本文選題：帶跳的平均場(chǎng)隨機(jī)微分方程 + 動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理　； 參考：《山東大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：平均場(chǎng)隨機(jī)微分方程,也稱為McKean-Vlasov方程,在很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用,像統(tǒng)計(jì)力學(xué),物理學(xué),量子力學(xué)和量子化學(xué)。Lasry和Lions[57]最近的一系列文章更是將這類方程的應(yīng)用領(lǐng)域拓展到經(jīng)濟(jì)、金融和對(duì)策理論。隨著平均場(chǎng)隨機(jī)微分方程理論的發(fā)展,特別是最近幾年,很多學(xué)者對(duì)McKean-Vlasov類型偏微分方程產(chǎn)生了極大的興趣,并嘗試用隨機(jī)的方式對(duì)其進(jìn)行研究。當(dāng)隨機(jī)系統(tǒng)的規(guī)模非常龐大時(shí),通過(guò)刻畫由大量隨機(jī)微粒構(gòu)成的系統(tǒng)的漸進(jìn)行為來(lái)描述這些系統(tǒng)。受Lasry和Lions[57]工作的啟發(fā),Buckdahn, Djehiche, Li和Peng[17]利用純隨機(jī)的方法,在研究一類特殊的平均場(chǎng)問(wèn)題時(shí),得到了一類新的倒向隨機(jī)微分方程—平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程。隨后,在2009年,Buckdahn, Li和Peng[20]證明了在Lipschitz條件下平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程的解存在唯一,并給出相關(guān)非局部擬線性偏微分方程的概率解釋。后面的兩項(xiàng)工作吸引了許多學(xué)者來(lái)研究平均場(chǎng)框架下的隨機(jī)微分方程理論,大量的平均場(chǎng)框架下關(guān)于正倒向隨機(jī)微分方程理論和應(yīng)用方面的工作不斷涌現(xiàn)。另一個(gè)方面,自從Bellman[6]提出動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法以來(lái),這種方法便成為研究隨機(jī)控制問(wèn)題的一個(gè)主要工具。它建立起隨機(jī)微分方程與偏微分方程之間關(guān)系,為給出相關(guān)偏微分方程的概率解釋提供了可能。但是平均場(chǎng)情形下,研究正倒向隨機(jī)微分方程的最優(yōu)控制及微分對(duì)策問(wèn)題時(shí),一個(gè)直接的技術(shù)困難是動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理不再成立。為此,我們不得不固定零時(shí)刻的參數(shù),通過(guò)研究以下新類型的正倒向隨機(jī)微分方程來(lái)克服這一困難：和值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程；對(duì)策中和上、下值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程；涉及值函數(shù)的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程；以及涉及值函數(shù)的一般的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程。在2013年,法國(guó)科學(xué)院院士Fields獎(jiǎng)獲得者P.L. Lions在College de France的一系列講座(或者參考Cardaliaguet[23]編寫的課堂筆記)將平均場(chǎng)問(wèn)題的研究工作推向了一個(gè)新的高度。P.L. Lions在講座中指出可以通過(guò)研究函數(shù)f(ξ)：=f(Pξ)關(guān)于ξ的Frechet導(dǎo)數(shù),來(lái)研究定義在測(cè)度空間792(Rn)上的函數(shù).f：7)2(Rn)→R關(guān)于測(cè)度的導(dǎo)數(shù)。受這一思想啟發(fā),Carmona和Delarue[27],[28]研究了人口數(shù)量較大的均衡主方程和正倒向隨機(jī)微分方程,及受控的McKean-Vlasov方程。Cardaliaguet[24]應(yīng)用變差方法證明了局部耦合的一階平均場(chǎng)對(duì)策系統(tǒng)的一個(gè)弱解的存在唯一性。特別值得一提的是,Buckdahn, Li, Peng和Rainer[21]考慮由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的一般情形下的平均場(chǎng)隨機(jī)微分方程,此時(shí)方程的系數(shù)不僅依賴于解,同時(shí)也依賴于解的分布。