和解決實際應(yīng)用問題均有重大意義與價值。本文圍繞高振蕩積分方程的振蕩性質(zhì)及其有效數(shù)值解法展開了廣泛和深入的研究。主要工作及創(chuàng)新點體現(xiàn)在以下幾個方面:(1)提出了振蕩的新概念并定義了新的振蕩函數(shù)空間。本文從振蕩對數(shù)值分析的影響的角度出發(fā)提出了關(guān)于振蕩的新概念,它可以刻畫影響數(shù)值精度的振蕩強弱�；谛抡袷幐拍�,本文定義了新的振蕩函數(shù)空間,包括不同振蕩階的振蕩函數(shù)空間和具有振蕩結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)化振蕩空間。這些空間是分析高振蕩積分方程解的振蕩性質(zhì)的重要工具。(2)進行了高振蕩積分方程解的振蕩性質(zhì)研究�；谡袷幮赂拍詈托抡袷幒瘮�(shù)空間,本文分別研究了兩類高振蕩Fredholm積分方程和高振蕩Volterra積分方程。結(jié)果表明,這兩類振蕩積分方程的解具有振蕩結(jié)構(gòu),在新振蕩概念下可以表示為非振蕩函數(shù)與已知振蕩函數(shù)的乘積的和,同時在新定義的結(jié)構(gòu)化振蕩函數(shù)空間中是非振蕩的。(3)提出了高振蕩積分方程的保振蕩Galerkin法和保振蕩配置法。保振蕩法在標(biāo)準(zhǔn)逼近空間中引進一些簡單又能刻畫方程解振蕩性質(zhì)的振蕩函數(shù),在逼近方程解時保持解的振蕩結(jié)構(gòu),從而使得數(shù)值求解精度不受解的高振蕩影響。數(shù)值實驗結(jié)果表明這些保振蕩法相對于振蕩頻率具有一致的最優(yōu)收斂階并且在振蕩頻率足夠大時在數(shù)值計算上是穩(wěn)定的。(4)提出了多頻振蕩插值。它是保振蕩配置法的基礎(chǔ),其插值函數(shù)除了包含經(jīng)典的多項式函數(shù)還包括一組具有不同振蕩頻率的振蕩函數(shù),可以使得在逼近振蕩函數(shù)時其逼近誤差不隨振蕩頻率的增大而增大。(5)利用基于非均勻網(wǎng)格劃分的保振蕩配置法求解了一類有實際應(yīng)用背景的帶高振蕩Bessel積分核的Volterra積分方程。數(shù)值實驗結(jié)果表明無論強制項函數(shù)是否振蕩,基于非均勻網(wǎng)格劃分的保振蕩配置法均能有效求解這類高振蕩方程而不受高振蕩的影響。本文結(jié)尾總結(jié)了可進一步發(fā)展的三個研究方向:復(fù)雜高振蕩積分方程解的振蕩性分析、保振蕩數(shù)值法的快速算法及并行計算研究以及保振蕩法在實際問題中的應(yīng)用。
[Abstract]:High oscillation problems have been widely used in many scientific engineering applications, such as electromagnetic and acoustic scattering problems, which are closely related to life, and high oscillation integral equations are an important research direction in high oscillation problems. However, due to the high oscillation in the high oscillation integral equation, the traditional numerical solution of the integral equation is faced with a very difficult numerical calculation challenge, so the numerical solution of the high oscillation integral equation is considered to be a challenging numerical problem. Therefore, the study of the high oscillation integral equation and its numerical solution is of great significance and value to the theory of high oscillation and the solution of practical problems. In this paper, the oscillatory properties of high oscillatory integral equations and their effective numerical solutions are studied extensively and deeply. The main work and innovations are as follows: (1) A new concept of oscillation is proposed and a new oscillation function space is defined. From the point of view of the effect of oscillation on numerical analysis, a new concept of oscillation is proposed in this paper, which can describe the intensity of oscillation which affects the numerical accuracy. Based on the new concept of oscillation, a new oscillation function space is defined in this paper, including oscillatory function space with different oscillation order and structured oscillation space with oscillatory structure. These spaces are important tools for analyzing the oscillatory properties of solutions of high oscillatory integral equations. (2) Oscillation properties of solutions of high oscillatory integral equations are studied. Based on the new concept of oscillation and the new oscillatory function space, two kinds of highly oscillatory Fredholm integral equations and highly oscillatory Volterra integral equations are studied in this paper. The results show that the solutions of these two kinds of oscillatory integral equations have oscillatory structures and can be expressed as the sum of the products of nonoscillatory functions and known oscillatory functions under the new concept of oscillation. At the same time, in the newly defined structured oscillatory function space, the nonoscillatory method is proposed. (3) the oscillation-preserving Galerkin method and the oscillation-preserving collocation method for the high oscillation integral equation are proposed. The oscillation-preserving method introduces some simple oscillatory functions in the standard approximation space which can describe the oscillatory properties of the solution of the equation. The oscillatory structure of the solution is maintained when the solution is approximated, so that the accuracy of the numerical solution is not affected by the high oscillation of the solution. Numerical results show that these oscillation-preserving methods have a consistent optimal convergence order relative to the oscillation frequency and are stable in numerical calculation when the oscillation frequency is large enough. (4) Multi-frequency oscillation interpolation is proposed. It is the foundation of the oscillation-preserving collocation method. Its interpolation function includes not only classical polynomial functions, but also a set of oscillatory functions with different oscillation frequencies. It is possible that the approximation error does not increase with the increase of oscillation frequency when the oscillation function is approximated. (5) A class of Volterra integral equations with high oscillatory Bessel integral kernels are solved by using the oscillation-preserving collocation method based on nonuniform grid partitioning. The numerical results show that the Oscillation-preserving collocation method based on nonuniform mesh division can effectively solve this kind of high oscillation equation regardless of whether the mandatory term function is oscillating or not without the influence of high oscillation. At the end of this paper, three research directions that can be further developed are summarized: the oscillation analysis of the solution of complex high oscillation integral equation, the fast algorithm and parallel computation of oscillation-preserving numerical method, and the application of oscillation-preserving method in practical problems.
【學(xué)位授予單位】：國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.83

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本文編號：2168979