本文選題：凸規(guī)劃 + 變分不等式��； 參考：《南京師范大學》2017年博士論文

【摘要】：變分不等式及凸規(guī)劃問題為數(shù)學、管理科學及經濟學等科研領域中的很多問題提供了一個統(tǒng)一的模型,很多問題都可以寫成變分不等式問題,或由凸規(guī)劃問題來表述.伴隨著大數(shù)據(jù)時代的到來,所研究的實際問題的規(guī)模也變得很大,高效的求解算法的提出就顯得很有必要,且具有極大的實用意義.目前很多迭代算法已被提出,并用于求解變分不等式問題的數(shù)值解,一些經典的方法包括:臨近點算法、交替方向法、投影算法、分裂算法、牛頓法等.本文的目的是給出一些新的求解變分不等式問題的數(shù)值方法,如向前向后分裂算法、交替方向法、交替線性化方法及投影梯度法,并將其應用到求解互補問題、交通中網(wǎng)絡均衡問題、圖像恢復問題、壓縮傳感問題、信號恢復問題以及到橢球上投影的問題.相較于已有的算法,新的數(shù)值方法能夠更好的求解這些問題.此外,本文也對交通中的早高峰擁堵問題進行了一些研究,并為管理者提供合理的方案,使得社會總消耗成本最小.分裂算法是通過求解一系列“好”條件問題,來求解原來的“壞”條件問題的,我們通過求解一系列的“好”條件問題,來得出原問題的解.然而算法中步長的選取范圍對算法求解效率的影響是很大的.我們通過對向前向后分裂算法加松弛步,來擴大步長的選取范圍;同時,我們允許每步迭代中的子問題非精確求解,這種策略極大的提高了算法的效率和實用性.交替方向法對于可分凸優(yōu)化問題的求解具有簡單、快速等優(yōu)勢.最近,我們將其應用到求解點到橢球上的投影問題,并與戴[27]的算法進行比較,說明了該算法的高效性.此外,對已有的對稱交替方向法(即交替線性化方法),我們也做了適當?shù)男拚?給出了一個新的交替線性化方法,從而可以求解一些更一般的可分凸優(yōu)化問題.最后,需要指出的是,當模型中目標函數(shù)為3塊及以上的時候,直接的交替方向法在凸性下不一定能保證收斂性.韓和袁[54]給出了強凸下的收斂性證明.我們對條件適當弱化,給出了目標函數(shù)為一系列可分的復合函數(shù)(強凸和線性函數(shù)的復合)時,3塊及以上的收斂性證明,并將該模型對應到交通中的一個實例.投影型算法,因在每步迭代中的計算量較小,從而很適合用來求解大規(guī)模問題.在該算法的每步迭代中,我們只需要去處理到可行集上的投影和函數(shù)值的計算.但現(xiàn)有的很多投影型算法的收斂性條件十分苛刻,如何弱化條件仍能保證收斂性是我們需要做的工作.基于Teschke和Borries提出的最速下降投影方法,我們提出了一個高效的投影算法來求解信號恢復中的非線性反問題,并在較弱的條件下給出了收斂性證明.此外,算法中起步長作用的參數(shù)的選取范圍得到了適當?shù)姆潘?并且該參數(shù)的選擇方式也做了適當?shù)母倪M.這些使得算法的適用性和效率得到了提高.早高峰交通擁堵問題是現(xiàn)代城市發(fā)展面臨的一個極具挑戰(zhàn)的問題,道路收費是緩解交通擁堵的一個有效的可行手段.但現(xiàn)有的收費模型大部分都是針對網(wǎng)絡中為單人出行方式的.然而在很多亞洲國家出現(xiàn)了一種新的出行方式,即家庭式出行.對于這一新的出行方式的研究工作還處于初級階段.依據(jù)已有的均衡下單人出行的出行率結果,我們定量分析了均衡下家庭式出行的出行率,并為管理者合理地制定上學、上班時間,及收費窗口和費用提供方案,使得社會總消耗成本最小.最后,通過可交易電子路票來替代這樣的收費模型,在達到相同的緩解擁堵的效果下,也降低了網(wǎng)絡中各家庭的時間成本.
[Abstract]:This paper presents some new numerical methods for solving variational inequality problems , such as forward backward splitting algorithm , alternating direction method , projection algorithm , splitting algorithm and Newton method . In this paper , we propose an efficient projection algorithm to solve the nonlinear inverse problem in modern city development .
【學位授予單位】：南京師范大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O224

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本文編號：2028325