本文選題：非線性 + 黏彈性��； 參考：《吉林大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：本文主要研究幾類常見非線性系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì).全文內(nèi)容共分四章,第一章為緒論,第二章至第四章為論文主體部分.在第二章中,我們考慮一類含有非線性耗散項的黏彈性波動方程的初邊值問題.問題的具體形式如下:其中Ω(?)Rn為具有光滑邊界(?)Ω的有界區(qū)域,R+ = {t|0t∞},△表示Rn中的Laplace算子,'表示(?).對該方程中的h與g,我們有以下假設(shè):(H.h)h ∈ × R)關(guān)于第二個變量單調(diào)遞增,并且存在一個嚴(yán)格單調(diào)遞增的奇函數(shù)kk∈ C1(R+)使得對某個正常數(shù)r01,有kk(r0)1以及K(v)=(?)((?))為[0,r02]上的嚴(yán)格凸函數(shù).同時滿足其中a(x)∈ L∞為一正函數(shù),c1,c2,c3,c4均為正常數(shù),k-1表示kk的反函數(shù);(H.g)g(t)≥ 0是一個單調(diào)不增函數(shù),且滿足同時,存在一個非負(fù)的凸函數(shù)G ∈ C1(R+),滿足G(0)= G'(0)= 0并且使得和成立.在這些假設(shè)條件下,我們首先給出該問題解的存在性定理.定理1.假設(shè)h,g滿足(H.h),(H.g),且有u0∈H01(Ω)∩H2(Ω),u1∈H01(Ω).那么,問題(1)存在唯一弱解滿足然后,通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)某俗硬⑦\用積分形式的Gronwall不等式,我們得到了關(guān)于這類非線性系統(tǒng)的能量衰減率估計.定理2.假設(shè)(H.g),(H.h)成立,并且u0,u1滿足定理1中條件.那么存在某個正常數(shù)C0以及與E(0)有關(guān)的常數(shù)ω使得其中能量泛函E(t)的定義為上式中||·||表示L2范數(shù).同時,η是一個當(dāng)t→+∞時衰減到0的單調(diào)遞減函數(shù),其具體形式如下:式中L,v以及常數(shù)C11將分別在(2.47),(2.50)和(2.49)中給出.上述定理給出了同時具有弱耗散項以及黏彈性項的波動方程的能量估計公式.眾所周知,耗散項和黏彈性項都會造成波動方程能量的衰減,但是關(guān)于兩者同時存在時方程能量衰減問題的研究目前還處于剛起步階段,許多關(guān)于這方面的研究所處理的耗散項以及黏彈性項的形式相對簡單.在這一章中,我們利用凸函數(shù)的性質(zhì),對于復(fù)雜的耗散項和黏彈性項進(jìn)行了討論,并在一定程度上對比了這兩者在方程能量衰減中起到作用的大小.定理中的公式可應(yīng)用于多種具非線性耗散項的黏彈性波動方程的能量衰減率估計.在第二章的最后,我們將會通過兩個例子來展示定理2的應(yīng)用.在第三章中,我們考慮一類具非線性耗散項的變系數(shù)梁方程的初邊值問題.問題的具體形式如下:其中Q(?)Rn為具有C2邊界(?)Ω如的非空有界區(qū)域,R+ = {t|0t+O∞},‖·‖為L2范數(shù),%接搿鞣直鷂猂n中的梯度算子與Laplace算子,'表示(?),v是邊界(?)Ω上的單位外法向量,(?)表示法方向?qū)?shù).變系數(shù)梁方程可以用于描述由非均勻材料所構(gòu)成的梁的振動.相對于一般的常系數(shù)梁方程,它可以更好的描述實際情形,但變系數(shù)的出現(xiàn)也為方程的求解過程帶來了困難.除此之外,非線性耗散項的存在也使得方程的求解變得復(fù)雜.在這一章中,我們定義了兩個特殊的能量泛函,通過對于這兩個泛函的估計并運用Aubin-Lions定理解決了這些問題.對于方程中的變系數(shù)a(x,t),b(x t)以及非線性項M(x,t,λ),h(s),我們有以下假設(shè):(H.a)函數(shù) a 與 a'滿足a,a'∈ a(Ω × R+),函數(shù) a"與 a"'滿足 a",a"' ∈L1(Ω ×R+),并且存在常數(shù) a00,a1 ∈R,A00,0,A20,A30使得(H.b)對于所有的t ∈ R+,有b(.,t)∈H02(Ω);對于所有的x ∈ Ω,有b(x,·)∈C1(R+).此外,b'(x,t)∈L1(Ω× R+)并且存在常數(shù)b00,Bo0,B10,B20使得(H.M)函數(shù)M滿足M(x,t,λ)∈C1 × R+ × R+)并且存在常數(shù)M0 ≥ 0,M10,M2 ≥ 0,M3 ≥ 0 使得(H.h)函數(shù)h∈C1(R)為一非減函數(shù)且滿足并且存在常數(shù) 使得首先,我們運用Feado-Galerkin方法以及能量方法對問題強(qiáng)解的存在唯一性進(jìn)行了研究并得出了以下定理.定理3.(存在性)假設(shè)(H.a),(H.b),(H.M)以及(H.h)成立,并且初值滿足 同時,存在常數(shù)b0使得且滿足其中 函數(shù)H(t)以及常數(shù)C2的具體形式將在(3.12)和(3.17)中給出,C為Poincare常數(shù)使得對所有的u ∈H02(Ω),有‖u‖≤C‖%絬‖,‖%絬‖≤‖%絬‖,‖u‖≤C‖△u‖.那么,上述初邊值問題的強(qiáng)解存在.定理4.(唯一性)如果條件(H.a),(H.b),(H.M)以及(H.h)成立,并且M(x,t,λ)滿足M ∈C1(Ω ×[0,+∞)×[0,∞)),△M,%組 ∈ L∞(Ω ×[0,+∞)×[0,+∞)).那么,上述問題的解是唯一的.在此基礎(chǔ)上,我們還研究了該方程解的長時間漸近行為,證明了能量泛函的指數(shù)衰減,得到以下定理.定理5.在定理4的假設(shè)下,存在常數(shù)0,γ0使得上述問題的能量泛函滿足E(t)≤ζe-γt,(?)t≥0,其中能量泛函E(t)的定義如下:E(t)=1/2∫Ω(a(x,t)|u'|2 + b(x,t)|△u|2 + M(x,1t,‖%絬(t)‖2)%絬|2)dx.在第四章中,我們研究了穩(wěn)態(tài)Poisson-Nernst-Plank(PNP)系統(tǒng).系統(tǒng)具體形式如下:其中x∈(0,1),k =1,2,...,n.其邊值條件為:Φ(0)= V,ck(0)=lk≥ 0;Φ(1)= 0,ck(1)= rk≥0.上式中,Φ表示電壓,ck,Jk分別表示第kk種離子的離子濃度以及流量密度,區(qū)間[0,1]表示整個離子通道,ε2《1為一與維度無關(guān)的參數(shù),h(x)表示x位置的橫截面積,Q(x)表示離子通道內(nèi)壁上的永久電荷分布,αk≠0表示第kk種離子的帶電量,lk和rk分別表示離子通道兩端的離子濃度.由于ε很小,我們可以把上述邊值問題看成奇異連接問題.