【摘要】：近年來,為了解決統(tǒng)計(jì)、風(fēng)險(xiǎn)度量、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中許多經(jīng)典概率理論難以處理的問題,各種非線性概率與非線性期望應(yīng)運(yùn)而生,并且得到了廣泛的研究與長(zhǎng)足的發(fā)展。為了解決統(tǒng)計(jì)力學(xué),勢(shì)論中的問題,Choquet(1954)提出了容度和Choquet期望的概念,而后Choquet期望被廣泛運(yùn)用于統(tǒng)計(jì)以及不完備市場(chǎng)中的資產(chǎn)定價(jià)問題。Peng(1997)提出了一個(gè)基于倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)的非線性期望-g-期望,后來的研究表明g-期望可以很好地刻畫金融中的非線性風(fēng)險(xiǎn)。Delbaen(1998),Artzner等人(1999)首次提出了相容風(fēng)險(xiǎn)度量(Coherent Risk Measure)這一全新的非線性風(fēng)險(xiǎn)度量的概念。為了描述金融中的波動(dòng)率不確定性問題,Peng(2007a)在給出了一般的次線性期望的概念之后,提出了具有方差不確定性的G-正態(tài)分布的概念,進(jìn)而引入了一個(gè)典型的次線性期望G期望�？偨Y(jié)這些研究發(fā)現(xiàn),這些非線性期望在運(yùn)用于解決金融中的非線性風(fēng)險(xiǎn)度量與不完備市場(chǎng)中的資產(chǎn)定價(jià)等相關(guān)問題時(shí),他們的本質(zhì)就是次線性期望。故我們可以將他們轉(zhuǎn)化為更為一般的次線性期望進(jìn)行研究。另外,經(jīng)典的大數(shù)定律與中心極限定理在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有重要地位。隨著容度、非線性期望的提出,關(guān)于容度與非線性期望的極限理論一直是學(xué)者們關(guān)心和研究的熱點(diǎn)問題,并且在金融中的非線性風(fēng)險(xiǎn)度量與資產(chǎn)定價(jià)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。而經(jīng)典的極限定理的證明依賴于概率測(cè)度與期望的可加性,由于次線性期望不再具有可加性,經(jīng)典的證明方法大多不再適用,這就使我們證明次線性期望下的極限定理變得更為困難。如何對(duì)前人的結(jié)果加以改進(jìn),獲得次線性期望下的大數(shù)定律和中心極限定理的更精確的結(jié)果,進(jìn)而完善次線性期望理論體系,使其能更好地解決金融、經(jīng)濟(jì)、統(tǒng)計(jì)中的各種問題,是值得思考并具有重大意義的。針對(duì)以上問題,本文主要研究了次線性期望下的大數(shù)定律及中心極限定理。本文的創(chuàng)新點(diǎn)如下:1.得到了次線性期望下兩種形式的弱大數(shù)定律,并給出了它們之間的等價(jià)關(guān)系。發(fā)現(xiàn)了隨機(jī)變量序列均值并不依概率收斂于某一確定的值,而是在下容度意義下弱收斂到下期望到上期望這一區(qū)間中,并且在上容度意義下弱收斂到這一區(qū)間中的每一個(gè)點(diǎn)。2.研究了次線性期望與Choquet期望的大小關(guān)系,并發(fā)現(xiàn)了與經(jīng)典大數(shù)定律不同的是,在次線性期望下一階矩存在不足以保證強(qiáng)大數(shù)定律的成立,進(jìn)而給出了控制一階矩條件下的強(qiáng)大數(shù)定律。3.獲得了次線性期望下強(qiáng)大數(shù)定律成立的一個(gè)一般性矩條件,進(jìn)而利用之前弱大數(shù)定律的結(jié)論,得到了在這一條件下強(qiáng)大數(shù)定律的兩個(gè)更細(xì)致的結(jié)果,并證明了在次線性期望下這一矩條件是保證強(qiáng)大數(shù)定律成立的最弱矩條件。