本文選題：Sperner定理 + 交偏序集　； 參考：《大連理工大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：代數(shù)組合學(xué)是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容,它主要是運(yùn)用代數(shù)學(xué)中的方法或結(jié)論來(lái)研究組合數(shù)學(xué)中的問(wèn)題.本文分別從凸集的Sperner性質(zhì)、超平面配置的超級(jí)可解性以及Riordan矩陣行多項(xiàng)式矩陣的組合性質(zhì)等方面著手研究了代數(shù)組合學(xué)中的若干問(wèn)題.具體內(nèi)容如下：第一部分研究了Sperner定理在凸集上的推廣.Sperner定理主要研究子集格上的Sperner性質(zhì),是偏序集上的經(jīng)典結(jié)論之一.Sperner性質(zhì)在其他偏序集上的推廣研究是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)極為活躍的課題.Akiyama和Frankl猜想一般凸集上也有Sperner性質(zhì).本部分證明Akiyama-Frankl猜想在一些經(jīng)典凸集上成立,例如降簇、Lih簇以及壓縮理想.第二部分考慮超平面配置的超級(jí)可解性.如果超平面配置對(duì)應(yīng)的交偏序集存在極大的模鏈則該超平面配置稱為超級(jí)可解的.Stanley證明了圖配置超級(jí)可解的充分必要條件是該圖是一個(gè)弦圖.本文受圖配置超級(jí)可解充分必要條件的啟發(fā),研究了推廣的圖配置即ψ圖配置超級(jí)可解的等價(jià)條件.超平面配置的自由性可以推出超級(jí)可解性,而對(duì)于圖配置而言兩者是等價(jià)的,即圖配置的超級(jí)可解性也可推出自由性.本部分考慮了ψ圖的自由性,并給出ψ圖配置自由性的必要條件.第三部分研究了Riordan矩陣行多項(xiàng)式矩陣的組合性質(zhì).首先給出了Riordan矩陣行多項(xiàng)式矩陣的兩種等價(jià)刻畫,隨后研究了其各種組合性質(zhì),包括行多項(xiàng)式矩陣的q-全正性、第0列的q-對(duì)數(shù)凸性以及每行的q-對(duì)數(shù)凹性.本文著重研究了Bell型Riordan矩陣和Aigner-Riordan矩陣的行多項(xiàng)式矩陣,并給出判斷行多項(xiàng)式矩陣全正性的條件.作為應(yīng)用,從行多項(xiàng)式矩陣的角度將一些已知的零散的結(jié)果以統(tǒng)一的形式給出.Barry提出了三個(gè)關(guān)于冪級(jí)數(shù)系數(shù)的Hankel行列式的猜想,通過(guò)計(jì)算移位Aigner-Riordan數(shù)的Hankel行列式統(tǒng)一地證明了Barry提出的三個(gè)猜想.
[Abstract]:Algebraic combinatorics is an important research content in combinatorial mathematics. It mainly uses methods or conclusions in algebra to study problems in combinatorial mathematics. In this paper, some problems in algebraic combinatorics are studied in terms of the Sperner properties of convex sets, the super solvability of hyperplane configurations and the combinatorial properties of Riordan matrix row polynomial matrices. The main contents are as follows: in the first part, the generalization of Sperner theorem on convex sets is studied. The Sperner theorem mainly studies the Sperner properties on subset lattices. The generalization of the Sperner property on other partial ordered sets is a very active subject in combinatorial mathematics. Akiyama and Frankl conjecture that the general convex sets also have Sperner properties. In this part, we prove that Akiyama-Frankl 's conjecture holds on some classical convex sets, such as reduced cluster Lih clusters and contractive ideals. In the second part, we consider the super solvability of hyperplane configuration. If there is a maximal module chain in the intersection partial order set corresponding to the hyperplane configuration, then the hyperplane configuration is called super solvable. Stanley proves the necessary and sufficient condition for a graph to be super solvable if and only if the graph is a chord graph. In this paper, inspired by the necessary and sufficient conditions for the super solvability of graph configuration, we study the equivalent conditions of generalized graph configuration, that is, 蠄 graph configuration super solvability. The supersolvability of hyperplane configuration can be deduced, but the two are equivalent to graph configuration, that is, the super solvability of graph configuration can also deduce freedomness. In this part, we consider the freeness of 蠄 graphs and give the necessary conditions for the configuration freeness of 蠄 graphs. In the third part, the combinatorial properties of row polynomial matrices of Riordan matrices are studied. In this paper, two equivalent characterizations of row polynomial matrices of Riordan matrices are given. Then, we study the combination properties of row polynomial matrices, including the q-total positivity of row polynomial matrices, the q-logarithmic convexity of column 0 and the q-logarithmic concave of each row. In this paper, the row polynomial matrices of Bell type Riordan matrices and Aigner-Riordan matrices are studied, and the conditions for judging the full positivity of row polynomial matrices are given. As an application, from the point of view of row polynomial matrix, some known scattered results are given in a unified form. Barry puts forward three conjectures about the Hankel determinant of power series coefficients. Three conjectures proposed by Barry are proved uniformly by calculating the Hankel determinant of shift Aigner-Riordan number.
【學(xué)位授予單位】：大連理工大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O157

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本文編號(hào)：1861767