證明了由方程的解定義的值函數(shù)是一個(gè)涉及分布的非局部偏微分方程的唯一的經(jīng)典解。基于Buckdahn, Li, Peng和Rainer[21]的工作,本文第六章考慮了帶跳的平均場(chǎng)隨機(jī)微分方程,并給出了相關(guān)的偏微分方程的概率解釋。本論文主要研究了兩方面的內(nèi)容：一、在固定零時(shí)刻初始值和控制的條件下,研究平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程的最優(yōu)控制問(wèn)題和微分對(duì)策問(wèn)題、(一般的)完全耦合的平均場(chǎng)正倒向隨機(jī)微分方程的最優(yōu)控制問(wèn)題；二、研究一般情況下帶跳的平均場(chǎng)隨機(jī)微分方程,以及相關(guān)的非局部偏微分方程的概率解釋。下面更加詳細(xì)地闡述本論文的內(nèi)容及結(jié)構(gòu)。第一章介紹第二章到第六章中所研究的問(wèn)題。第二章主要研究了,在固定零時(shí)刻初始值及控制的情況下,平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程的最優(yōu)控制問(wèn)題。一類新的倒向隨機(jī)微分方程,稱為和值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程被考慮。首先,使用一種新的迭代方法,證明了在Lipschitz條件下這類倒向隨機(jī)微分方程的解存在唯一。當(dāng)系數(shù)f關(guān)于y’單調(diào)非減時(shí),經(jīng)典的倒向隨機(jī)微分方程的比較定理允許證明這類新方程的比較定理。由于固定了零時(shí)刻初始值及控制,動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理仍然成立。不同于Peng[80]介紹的倒向半群方法,這里使用一種新的、更加直接的方法證明了非局部HJB方程粘性解的存在唯一性。本章的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)：1.提出了通過(guò)引進(jìn)一類新的倒向隨機(jī)微分方程—和值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程,來(lái)解決平均場(chǎng)框架下動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理通常不成立的方法；2.一旦知道了和值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程的解(Yt,x,v,Zt,x,v,W(t,x)),通過(guò)定義新的系數(shù),這里所研究的最優(yōu)控制問(wèn)題將會(huì)變成經(jīng)典情況下的最優(yōu)控制問(wèn)題。因此,利用一種新的,更加直接的方法,證明了相關(guān)非局部HJB方程粘性解的存在唯一性。本章來(lái)自于：Hao, T., Li, J., Backward stochastic differential equations coupled with value func-tion and related optimal control problems. Abstract and Applied Analysis, Volume 2014, article ID 262713,17 pages, http://dx.doi.org/10.1155/2014/262713.第三章主要考慮平均場(chǎng)框架下,受控的倒向隨機(jī)微分方程的隨機(jī)微分對(duì)策問(wèn)題。受第二章工作的啟發(fā),引進(jìn)了一類和上、下值函數(shù)耦合的受控倒向隨機(jī)微分方程,證明了這類方程的解存在唯一。通過(guò)該方程的解定義了上、下值函數(shù),利用Grisanov變換,證明了這兩個(gè)值函數(shù)是確定性的。本章的第二個(gè)主要工作是研究與這類受控方程相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)非局部HJB-Isaacs方程。由于系數(shù)中含有期望項(xiàng),不同于經(jīng)典情況下Buckdahn和Li[18]的工作,這里所研究的兩個(gè)HJB-Isaacs方程是耦合的。這一對(duì)組合(W,U)在至多滿足多項(xiàng)式增長(zhǎng)的函數(shù)空間Θ×Θ中是相關(guān)的耦合的HJB-Isaacs方程的唯一粘性解。本章的最后給出了Isaacs條件,在Isaacs條件下上述對(duì)策問(wèn)題的值函數(shù)存在。