4.獲得了次線性期望下一系列非獨(dú)立條件下標(biāo)準(zhǔn)化因子為更一般的{an}時(shí)的強(qiáng)大數(shù)定律。5.給出了次線性期望下的Berry-Essen界和中心極限定理,根據(jù)正則化因子的不同能得到兩種不同形式的中心極限定理。本文共分為六章,文章框架與主要結(jié)果如下:(Ⅰ)第一章介紹了本文的研究背景,給出了容度、次線性期望空間以及一些具體的次線性期望的概念與基本性質(zhì)。定義0.1.1.定義在F上的集函數(shù)V:F→[0,1]被稱為容度,若其滿足:(1)F((?))=0,y(Ω)= 1;(2)y(A)≤y(B)A(?)B,,∈F。設(shè)(Ω,F)是可測(cè)空間,H是其上所有隨機(jī)變量構(gòu)成集合的的子集,滿足(1)H是向量格,即H是線性空間,所有的常數(shù)c∈H且X H∈(?)|X|∈H。(2)對(duì)所有的A ∈F,有IA∈ H。定義0.1.2.設(shè)E是H上的泛函,E:H R 我們稱E是一個(gè)次線性期望,若對(duì)任意的隨機(jī)變量X,Y∈H有以下四條性質(zhì)成立:(1)單調(diào)性:若X≥Y,則有E[X]≥E[Y];(2)保常性:E[c]=c,(?)c∈R;(3)正齊性:IE[λX]= λE[X],(?)A≥0;(4)次可加性:E[X+Y]≤E[X]+E[Y]。我們稱三元組(Ω,H,E)為次線性期望空間。E的共軛期望ε定義為:ε[X]:=-E[-X],(?)X ∈H。由E誘導(dǎo)的容度V定義為:V(A):= E[IA],(?)A ∈其共軛容度v定義為:v:=1-V(Ac),(?)A∈F。(Ⅱ)第二章研究了次線性期望下的弱大數(shù)定律。我們首先給出了 Peng獨(dú)立性的概念,然后得出了關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列的一階矩條件下的兩種形式的弱大數(shù)定律以及他們之間的等價(jià)關(guān)系:定義0.2.1.(Peng獨(dú)立性)令X =(X1,…,Xm),Xi∈H和YY =(Y1,…,Yn),Yi∈H是次線性期望空間(Ω,H,E)上的兩個(gè)隨機(jī)變量。我們稱Y獨(dú)立于X,若滿足對(duì)任意的檢驗(yàn)函數(shù)φ ∈Cl,Lip(Rm×Rn),我們有定理0.2.2.給定次線性期望空間(Ω,H,E)。設(shè){Xn)n=1∞是一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,滿足E[Xn]=μ,ε[Xn]=μ,對(duì)任意的n=1,2,…。記(?)假設(shè)(?)則(1)對(duì)任意的(2)對(duì)任意的定理0.2.3.給定次線性期望空間(Ω,H,E)。設(shè)(?)是一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,滿足E[Xn]=μ,ε[Xn]=μ,對(duì)任意的n = 1,2,…。記(?)則以下兩種形式的弱大數(shù)定律等價(jià):(1)對(duì)于任意函數(shù)(2)對(duì)任意的且對(duì)任意的定理0.2.4.給定次線性期望空間(Ω,H,E)。設(shè)(?)是一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,滿足(?),對(duì)任意的n = 1,2,...。記(?)假設(shè)(?)則對(duì)于任意φ∈Cb(R)有進(jìn)而,我們將以上弱大數(shù)定律分別推廣到了不要求一階矩存在的情形和上下期望不相等的情形。定理0.2.5.給定次線性期望空間(Ω,H,E)。設(shè)(?)是一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,滿足(?)對(duì)任意的i=1,2,...,記(?)假設(shè)(?)則(1)對(duì)任意的ε0有(?)(?)(2)對(duì)任意的(?)