然后,運用問題的特殊結(jié)構(gòu),我們將尋找奇異軌的問題轉(zhuǎn)化為求與系統(tǒng)相對應(yīng)的某個矩陣的特ξ征值問題.再通過進(jìn)一步的推導(dǎo),我們又將該求解特征值問題轉(zhuǎn)化為求某個方程h(z)=0的根的問題,其中h(z)的具體形式為為敘述方便,我們首先定義了以下變量.之后,我們考慮了 n = 3時上述問題所對應(yīng)矩陣的特征值λ1,λ2,λ3的分布情況,由于邊界條件滿足電中和的性質(zhì),因此我們有= ∑i=1αili=∑i=13αiri=0,進(jìn)而可以推出λ1 = 0恒成立,于是我們只需要求得另外兩個特征值A(chǔ)2,A3的分布即可求出以上PNP系統(tǒng)的奇異軌.關(guān)于λ2,λ3的分布情況我們得到了以下結(jié)論.命題1.當(dāng)mr = ml時,我們有此時,λ2,λ3具有以下形式當(dāng)mrml時,A2,A3分別為h(z)的兩個實零點,更進(jìn)一步,我們有λ3ml且命題2.當(dāng)mrml且pmrml 時,λ2,λ3分別為h(z)=0的兩個不等實根,且滿足0ml;當(dāng)mrm 且pmr=ml 時,A2,A3分別為h(z)=0的兩個不等實根,且滿足對于mrm 且pmrml的情況,A2,A3的分布情況比較復(fù)雜,為研究它們的分布我們首先定義了兩個輔助函數(shù):應(yīng)用這兩個函數(shù)的性質(zhì)并通過進(jìn)一步計算,我們得到了如下定理.定理6.的零點且其有以下幾種分布情況:為方便理解,我們在文中針對上述定理中的每種情況都給出了相應(yīng)的特征值分布的直觀示意圖.以上是在相關(guān)領(lǐng)域中第一次從具體的特征值分布情況入手研究PNP系統(tǒng)所得到的結(jié)果,在這些結(jié)論的基礎(chǔ)上,我們又對該系統(tǒng)的電流L進(jìn)行了研究,給出了不同特征值分布下電流L的公式.更進(jìn)一步,我們根據(jù)所求電流L的公式對電流與電壓的關(guān)系進(jìn)行了細(xì)致的分析.這些分析對于科學(xué)實驗以及數(shù)值模擬都有著指導(dǎo)性作用。
[Abstract]:This paper mainly studies the dynamic properties of several kinds of common nonlinear systems. The full text is divided into four chapters. The first chapter is the introduction, the second to the fourth chapter is the main part of the paper. In the second chapter, we consider a class of initial boundary value questions of the viscoelastic wave equation with nonlinear dissipative term. The concrete form of the problem is as follows: omega (?) Rn is a tool. The bounded region with smooth boundary (?) Omega, R+ = {t|0t infinity}, the Laplace operator in Rn, '(?). For the H and G in the equation, we have the following hypothesis: (H.h) h h * R) on the monotonically increasing second variables, and there is a strictly monotonically increasing odd function KK, C1 (R+). (?)) ((?)) a strict convex function on [0, r02], and a (x) L infinity as a positive function, C1, C2, C3, C4 are all normal, k-1 is a KK inverse function; (H.g) (H.g) > 0 is a monotonous non increment function, and satisfies the existence of a non negative convex function (0) = 0 and is made and established. We first give the existence theorem of the solution of this problem. Theorem 1. suppose h, G satisfies (H.h), (H.g), and there is U0 H01 (omega) H2 (omega), U1 H01 (omega). Then, the problem (1) exists the unique weak solution, and then we get the energy of this kind of nonlinear system by constructing the proper multiplier and using the Gronwall inequality in the integral form. Attenuation rate estimation. Theorem 2. hypothesis (H.g), (H.h) is established, and U0, U1 satisfies the conditions in Theorem 1. Then there is a normal number C0 and the constant Omega related to E (0) so that the energy functional E (T) is defined as the upper formula L2 norm. At the same time, the ETA is a monotone decreasing function that attenuates to 0 when t to + infinity, and its specific form is as follows: L, V and constant C11 will be given in (2.47), (2.50) and (2.49) respectively. The above theorem gives the energy estimation formula for the wave equation with