本章來(lái)自于：Hao, T., Li, J., BSDEs in games, coupled with the value functions. Associated non-local Bellman-Isaacs Equations,已投稿。第四章主要用來(lái)給出平均場(chǎng)框架下,與涉及值函數(shù)的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程系統(tǒng),相關(guān)聯(lián)的非局部HJB方程的概率解釋。我們起初考慮的是,平均場(chǎng)框架下完全耦合的正倒向隨機(jī)微分系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題,但是遇到了和[41]一樣的技術(shù)障礙。因此,采用[41]介紹的方法,即,通過(guò)引進(jìn)涉及值函數(shù)的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程,并用迭代方法證明其解的存在唯一性。但是這里所面臨的一個(gè)主要困難是處理完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程：任何的迭代過(guò)程都會(huì)涉及正向方程的解Xt,x;v,i,和帶有(X0,x0;v,i)'的變量Wi-1。這意味著,按照[41]介紹的方法,得到的四個(gè)序列{X0,x0;v,i}, {Xt,x;v,i},{Yi,x;v,i},{Zt,x;v,i}和相關(guān)的Wi+1(t,x)=essinf Yt t,x;v,i v∈Vt,T不再收斂。這里采用一種新的方法證明了迭代過(guò)程的收斂性�；贚i和Wei[63]的工作,使用一種簡(jiǎn)短的,更加直接的方法證明了,通過(guò)這類新的方程的解定義的值函數(shù)W是相關(guān)非局部HJB方程的粘性解。本章的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)：使用一種新方法證明了迭代序列的收斂性,從而證明了涉及值函數(shù)的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程解的存在性,并給出了相關(guān)的平均場(chǎng)類型的HJB方程的概率解釋。本章來(lái)自于：Hao, T., Li, J., Fully coupled forward-backward SDEs involving the value function and associated nonlocal Hamilton-Jacobi-Bellman equations, ESAIM:Control, Optimi-sation and Calculus of Variations,22(2) (2016), pp.519-538.第五章主要是將第四章的工作推廣到更加一般的情況,具體的說(shuō),在第四章中,正向方程的系數(shù)σ依賴于控制v,但是不依賴于z；但是在本章中,系數(shù)σ不僅依賴于控制v,而且還依賴于z,稱這種新的正倒向隨機(jī)微分方程為,涉及值函數(shù)的一般的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程。證明了這類方程的解存在唯一。由于擴(kuò)散系數(shù)σ含有變量z,類似于Wu和Yu[94]的結(jié)論,相關(guān)的非局部HJB方程將和代數(shù)方程相結(jié)合。借助涉及值函數(shù)的一般的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程解的存在唯一性,證明了相關(guān)的和代數(shù)方程相結(jié)合的非局部HJB方程粘性解的存在性。本章來(lái)自于：Hao, T., Zhao, N., General fully coupled FBSDEs involving the value function and related nonlocal Hamilton-Jacobi-Bellman equations combined with algebraic equations,已投稿Chinese Annals of Mathematics Series B二審。第六章中將Buckdahn, Li, Peng和Rainer[21]的工作(僅僅由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng))推廣到由布朗運(yùn)動(dòng)和泊松隨機(jī)測(cè)度驅(qū)動(dòng)的平均場(chǎng)隨機(jī)微分方程,并給出相關(guān)偏微分方程的概率解釋。為了完成這一推廣工作,我們證明了若干新的結(jié)果,特別是一類新的Ito公式。這一公式的證明并不是Buekdahn, Li, Peng和R ainer[21]工作中給出的Ito公式的平凡推廣。事實(shí)上,證明這種新的Ito公式的關(guān)鍵在于f(PXst,ξ)關(guān)于s導(dǎo)數(shù)的研究(參考定理6.6.1)。