本文選題：孤子方程 + 矩陣譜問題　； 參考：《鄭州大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：孤子現(xiàn)象的出現(xiàn)是非線性效應(yīng)和色散效應(yīng)巧妙平衡的結(jié)果.孤子理論,特別是尋找具有重要物理背景的孤子方程的孤子解,已經(jīng)吸引了許多研究者,這是由于孤子理論在許多領(lǐng)域中具有重要的作用,例如水波理論,非線性光學(xué),等離子體物理,流體力學(xué)等.我們還知道獲得孤子方程的孤子解的方法包括反散射變換,Darboux變換,B¨acklund變換,Hirota雙線性方法,Wronskian技巧等.本文的主要目的是推廣應(yīng)用Riemann-Hilbert方法導(dǎo)出五個孤子方程的多孤子解,這些方程包括耦合m Kd V方程,廣義Sasa-Satsuma方程,耦合SasaSatsuma方程,耦合Gerdjikov-Ivanov方程以及長短波方程.這五個孤子方程均和高階的譜問題相聯(lián)系,其中耦合Sasa-Satsuma方程的Lax對涉及5×5的矩陣譜問題,其余四個方程相聯(lián)系于3×3的矩陣譜問題.通過對孤子方程的Lax對進行譜分析,我們構(gòu)造了相關(guān)的分區(qū)域解析矩陣函數(shù),進而得到了這些方程的Riemann-Hilbert問題.然后,通過求解對應(yīng)于無反射情形下的特殊Riemann-Hilbert問題,我們分別系統(tǒng)導(dǎo)出了五個孤子方程的多孤子解公式.特別地,為描述相關(guān)孤子解的特點,我們給出了一些孤子解的有趣的三維圖形.此外,在每章的最后,我們均將獲得的多孤子解公式表示為了行列式之比,這種緊湊而整潔的形式非常便于進行符號計算.
[Abstract]:The soliton phenomenon is the result of the clever balance of nonlinear effect and dispersion effect. Soliton theory, especially in finding soliton solutions of soliton equations with important physical background, has attracted many researchers. This is because soliton theory plays an important role in many fields, such as water wave theory, nonlinear optics, and so on. Plasma physics, hydrodynamics, etc. We also know that the methods of obtaining soliton solutions for soliton equations include the inverse scattering transformation Darboux transformation and acklund transformation Hirota bilinear method and Wronskian technique. The main purpose of this paper is to generalize the multi-soliton solutions of five soliton equations by using the Riemann-Hilbert method. These equations include the coupled m Kd V equation, the generalized Sasa-Satsuma equation, the coupled SasaSatsuma equation, the coupled Gerdjikov-Ivanov equation and the long-short wave equation. The five soliton equations are all related to higher order spectral problems, where the Lax pair of coupled Sasa-Satsuma equations involves a 5 脳 5 matrix spectral problem, and the other four equations are associated with 3 脳 3 matrix spectral problems. Based on the spectral analysis of the Lax pair of soliton equations, we construct the related domain analytic matrix functions, and then obtain the Riemann-Hilbert problem of these equations. Then, by solving the special Riemann-Hilbert problem corresponding to the non-reflection case, we systematically derive the multiple soliton solutions of the five soliton equations. In particular, in order to describe the characteristics of the associated soliton solutions, we give some interesting three-dimensional graphs of the soliton solutions. In addition, at the end of each chapter, the formula of multi-soliton solution obtained is expressed as the ratio of determinants. This compact and neat form is very convenient for symbolic calculation.
【學(xué)位授予單位】：鄭州大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O175.29

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本文編號：1901478