both weak dissipation and viscoelastic terms. It is known that both the dissipative term and the viscoelastic term will cause the attenuation of the energy of the wave equation, but the energy attenuation of the equation at the same time is asked. In this chapter, we use the properties of the convex function to discuss the complex dissipative term and the viscoelastic term, and compare the two in the energy decay of the equation at a certain degree. The formula in the theorem can be applied to the energy attenuation estimation of a variety of viscoelastic wave equations with nonlinear dissipation terms. At the end of the second chapter, we will show the application of theorem 2 through two examples. In the third chapter, we consider a class of initial boundary value questions of a class of variable coefficient Beam Equations with nonlinear dissipation terms. The specific forms of the problem are as follows: Q (?) Rn is a non empty bounded region with a C2 boundary (?) Omega, R+ = {t|0t+O infinity}, a L2 norm, a gradient operator and a Laplace operator in the n of the tanning harrier n, '(?) ", V is a single external vector on the boundary (?) Omega, (?) to represent the derivative of the direction. The variable coefficient beam equation can be used to describe the reason. The vibration of a beam composed of nonuniform materials can describe the actual situation better than the ordinary constant coefficient beam equation, but the appearance of variable coefficients also brings difficulties to the solving process of the equation. In addition, the existence of the nonlinear dissipative term makes the solution of the equation complicated. In this chapter, we define two special cases. The energy functional is solved by the estimation of these two functionals and using the Aubin-Lions theorem. For the variable coefficients a (x, t), B (x T) and the nonlinear term M (x, t, lambda), H (s), we have the following hypothesis: Constant A00, A1 R, A00,0, A20, A30 make (H.b) for all t R+, B (, t) H02 (omega). H.h) function H C1 (R) is a non subtraction function and satisfies and exists constant. First, we use the Feado-Galerkin method and the energy method to study the existence and uniqueness of the strong solution of the problem and get the following theorem. Theorem 3. (existence) hypothesis (H.a), (H.b), (H.M) and (H.h), and the initial value satisfies the existence of a constant. B0 makes and satisfies the specific forms of the function H (T) and constant C2 in (3.12) and (3.17), and C is a Poincare constant for all u H02 (omega). (H.M) and (H.h) are established, and M (x, t, lambda) satisfies M C1 (omega * [0, + infinity) * [0, infinity), Delta M,% group, L infinity (omega * [0, + infinity) x, + infinity). Then, the solution of the above problem is unique. On this basis, we also study the long time asymptotic behavior of the solution of the equation, prove the exponential decay of the energy functional, and get the following theorem. Theorem 5. in the theorem. Under the assumption