在沒(méi)有跳時(shí),這個(gè)導(dǎo)數(shù)是通過(guò)讓E[|η|3]→0,f(Pζ0+η)在ξ0∈L2(P)處的二階Taylor類型的展開式直接得到的。這種方法無(wú)法處理帶跳的情況：事實(shí)上,在沒(méi)有帶跳的情況下,當(dāng)0h→0時(shí)E[|Xs+ht,ζ-Xst,ζ|3]=O(h3/2);然而在帶跳的情況下,僅僅可以得到E[|Xs+ht,ζ-Xst,ζ|3]=O(h)。為了克服這一由于跳項(xiàng)產(chǎn)生的困難,不得不考慮由泊松隨機(jī)測(cè)度和由潛在的布朗運(yùn)動(dòng)的所有信息構(gòu)成的信息流。這一技術(shù)和一系列估計(jì),使得在標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)f∈Cb2,1(P2(Rd))下,可以計(jì)算其導(dǎo)數(shù)(參見定理6.6.1)。借助這一結(jié)果證明了定理6.6.2中的Ito公式。從而根據(jù)這一新的Ito公式證明了,值函數(shù)V(t,x,Pζ):=E[Φ(XTt,x,Pζ,PXTt,ζ)],其中Φ:R×P2(Rd)→R是一個(gè)足夠光滑的函數(shù),是相關(guān)偏微分方程的唯一經(jīng)典解。本章的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)：1.使用一種新的方法得到了適合處理帶跳項(xiàng)的一般的Ito公式；2.給出了相關(guān)的非局部積分-偏微分方程的概率解釋。本章基于：Hao, T., Li, J., Mean-field SDEs with jumps and nonlocal integral-PDEs, Nonlinear Differential Equations and Applications. 23(2) (2016), pp. 1-51.以下是本文的章節(jié)目錄及主要結(jié)論。一、第一章引言；二、第二章和值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程和相關(guān)的最優(yōu)控制問(wèn)題；三、第三章和上、下值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程及相關(guān)的微分對(duì)策問(wèn)題；四、第四章涉及值函數(shù)的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程及相關(guān)的HJB方程的粘性解；五、第五章涉及值函數(shù)的一般的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程和與代數(shù)方程相結(jié)合的非局部HJB方程；六、第六章帶跳的平均場(chǎng)隨機(jī)微分方程和非局部積分-偏微分方程。第二章：提出了一類新的倒向隨機(jī)微分方程,稱為和值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程；證明了這類方程存在唯一解；通過(guò)該方程的解定義的值函數(shù)是確定性的,并且是相關(guān)的非局部偏微分方程的唯一粘性解�？紤]下面和值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程：固定零時(shí)刻初始值和控制(x0,v)∈Rn×V0,T,對(duì)于給定的(t,x)∈[0,T]×Rn,用一種迭代方法證明了上述方程有唯一解(Yt,x,v,Zt,x,z,W(t,x))。定理2.2.2在假設(shè)(H2.2.1)和(H2.2.2)之下,上述和值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程有唯一解(Yt,x;v,Zt,x;v,W),(t,x,v)∈[0,T]×Rn×Vt,T并且(Yt,x;v,Zt,x;v)∈ SF2(t, T; R)×HF2(t,T;Rd)和W(t,x)=esssup Ytt,x;v, v∈Vt,T (t,x)∈[0,T]×Rn,蘺足(ⅰ)對(duì)于所有的(t,x)∈[0,T]×Rn,W(t,x)是Ft-可測(cè)的；(ⅱ)對(duì)于所有的(t,x), (t,x)∈ [0,T]×Rn,(ⅲ)對(duì)于某個(gè)常數(shù)C0,|W(t,x)|≤C(1+|x|),P-a.s.,(t,x)∈[0,T]×Rn借助于延拓的倒向半群概念,證明了上述值函數(shù)W(t,x)滿足動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理：定理2.3.1(動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理)在假設(shè)(H2.2.1)和(H2.2.2)之下,對(duì)于所有的(t,x)∈[0,T]×Rn,0≤t≤T-δ, P-a.s有使用一種的新的,不同于Peng給出的倒向半群方法,證明了該值函數(shù)W(t,x)是下面非局部偏微分方程的唯一粘性解：定理2.4.1(存在性)在假設(shè)(H2.2.1)和(H2.2.2)之下,定理2.2.2中由和值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程的解所定義的值函數(shù)W∈Cp([0,T]×Rn)是上述偏微分方程的一個(gè)粘性解。