本文關(guān)鍵詞：Google搜索引擎的數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

例如，表中T3與T8比賽了兩場(chǎng)，各勝一場(chǎng)，故T3；注意到被戰(zhàn)勝球隊(duì)的等級(jí)分應(yīng)該平均分配給各個(gè)獲勝球；??00.250.16670.250.20.33；??0.20.500.08330.20.3333；現(xiàn)設(shè)每個(gè)隊(duì)Ti的等級(jí)分xi，這些等級(jí)分應(yīng)由被Ti；∑s；j=1；T12ijxj=λxi（1）其中λ為歸一化因子；Sx=λx；即各個(gè)隊(duì)的等級(jí)分的計(jì)算,轉(zhuǎn)化求這個(gè)轉(zhuǎn)

例如，表中T3與T8比賽了兩場(chǎng)，各勝一場(chǎng)，故T38=1，T83=1。同理，T14=3表明T1曾3次戰(zhàn)勝T4。

注意到被戰(zhàn)勝球隊(duì)的等級(jí)分應(yīng)該平均分配給各個(gè)獲勝球隊(duì)，將權(quán)重矩陣的各個(gè)列向量向量進(jìn)行歸一化處理，得轉(zhuǎn)移概率矩陣S=(sij)為

?? 0 0.25 0.1667 0.25 0.2 0.3333 0 0.125 0.25 0 0 0???? 0.2 0 0.1667 0.0833 0 0.3333 0 0 0.125 0 0 0

?? 0.2 0.5 0 0.0833 0.2 0.3333 1 0.125 0.125 0.1667 0 0?? 0 0 0 0 0 0 0 0.125 0 0 0 0???? 0 0 0 0.0833 0 0 0 0 0 0 0.1667 0? ??? 0 0 0 0.0833 0.2 0 0 0 0 0 0 0?? 0.4 0 0.1667 0.1667 0 0 0 0.25 0.375 0.3333 0.1667 0.3333???? 0.2 0 0.1667 0.0833 0 0 0 0 0.125 0.1667 0.1667 0??? 0 0 0.1667 0.0833 0 0 0 0.25 0 0.3333 0.1667 0.3333?? 0 0.25 0.1667 0.0833 0 0 0 0.125 0 0 0.1667 0.3333??? 0 0 0 0 0.2 0 0 0 0 0 0 0???? 0 0 0 0 0.2 0 0 0 0 0 0.1667 0??S=

現(xiàn)設(shè)每個(gè)隊(duì)Ti的等級(jí)分xi，這些等級(jí)分應(yīng)由被Ti戰(zhàn)勝的那些隊(duì)的等級(jí)分確定，即

∑s

j=1

T12ijxj=λxi （1） 其中λ為歸一化因子。令x=(x1,L,x12)，則由矩陣乘法（1）可以寫成

Sx=λx

即各個(gè)隊(duì)的等級(jí)分的計(jì)算, 轉(zhuǎn)化求這個(gè)轉(zhuǎn)移概率矩陣S的最大正特征值λ所屬的正特征向量。直接利用Matlab軟件計(jì)算得λ=1，相應(yīng)等級(jí)分為

( 0.2731, 0.2085, 0.7144, 0.0302, 0.0026, 0.003, 0.456,0.2416, 0.2503, 0.2042,0.0005, 0.0006)由此可以確定只算獲勝局的情況下各隊(duì)的排名為

T3 , T7, T1,T 9,T8 ,T2,T10,T4,T6,T5,T12,T11

2.2 加權(quán)等級(jí)分

在實(shí)際中，平局也會(huì)隊(duì)雙方的排名產(chǎn)生影響，因此也有必要考慮平局對(duì)等級(jí)分的貢獻(xiàn)。因?yàn)槠骄质窍嗷サ�，所以可以利用無(wú)向賦權(quán)圖的權(quán)重矩陣來(lái)表達(dá)出各隊(duì)之間的平局關(guān)系，即

P=? 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0???? 1 0 0 2 1 0 2 2 1 1 0 0?? 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0??? 0 2 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0??? 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2?? ?? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0??? 0 2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0??? 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1???? 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0?? 2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0??? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2??? 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 2 0???

