發(fā)布時(shí)間：2018-05-19 06:50

  本文選題：偏微分方程 + 最優(yōu)控制　； 參考：《華中科技大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：本文主要研究幾類偏微分方程最優(yōu)控制相關(guān)問題,其內(nèi)容包括狀態(tài)方程的適定性、最優(yōu)控制的存在性以及最優(yōu)控制滿足的極大值原理。全文共分六章：第一章主要闡述偏微分方程最優(yōu)控制問題的來源和研究對象,并簡要介紹國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀以及本文的主要結(jié)果。第二章研究了一類非線性色散淺水波方程的分布最優(yōu)控制問題。首先利用Garlekin逼近方法和能量估計(jì),在合適的狀態(tài)空間中證明了控制系統(tǒng)解的存在唯一性。其次引入所要討論的最優(yōu)控制問題,并且證明每一個(gè)給定的初始狀態(tài)都對應(yīng)著控制系統(tǒng)唯一的最優(yōu)控制。最后借助由A.Ya. Dubovitskii和A.A. Milyutin提出的泛函分析方法成功地推導(dǎo)出最優(yōu)控制成立的一階必要性條件,并指出最優(yōu)控制具有Bang-Bang性質(zhì)。本章得到的結(jié)果推廣和改進(jìn)了部分已知結(jié)果。第三章考慮了具有一個(gè)捕食者和兩個(gè)被捕食者的生態(tài)模型的最優(yōu)控制理論,其目的在于通過人工干預(yù)使得此生態(tài)系統(tǒng)中三個(gè)物種的種群密度最大化。給定初始種群密度(均為正),借助強(qiáng)連續(xù)算子半群理論和拋物方程的相關(guān)理論,首先證明了控制系統(tǒng)存在唯一的正強(qiáng)解,并且指出對于給定的初始種群密度,人工干預(yù)具有最優(yōu)的策略(即控制系統(tǒng)存在唯一的最優(yōu)控制)。然后借助于對偶原理推導(dǎo)出最優(yōu)控制的一階必要性條件和二階充要性條件。本章對相應(yīng)的最優(yōu)控制問題給出了全面的回答,其結(jié)果是新的。第四章處理了一類帶有記憶項(xiàng)的非線性耦合波動(dòng)方程的最優(yōu)控制問題。首先利用經(jīng)典的變分原理和緊性原理給出了最優(yōu)控制變量的存在性證明。其次通過對近似最優(yōu)控制變量(懲罰掉了狀態(tài)限制)的極值條件在合理的意義下取極限,推導(dǎo)出了最優(yōu)控制變量所滿足的龐氏極大值原理。作為主要結(jié)果的直接應(yīng)用,同時(shí)得到了由非線性Klein-Gordon方程組描述的最優(yōu)控制問題的必要性條件,其結(jié)果推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[83]中關(guān)于Klein-Gordon方程最優(yōu)控制問題的主要結(jié)果。第五章討論了帶有逐點(diǎn)狀態(tài)限制的Boussinesq方程組的最優(yōu)控制問題。首先證明了狀態(tài)函數(shù)關(guān)于控制函數(shù)的連續(xù)依耐性,然后利用Ekeland變分原理和改進(jìn)的針狀變分技術(shù),推導(dǎo)出了最優(yōu)控制滿足的逐點(diǎn)形式的龐氏極大值原理。另外,在某些強(qiáng)穩(wěn)定性條件假設(shè)下,進(jìn)一步得到了一種形式更強(qiáng)的龐氏極大值原理,其特點(diǎn)在于拉格朗日乘子可以取固定的常數(shù)。本章結(jié)果推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[86]中帶有積分型狀態(tài)限制最優(yōu)控制問題的結(jié)論。第六章研究了一類廣義Camassa-Holm方程的局部適定性、強(qiáng)解的爆破性以及解析解的存在性。首先利用Littlewood-Paley分解原理和傳輸方程理論證明方程在Besov空間中的局部適定性。其次證明方程在臨界Besov空間中的局部適定性。借助粒子軌道方法討論了解的爆破性,并在特殊情況下得到強(qiáng)解的整體存在性。最后討論了方程解的Gevrey正則性和解析性,同時(shí)給出解存在時(shí)間的上界估計(jì)。本章結(jié)果推廣和改進(jìn)了部分已知的結(jié)論,其中關(guān)于解的爆破性和解析性的討論是新的。
[Abstract]:This paper mainly deals with the optimal control related problems of partial differential equations. The content includes the fitness of the state equation, the existence of optimal control and the maximum principle of optimal control. The full text is divided into six chapters. The first chapter mainly expounds the source and research object of the optimal control problem of partial differential equations, and briefly introduces the domestic and foreign countries. The second chapter studies the optimal control problem of the distribution of a class of nonlinear dispersion shallow water wave equations. First, the existence and uniqueness of the solution of the control system are proved in the appropriate state space by using the Garlekin approximation method and the energy estimation. Secondly, the optimal control problem is introduced, and the proof of the optimal control problem is introduced. Each given initial state corresponds to the only optimal control of the control system. Finally, the first order necessary conditions for the establishment of optimal control are successfully derived with the help of the functional analysis method proposed by A.Ya. Dubovitskii and A.A. Milyutin, and the optimal control has Bang-Bang quality. The results obtained in this chapter are extended and improved. The third chapter considers the optimal control theory of an ecological model with a predator and two predators. The aim is to maximize the population density of three species in the ecosystem by artificial intervention. Given the initial population density (all positive), the theory of the strong continuous operator semigroup and the phase of the parabolic equation are used. In the theory, we first prove the existence of the only positive strong solution of the control system, and point out that the artificial intervention has the best strategy for the given initial population density (i.e. the existence of the only optimal control in the control system). Then the first order necessary condition and the two order sufficient and necessary condition of the optimal control are derived with the aid of the dual principle. The optimal control problem is given a comprehensive answer. The results are new. The fourth chapter deals with the optimal control problem for a class of nonlinear coupled wave equations with memory terms. First, the existence of the optimal control variable is given by using the classical variational principle and the compactness principle. The extreme conditions of the state limit are taken in a reasonable sense, and the Ponzi maximum principle of the optimal control variable is derived. As a direct application of the main result, the necessary condition for the optimal control problem described by the nonlinear Klein-Gordon equations is obtained. The result is extended and improved in the literature [83]. The main result of the optimal control problem of the Klein-Gordon equation. The fifth chapter discusses the optimal control problem of the Boussinesq equations with the point by point state restriction. First, the state function is proved to be continuous dependent on the control function. Then the optimal control satisfaction is derived by using the Ekeland variational principle and the improved needle variational technique. In addition, under some strong stability conditions, a more form of Ponzi maximum principle is obtained, which is characterized by the Lagrange multiplier can take a fixed constant. The result of this chapter generalizes and improves the knot with the optimal control problem with integral state restriction in [86]. The sixth chapter studies the local well - being of a class of generalized Camassa-Holm equations, the explosive property of strong solutions and the existence of analytic solutions. First, we use the Littlewood-Paley decomposition principle and the transfer equation theory to prove the local well posed of the equation in the Besov space. Secondly, it proves the local well posed of the equation in the critical Besov space. The orbit method discusses the blasting property of the understanding and obtains the overall existence of the strong solution under special circumstances. Finally, the Gevrey regularity and the analytic property of the solution are discussed. At the same time, the upper bounds of the existence time of the solution are given. The results of this chapter extend and improve some known conclusions, in which the discussion of the explosive and analytic solution is new.
【學(xué)位授予單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O175.2;O232

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本文編號：1909123