定理2.4.2(唯一性)上述值函數(shù)W在函數(shù)類Θ中是上述偏微分方程的唯一粘性解。第三章：考慮了平均場(chǎng)框架下,解耦的正倒向隨機(jī)微分方程控制系統(tǒng)的隨機(jī)微分對(duì)策問(wèn)題；提出了一類和上、下值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程,通過(guò)這個(gè)方程的解定義的上、下值函數(shù)是確定性的、滿足動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理；相關(guān)的兩個(gè)HJB-Isaacs方程是耦合的；這兩個(gè)值函數(shù)構(gòu)成的二元組是這個(gè)耦合的HJB-Isaacs方程系統(tǒng)的唯一粘性解。固定(x0;v,v)∈Rn×u0,T×V0,T,考慮和上、下值函數(shù)耦合的受控的倒向隨機(jī)微分方程：使用上一章中介紹的迭代方法,證明了上述方程存在唯一適應(yīng)解(Yt,x,u,v,Zt,x,u,v, W(t,x),U(t,x))。定理3.1.2在假設(shè)(H3.1.1)和(H3.1.2)下,上述倒向隨機(jī)微分方程有唯一適應(yīng)解(Yt,x;u,v,Zt,x;u,v,W,U)。進(jìn)一步,W和U滿足：存在一個(gè)僅僅依賴于L的常數(shù)C0使得,對(duì)于所有的x,x∈Rn,t∈[0,T],P-a.s.,(H3.1.3)對(duì)于所有的(s,x',x,y,z,u,v)∈[0,T]×Rn×Rn×R×Rd×U×V,函數(shù)f(s, x', y', y", x, y, z, u, v)關(guān)于y’和y”是非減的。定理3.1.3(比較定理)令fi= fi(t,x',y',y",x,y,z,u,v)和φi,i=1,2,滿足(H3.1.2),(H3.1.3)。令(Yi,t,x;u,v, Zi,t,x;u,v, Wi, Ui)是帶有系數(shù)(fi,φi)的倒向隨機(jī)微分方程的解。則,如果f1≥f2和φ1≥φ2,P-a.s.,有Ys1,t,x;u,v≥Ys2,t,x;u,v,P-a.s.,s∈[t,T], (t,x)∈ [0,T]×Rn, u∈Ut,T,v∈Vt,T。進(jìn)一步,W1(t,x)≥ W2(t,x), U1(t,x)≥ U2(t,x), P-a.s., (t,x)∈ [0,T]×Rn。相關(guān)的兩個(gè)HJB-Isaacs方程是耦合的,且二元組(W,U)是這個(gè)耦合的HJB-Isaacs方程系統(tǒng)的唯一粘性解。對(duì)于(t,x)∈[0,T]×Rn,考慮下面耦合的非局部HJB-Isaacs方程定理3.2.1(存在性)在假設(shè)(H3.1.1)和(H3.1.2)之下,定理3.1.2中的(W,U)∈Cp([0,T]×Rn；R2)是上述方程的一個(gè)粘性解。定理3.2.2(唯一性)定理3.1.2中的(W,U)在空間Θ×Θ中是上述方程的唯一粘性解。第四章：使用一種新的迭代方法,證明了涉及值函數(shù)的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程的解存在唯一；通過(guò)該方程的解定義的值函數(shù)滿足動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和正則性條件,且是相關(guān)非局部偏微分方程的粘性解；當(dāng)系數(shù)σ不依賴于(y,z)時(shí),該值函數(shù)是唯一粘性解。考慮涉及值函數(shù)的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程：定理4.2.1假設(shè)(H4.2.1),(H4.2.2Lo),(H4.2.3)成立。則,上述涉及值函數(shù)的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程有唯一解{(Xst,x;v,Yst,x;v,Zst,x;v)s∈[t,T]∈SF2(t,T;Rn)×SF2(t,T;R)× HF2(t,T;R),(t.x)∈[0,T]×Rn,W∈W}。定理4.2.2(動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理)假設(shè)(H4.2.1),(H4.2.2Lo)和(H4.2.3)成立,則存在一個(gè)依賴于L的正常數(shù)δ0,使得,對(duì)于0≤t≤T-δ,其中δ滿足0δ≤δ0.考慮相關(guān)的偏微分方程定理4.3.1假設(shè)(H4.2.1),(H4.2.2Lo)和(H4.2.3)成立。