注意平局的權(quán)重矩陣P是對(duì)稱的。同時(shí)注意到被戰(zhàn)平球隊(duì)的等級(jí)分也應(yīng)該平均分配給各個(gè)與之戰(zhàn)平的球隊(duì)，故將權(quán)重矩陣的各個(gè)列向量向量進(jìn)行歸一化處理，得轉(zhuǎn)移概率矩陣 ? 0 0.1 0.5 0 0 0 0 0 0 0.2857 0 0???? 0.25 0 0 0.4 0.3333 0 0.5 0.4 0.3333 0.1429 0 0?? 0.25 0 0 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0???? 0 0.2 0.5 0 0 0 0 0 0.3333 0.1429 0 0?? 0 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.4??? ? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0??? 0 0.2 0 0 0 0 0 0.2 0 0.1429 0 0??? 0 0.2 0 0 0 0 0.25 0 0 0.1429 0 0.2???? 0 0.1 0 0.2 0 0 0 0 0 0.1429 0 0?? 0.5 0.1 0 0.2 0 0 0.25 0.2 0.3333 0 0 0???? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.4?? 0 0 0 0 0.6667 0 0 0.2 0 0 1 0???P=

根據(jù)常識(shí)，在一場(chǎng)比賽中平局出現(xiàn)的概率為1。 同時(shí)，考慮到通常平局和獲勝局的得3

分比為1:3，我們可以對(duì)平局和獲勝局的轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行加權(quán)處理，得到下面的加權(quán)權(quán)重矩陣

W=12×1×P+×3×S=33

? 0 0.5333 0.5 0.5 0.4 0.6667 0 0.25 0.5 0.0952 0 0???? 0.4833 0 0.3333 0.3 0.1111 0.6667 0.1667 0.1333 0.3611 0.0476 0 0?? 0.4833 1 0 0.2333 0.4 0.6667 2 0.25 0.25 0.3333 0 0???? 0 0.0667 0.1667 0 0 0 0 0.25 0.1111 0.0476 0 0 ?? 0 0.0333 0 0.1667 0 0 0 0 0 0 0.3333 0.1333??? ? 0 0 0 0.1667 0.4 0 0 0 0 0 0 0???? 0.8 0.0667 0.3333 0.3333 0 0 0 0.5667 0.75 0.7143 0.3333 0.6667?? 0.4 0.0667 0.3333 0.1667 0 0 0.0833 0 0.25 0.3810 0.3333 0.0667???? 0 0.0333 0.3333 0.2333 0 0 0 0.5 0 0.7143 0.3333 0.6667?? 0.1667 0.5333 0.3333 0.2333 0 0 0.0833 0.3167 0.1111 0 0.3333 0.6667??? 0 0 0 0 0.4 0 0 0 0 0 0 0.1333??? 0 0 0 0 0.6222 0 0 0.0667 0 0 0.6667 0???同樣，被戰(zhàn)勝或勝戰(zhàn)平球隊(duì)的等級(jí)分也應(yīng)該平均分配給各個(gè)獲勝隊(duì)和與之戰(zhàn)平的球隊(duì)，故將

權(quán)重矩陣的各個(gè)列向量向量進(jìn)行歸一化，得轉(zhuǎn)移概率矩陣W=(wij)為

????? 0 0.2286 0.2143 0.2143 0.1714 0.3333 0 0.1071 0.2143 0.0408 0 0?? 0.2071 0 0.1429 0.1286 0.0476 0.3333 0.0714 0.0571 0.1548 0.0204 0 0???? 0.2071 0.4286 0 0.1 0.1714 0.3333 0.8571 0.1071 0.1071 0.1429 0 0? ? 0 0.0286 0.0714 0 0 0 0 0.1071 0.0476 0.0204 0 0???? 0 0.0143 0 0.0714 0 0 0 0 0 0 0.1429 0.0571???? 0 0 0 0.0714 0.1714 0 0 0 0 0 0 0?? 0.3429 0.0286 0.1429 0.1429 0 0 0 0.2429 0.3214 0.3061 0.1429 0.2857???? 0.1714 0.0286 0.1429 0.0714 0 0 0.0357 0 0.1071 0.1633 0.1429 0.0286?? 0 0.0143 0.1429 0.1 0 0 0 0.2143 0 0.3061 0.1429 0.2857???? 0.0714 0.2286 0.1429 0.1 0 0 0.0357 0.1357 0.0476 0 0.1429 0.2857?? 0 0 0 0 0.1714 0 0 0 0 0 0 0.0571???? 0 0 0 0 0.2667 0 0 0.0286 0 0 0.2857 0???W=