有(?)(?)(3)若還滿足(?)則對(duì)任意函數(shù)φ∈Cb(R)有(?)(?)定理0.2.6.給定次線性期望空間(Ω,H,E)。設(shè)(?)是一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,滿足(?)對(duì)任意的i=1,2,...,并且(?)則以下兩種形式的弱大數(shù)定律等價(jià):(1)對(duì)于任意函數(shù)φ∈Cb(R),(?)(?)(2)對(duì)任意的ε0有(?)(?)且對(duì)任意的ε0,任意的(?)滿足(?)時(shí)有(?)(?)定理0.2.7.給定次線性期望空間(Ω,H,E)。設(shè)(?)是一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,滿足(?)對(duì)任意的n=1,2,...。記(?)假(1)對(duì)任意的ε0有(2)對(duì)任意的ε0,hn∈[μn,μn]有(3)若還滿足則對(duì)任意的函數(shù)φ∈Cb(R),我們有定理0.2.8.給定次線性期望空間(Ω,H,E)。設(shè)(?)是一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,滿足(?)對(duì)任意的n = 1,2,...,并且(?)(?)則以下兩種形式的弱大數(shù)定律等價(jià):(1)對(duì)任意的函數(shù)φ∈Cb(R),(2)對(duì)任意的ε0有且對(duì)任意的ε0,任意的hn ∈(μn,μn]滿足(?)時(shí)有本章的結(jié)果均不需要隨機(jī)變量是同分布的,并且兩種形式的弱大數(shù)定律都可以被運(yùn)用到第四章中強(qiáng)大數(shù)定律的證明中。(Ⅲ)第三章研究了關(guān)于次線性期望一階矩條件下的強(qiáng)大數(shù)定律。我們首先給出了polar集的定義,分析了次線性期望與Choquet期望的大小關(guān)系:定義0.3.1.給定一個(gè)容度V,集合A被稱為是polar集,若滿足V(=0。我們稱一條性質(zhì)是擬必然成立的(q.s.),當(dāng)其在一個(gè)polar集外成立。定理0.3.2.給定一個(gè)次線性期望空間(Ω,H,E),V是E誘導(dǎo)的容度,Cv是由V生成的Choquet期望。則我們有(1)若Cv[|X|]∞成立,則有(?)(2)若Cv[|X|]∞成立,則有E[|X|]≤Cv[|X|]。(3)若(?)成立,則有E[|X|]∞。(4)若(?)成立,則有(?)這一結(jié)果的好處在于不需要對(duì)次線性期望附加任何連續(xù)性條件,并且說明了Cv[|X|]∞本身就意味著次線性期望具有一定的連續(xù)性:(?)進(jìn)而我們由上面的定理,結(jié)合Zhang(2016a)的結(jié)果--Choquet期望一階矩條件下的強(qiáng)大數(shù)定律,說明了關(guān)于次線性期望的一階矩條件無法保證強(qiáng)大數(shù)定律的成立。定理0.3.3.給定次線性期望空間(Ω,H,E),由E誘導(dǎo)的容度V是從下連續(xù)的。令(?)是一個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,其中E[X1]=μ,ε[X1]=μ。(1)若Cv[X1|]∞,則有(?)(2)假設(shè)V還是從上連續(xù)的,若(?)(?)則有Cv[|X1|]∞。通過此定理,我們能通過選取反例來說明,總能找到某個(gè)具體的次線性期望,使得存在一個(gè)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列(?)滿足(?)從而強(qiáng)大數(shù)定律不成立。最后我們給出了控制一階矩條件下的強(qiáng)大數(shù)定律。定理0.3.4.給定次線性期望空間(Ω,H,E),由E誘導(dǎo)的容度V是從下連續(xù)的。令(?)是一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,對(duì)任意的n∈N*有E[Xn]=μ和ε[Xn]=μ。