則由定理4.2.1給出的值函數(shù)W(t,x)∈C([0,T]×Rn)是上述HJB方程的一個(gè)粘性解。定理4.3.2當(dāng)σ不依賴于y時(shí),在假設(shè)(H4.2.1),(H4.2.2Lo)和(H4.2.3)之下,值函數(shù)W(t.x)在函數(shù)類Θ中是上述HJB方程的唯一粘性解。第五章：研究了一類一般的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程,稱為涉及值函數(shù)的一般的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程,即正倒向方程的系數(shù)b,σ,f依賴于(x,y,Z)和v；應(yīng)用迭代方法,證明了這類方程的解存在唯一；當(dāng)所有的系數(shù)是確定性函數(shù)時(shí),通過(guò)該方程的解定義的值函數(shù)是確定的,滿足正則性條件,且是相關(guān)的與代數(shù)方程相結(jié)合的非局部偏微分方程的粘性解�？紤]涉及值函數(shù)的一般的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程：定理5.1.1在假設(shè)(H5.1.1)-(H5.1.4)和(H5.1.5)’,(H5.1.6)之下,上述涉及值函數(shù)的一般的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程有唯一解{(Xt,x;v,Yt,x;v,Zt,x;v)∈SF2(t, T;Rn) ×SF2(t,T;R)×HF2(t,T;Rd), W∈WL0}�？紤]下面與代數(shù)方程相結(jié)合的非局部HJB方程：定理5.3.1假設(shè)(H5.1.1)-(H5.1.4)和(H5.1.5)’,(H5.1.6)成立,定理5.1.1中定義的值函數(shù)W是上述方程的一個(gè)粘性解。定理5.3.2假設(shè)σ不依賴于(y,z),假設(shè)(H5.1.1)-(H5.1.4)和(H5.1.5)’,(H5.1.6)成立,定理5.1.1中定義的值函數(shù)W(t,x)在函數(shù)類Θ中是上述方程的唯一粘性解。第六章：研究帶跳的平均場(chǎng)隨機(jī)微分方程；證明了這類帶跳的平均場(chǎng)隨機(jī)微分方程的解存在唯一；兩元組(Xt,ζ, Xt,x,Pζ )滿足流性質(zhì)；得到了適合處理帶跳項(xiàng)的Ito公式；借助這一公式,證明了涉及分布的值函數(shù)V(t,x,Pζ) =E[Φ(XTt,x,Pζ,PXTt,ζ)]是相關(guān)偏微分方程的唯一經(jīng)典解�？紤]兩個(gè)隨機(jī)微分方程：定理6.2.1在假設(shè)(H6.2.1)之下,上述兩個(gè)方程有唯一解Xt,ζ= (Xst,ζ)s∈[t,T]和Xt,ζ= (Xst,ζ)s∈[t,T]∈SF2(t,T;Rd),且解Xt,x,ζ獨(dú)立于Ft。定理6.3.1在假設(shè)(H6.3.1)之下,Xt,x,Pξ的L2-導(dǎo)數(shù)(?)xXt,x,Pζ= ((?)Xt,x,Pζ,j)1≤j≤d存在。定理6.3.3假設(shè)定理6.3.2中的假設(shè)成立。則,對(duì)于0≤t≤T,x∈Rd,映射Xt,X, : L2(Ft;Rd)→ L2(Fs;Rd)是Frechet可微的,且它的Frechet導(dǎo)數(shù)就是Gateaux導(dǎo)數(shù),即這里對(duì)于注6.3.2由定理6.3.3可知,Xt,x,ζ關(guān)于ξ是Frechet可微的。按照函數(shù)f:P2(Rd)R導(dǎo)數(shù)定義的延拓,可以考慮Xt,x,Pζ關(guān)于分布Pξ的可微性,而且這個(gè)導(dǎo)數(shù)就是Nt,x,Pζ(y),即,(?)μ Xt,x,Pζ(y)=Nst,x,Pζ(y), s∈[t,T], y∈Rd,0 ≤t≤T, x∈Rd,ζ∈L2(Ft;Rd)。定理6.6.1假設(shè)f∈Cb2,1(P2(Rd))。則,在假設(shè)(H6.4.1)之下,對(duì)于所有的0≤t≤s≤ T,ζ∈L2(Ft;Rd),有定理6.6.2令ψ∈Cb1,(2,1)([0,T]×Rd×P2(Rd))。在假設(shè)(H6.4.2)之下,有如下的Ito公式：對(duì)于0≤t≤s≤T,x∈Rd,ζ∈L2(Ft;Rd),考慮非局部積分-偏微分方程：定理6.6.3令Φ∈Cb2,1(Rd×P2(Rd))和(H6.4.1)成立。則函數(shù)V(t,x,Pζ):=E[Φ(XTt,x,Pζ, PX(?)t,ζ)],(t,x,ζ)∈[0,T]×Rd×L2(Ft;Rd)在Cb1,(2,1)([0,T]×Rd×P2(Rd))中是上述偏微分方程的唯一經(jīng)典解。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O211.63
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本文編號(hào)：2048746