現(xiàn)設(shè)每個(gè)隊(duì)Ti的等級(jí)分xi，這些等級(jí)分應(yīng)由與Ti戰(zhàn)平的那些隊(duì)的等級(jí)分確定，即

∑w

j=1

T12ijxj=λxi （1） 其中λ為歸一化因子。令x=(x1,L,x12)，則由矩陣乘法（1）可以寫成

Wx=λx

即各個(gè)隊(duì)的等級(jí)分的計(jì)算, 轉(zhuǎn)化求平局的權(quán)重矩陣T的最大正特征值λ所屬的非負(fù)特征向量。直接利用Matlab軟件計(jì)算得λ=1，相應(yīng)等級(jí)分為

(0.3173, 0.265,0.6627, 0.0981,0.0118,0.009, 0.4435, 0.2473,0.2419,0.2521,0.0026,0.0110) 由此可以確定在綜合考慮獲勝局和平局的情況下各隊(duì)的排名為

T3, T7, T1,T 2,T10 ,T8,T9,T4,T5,T12,T6,T11

2.3 等級(jí)分的隨機(jī)沖浪模型

在大多數(shù)時(shí)候，競(jìng)技比賽的結(jié)果都是兩隊(duì)之間實(shí)力的客觀反映。但是，競(jìng)技比賽的結(jié)果有時(shí)具有一定的不確定性，它很容易受到某些偶然或人為因素的影響。為了消除這些不確定因素的影響，我們可以建立等級(jí)分的隨機(jī)沖浪模型。

設(shè)球隊(duì)的實(shí)力能確定比賽的結(jié)果的概率為d，即強(qiáng)隊(duì)因?yàn)椴淮_定因素輸?shù)艚o任意一支球隊(duì)的概率為1?d。則可得下面的轉(zhuǎn)移概率矩陣

W=d*W+1?d*eeT n

其中，，e為分量全為1的n維列向量，從而eeT為全1矩陣；d∈(0,1)為權(quán)重因子，在實(shí)際中可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)確定。同樣，各個(gè)隊(duì)的等級(jí)分的計(jì)算, 轉(zhuǎn)化求轉(zhuǎn)移概率矩陣W最大正

特征值所屬的正特征向量。

下面著重分析權(quán)重因子d∈(0,1)的變化隊(duì)排名的影響。為此，我們利用Matlab軟件計(jì)算出了d取不同的值時(shí)的排名情況

d

1

0.95

0.85

0.4 球隊(duì)排名 T3, T7, T1,T 2,T10 ,T8,T9,T4,T5,T12,T6,T11 T3, T7, T1,T 2,T10 ,T8,T9,T4,T12,T5,T6,T11 T3, T7, T1,T 2,T10 ,T9,T8,T4,T12,T5,T6,T11 T3, T7, T1,T 2,T8 ,T9,T10,T4,T12,T5,T11,T6

注意：當(dāng)權(quán)重因子d以0.05為步長(zhǎng)在表中所列值之間變化時(shí)，球隊(duì)的排名不變。例如，當(dāng)0.45<d<0.85時(shí)，排名均為T3, T7, T1,T 2,T10 ,T9,T8,T4,T12,T5,T6,T11。

從表中可以看出，只要權(quán)重因子d>0.5，根據(jù)等級(jí)分的排名結(jié)果具有良好的穩(wěn)定性；并且，權(quán)重因子的變化只對(duì)沒(méi)有比賽場(chǎng)數(shù)較多的球隊(duì)的有較大影響。因此，等級(jí)分隨機(jī)沖浪模型可以成功地處理數(shù)據(jù)缺損方面的困難。

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Title

ZHAO Guo

（Department of ****, University, City ZipCode, China）

Abstract: *Abstract.*

Key words:

*key word; key word*

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