假設(shè)存在一個(gè)隨機(jī)變量X ∈H滿足對(duì)任意的n∈N*有|Xn|≤|X|q.s.,并且(?)n)]=0。令(?)則(?)(?)等價(jià)地可寫為(Ⅳ)第四章獲得了能保證次線性期望下強(qiáng)大數(shù)定律成立的最弱矩條件。我們首先給出了關(guān)于次線性期望的一個(gè)一般性矩條件下的強(qiáng)大數(shù)定律,說明了這一族矩條件都可以保證強(qiáng)大數(shù)定律的成立,并利用第二章中的弱大數(shù)定律的結(jié)論獲得了在這一矩條件下強(qiáng)大數(shù)定律的更細(xì)致的結(jié)果,進(jìn)而運(yùn)用與第三章類似的方法說明了這一一般性矩條件是保證次線性下強(qiáng)大數(shù)定律成立的最弱矩條件。定義0.4.1.令Φc(Φd)表示[0,∞)上的函數(shù)φ(x)的集合,其中φ(x)滿足:(1)φ(x)是非負(fù)的并且在[0,∞)上非降,對(duì)于某一;x0≥0,在[x0;∞)上是正的。級(jí)數(shù)(?)收斂(發(fā)散)。(2)對(duì)任意固定的a0,存在常數(shù)C0使得對(duì)任意的x≥x0。有φ(x+a)≤Cφ(x)。定理0.4.2.給定一個(gè)次線性期望空間(Ω,H,E),E是從下連續(xù)的,V是其誘導(dǎo)的容度。設(shè)(?)是一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,(?)對(duì)某一φ ∈Φc,并且(?)對(duì)任意的n1。令(?)則等價(jià)地可寫為定理0.4.3.給定次線性期望空間(Ω,H,E),E是從下連續(xù)的,其誘導(dǎo)的容度V是連續(xù)的。設(shè)(?)是一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列滿足(?)對(duì)某一φ ∈Φc,并且E[Xn]=μ,ε[Xn]= μ對(duì)任意的n≥1。令(?)則(1)(2)我們用C({xn})來表示R上數(shù)列{xn}的所有極限點(diǎn)。則對(duì)任意的b∈[μ,μ]有另外,我們將本章的結(jié)果推廣到函數(shù)擴(kuò)張形式的強(qiáng)大數(shù)定律,并得到了隨機(jī)變量序列的上期望與下期望不相等時(shí)的強(qiáng)大數(shù)定律。推論0.4.4.在定理0.4.2的假設(shè)條件下,對(duì)任意R上的連續(xù)函數(shù)φ(·),我們有(1)等價(jià)地可寫為若還滿足V是連續(xù)的,則(2)(?)對(duì)任意的(?)有定理0.4.5.給定一個(gè)次線性期望空間(Ω,H,E),E是從下連續(xù)的,V是其誘導(dǎo)的容度。設(shè)(?)是一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,滿足對(duì)某一φ∈Φc有(?)∞,并且(?)對(duì)任意的n≥1。令(?)則(1)進(jìn)而若還滿足V是連續(xù)的,則(2)(3)對(duì)任意的bn∈[μn,μn]有作為推論,我們還獲得了次線性期望下的加權(quán)強(qiáng)大數(shù)定律。我們記滿足Φc中的(1)、(2)兩個(gè)條件加以下條件(3)所組成的函數(shù)集為Φw。(3)對(duì)任意固定的a0,存在C0使得對(duì)任意的x≥x0有φ(ax)≤C(1 +Φ(x))。定理0.4.6.給定一個(gè)次線性期望空間(Ω,H,E),E是從下連續(xù)的,V是其誘導(dǎo)的容度。設(shè)(?)是一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,滿足對(duì)某一φ∈φw,有(?)∞,并且(?)對(duì)任意的n1。設(shè)(?)是一列一致有界的正實(shí)數(shù),記(?)滿足Wn=O(n)。則(1)若還滿足V是連續(xù)的,則(2)(3)對(duì)任意的bn∈[μn,μn]有(Ⅴ)第五章研究了非獨(dú)立情形下的強(qiáng)大數(shù)定律。