of Theorem 4, the existence constant 0, gamma 0 make the energy functional of the above problem satisfy E (T) < e- gamma T, (?) t > 0, and the energy functional E (T) is defined as follows: E (T) =1/2 (a) (a) in the fourth chapter, we have studied the steady state system. The formula is as follows: X (0,1), K =1,2,..., the boundary value conditions of N. are: (0) = V, CK (0) =lk > 0; diameter (1) = 0, CK (1) = rk > = 0., voltage, CK, Jk, respectively representing the ion concentration and the flow density, respectively. Q (x) represents the permanent charge distribution on the inner wall of the ion channel, and the alpha K 0 represents the charged amount of the KK ions. LK and rk represent the ionic concentration at both ends of the ion channels. By further derivation, we turn the solution of the eigenvalue problem into the root of an equation H (z) =0 by further derivation. In which the specific form of H (z) is convenient for the description, we first define the following variables. After that, we consider the corresponding moments of the above problems when n = 3. The distribution of the eigenvalue of the matrix [lambda] 1, lambda 2, and lambda 3, because the boundary condition satisfies the property of the electric neutralization, we have = = i=1 alpha ili= Sigma i=13 alpha iri=0, and then we can introduce [1] 1 = 0 constant, so we only need to obtain the other two eigenvalues A2, the distribution of the A3 system can be obtained by the singular rails of the upper PNP system. The distribution of [lambda] 2, [lambda] 3 We get the following conclusion. When Mr = ml, when Mr = ml, we have this time, when lambda 2, lambda 3 have the following form as mrml, A2, A3 are two real zeros of Z respectively, and further, we have a 3ml and propositional 2. when mrml and pmrml, lambda 2, and lambda 3 are two unequal real roots of H (z), respectively. In the case of MRM and pmrml, the distribution of A2 and A3 is more complex. In order to study their distribution, we first define two auxiliary functions: using the properties of the two functions and by further calculation, we get the following theorem. The zero point of theorem 6. and it has the following distribution: it is convenient to understand. In this paper, we give an intuitive diagram of the corresponding eigenvalue distribution for each of the above theorems. The above is the first time to study the results obtained by the PNP system from the specific eigenvalue distribution in the related fields. On the basis of these conclusions, we have also studied the current L of the system and gave the results. The formula of current L under the distribution of different eigenvalues is given. Further, we make a detailed analysis of the relationship between current and voltage according to the formula of current L. These analyses have a guiding role for both scientific experiments and numerical simulation.
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O175

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本文編號：1986628