本文選題：Helmholtz傳輸特征值 + 混合有限元法��； 參考：《貴州師范大學》2017年碩士論文

【摘要】：Helmholtz傳輸特征值問題由于在材料科學有著重要的應用,一直都是數(shù)學和力學界關注的熱點問題,很多學者傾其精力于它的數(shù)值處理上。該問題的困難在于它是一個非橢圓且非對稱的方程,無法用傳統(tǒng)的特征值分析方法直接求解。在該研究領域中,Cakoni、Monk和Sun提出了一個新穎的變分公式,并對此方法對應的有限元逼近做了誤差分析。同時,Yang、Bi、Li和Han將Ciarlet-Raviart混合元法應用于該問題并取得理想效果。由于混合元法對于重調和方程有廣泛的應用,能夠降低空間自由度,提高計算效率,因此混合元法的研究有重要價值。本文從理論角度出發(fā),參考多個學者的研究方法和成果,對傳輸特征值問題提出了相應的混合計算方法,依靠特殊論證證明了方法的正確性和可行性,達到研究的預期效果。首先,我們將Cakoni等人提出的公式與Ciarlet-Raviart混合元結合起來,提出一個新的混合變分公式。因為其無法直接利用經典特征值理論,我們依靠兩個正則性估計來證明混合變分公式根的存在性及唯一性,并給出對應的共軛問題。然后證明變分問題和離散問題的解算子都是緊算子,為收斂性的證明做準備工作。隨后,我們定義特殊的拉格朗日插值算子和紐曼投影算子,運用插值理論,證明該問題有限元解的收斂性,進而推出離散問題的解算子收斂于變分問題的解算子�；谠摻Y論,我們即可依托特征值經典理論來說明有限元混合變分公式所得特征值和特征函數(shù)的收斂性,達到期望的結果。在文章的最后,我們對該方法的收斂階進行了探討,通過特殊的論證方法,本問題的收斂階可得到進一步的提高,直接說明此方法的可行性和高效性。
[Abstract]:The Helmholtz transport eigenvalue problem has been a hot issue in mathematics and mechanics because of its important applications in material science. Many scholars have devoted their attention to its numerical treatment. The difficulty of this problem is that it is a non-elliptic and asymmetric equation and can not be directly solved by traditional eigenvalue analysis method. In this field, Cakonione Monk and Sun have proposed a new variational formula, and the error analysis of the finite element approximation corresponding to this method has been made. At the same time, the Ciarlet-Raviart mixed element method is applied to the problem and the ideal results are obtained. Because the hybrid element method is widely used in the biharmonic equation, it can reduce the degree of freedom in space and improve the computational efficiency, so the study of the hybrid element method is of great value. In this paper, from the theoretical point of view and referring to the research methods and achievements of many scholars, the corresponding hybrid calculation method for the transmission eigenvalue problem is proposed. The correctness and feasibility of the method are proved by special demonstration, and the expected results of the study are achieved. First, we combine Cakoni's formula with Ciarlet-Raviart mixed element, and propose a new mixed variational formula. Because it can not directly use classical eigenvalue theory, we use two regularity estimates to prove the existence and uniqueness of the root of mixed variational formula, and give the corresponding conjugate problem. Then it is proved that the solution operators of the variational problem and the discrete problem are compact operators, which are prepared for the proof of convergence. Then, we define the special Lagrange interpolation operator and Newman projection operator, prove the convergence of the finite element solution of the problem by using interpolation theory, and then deduce that the solution operator of the discrete problem converges to the solution operator of the variational problem. Based on this conclusion, we can use the classical theory of eigenvalue to illustrate the convergence of eigenvalues and eigenfunctions of finite element mixed variational formulas, and achieve the desired results. At the end of the paper, we discuss the convergence order of this method. Through a special demonstration method, the convergence order of this problem can be further improved, which directly shows the feasibility and efficiency of this method.
【學位授予單位】：貴州師范大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O241.82

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本文編號：2116586