我們給出了兩個(gè)非獨(dú)立情形標(biāo)準(zhǔn)化因子為更一般的an時(shí)的強(qiáng)大數(shù)定律,并且它們均可退化為獨(dú)立同分布的情況。定理0.5.1.給定一個(gè)次線性期望空間(Ω,H,E),由E誘導(dǎo)的容度V是從下連續(xù)的。令(?)是一個(gè)非負(fù)的隨機(jī)變量序列,(?)是一個(gè)非降無界正值數(shù)列。假設(shè)并且對(duì)任意的p0有則等價(jià)地可寫為定理0.5.2.給定次線性期望空間(Ω,H,E),由E誘導(dǎo)的容度V是從下連續(xù)的。令(?)是一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量序列。假設(shè)(?)是一個(gè)非降無界正值數(shù)列。若(?)且對(duì)任意的p0有則等價(jià)地可寫為推論0.5.3.給定次線性期望空間(Ω,H,E),由E誘導(dǎo)的容度V是從下連續(xù)的。令(?)是一個(gè)非負(fù)的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列。假設(shè)E[eX1]∞,則我們有且另外我們得到了非獨(dú)立情形擬必然條件下的強(qiáng)大數(shù)定律。定理0.5.4.給定次線性期望空間(Ω,H,E),由E誘導(dǎo)的容度V是從下連續(xù)的。令(?)是一列隨機(jī)變量,(?)是一個(gè)非降無界正值數(shù)列。假設(shè)對(duì)任意的n≥1和某一0≤α1,存在某一C0使得則等價(jià)地可寫為(?)(?)(Ⅵ)第六章研究了次線性期望下非同分布情況下的中心極限定理。我們?cè)诮o出了G 正態(tài)分布的概念后給出了次線性期望下的關(guān)于Sn/Bn的Berry-Essen界,進(jìn)而得出Sn/Bn、Sn/Bn兩種正則化方式在類似Lyapunov條件下的中心極限定理,并說明了這兩種形式的中心極限定理都能退化到獨(dú)立同分布的情形。定義0.6.1.(G-正態(tài)分布)給定次線性期望空間(Ω,H,E)上的一個(gè)一維隨機(jī)變量X,滿足E[X2]=σ2,ε[X2]=σ2。X被稱為是服從G-正態(tài)分布的,若滿足:(?)其中X是X的一個(gè)獨(dú)立復(fù)制。記為(?)引理0.6.2.給定次線性期望空間(Ω,H,E),(?)是其上一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列。假設(shè):(1)(?)(2)ζ服從G-正態(tài)分布,滿足(?)此處(?)記(?)則對(duì)任意的h0以及任意給定的φ ∈Cb,Lip(R)我們有存在某一0α1,某一常數(shù)C0以及某一依賴于h的常數(shù)Ch0使得(?)(?)(?)定理0.6.3.給定次線性期望空間(Ω,H,E),(?)是其上一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列。假設(shè):(1)(?)(2)ζ服從G-正態(tài)分布,滿足(?)即(?)此處(?)(3)以上σ滿足(4)對(duì)任意的0α1有則對(duì)任意的φ∈C,Lip(R)我們有定理0.6.4.給定次線性期望空間(Ω,H,E),(?)是其上一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列。假設(shè):(1)(2)ζ服從G-正態(tài)分布,滿足 此處(3)以上σ滿足(4)對(duì)任意的0α1有則對(duì)任意的φ∈Cb,Lip(R)我們有以上結(jié)果的好處在于,我們并不需要隨機(jī)變量序列的(2+α)階矩甚至二階矩一致有界。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O211

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：2166824