發(fā)布時(shí)間：2018-04-18 16:51

  本文選題：矩陣方程 + 預(yù)條件處理�。� 參考：《華東理工大學(xué)》2017年碩士論文

【摘要】：在工程應(yīng)用與科學(xué)計(jì)算的諸多領(lǐng)域中,矩陣計(jì)算都有著十分廣泛的應(yīng)用:比如Lyapunov方程、Sylvester方程等矩陣方程的數(shù)值求解問(wèn)題,在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分析、偏微分方程邊值問(wèn)題、圖像識(shí)別以及大規(guī)模線性動(dòng)力系統(tǒng)、模型降價(jià)等領(lǐng)域中都扮演著十分重要的角色;因此,研究矩陣方程的一類(lèi)數(shù)值迭代求解算法具有非常重要的實(shí)用價(jià)值。在矩陣方程的實(shí)際求解問(wèn)題中,其系數(shù)矩陣往往是大型稀疏矩陣,這使得迭代法成為研究該類(lèi)問(wèn)題求解的最常用方法。但隨著矩陣方程系數(shù)矩陣規(guī)模的增大,采用經(jīng)典迭代法進(jìn)行求解就會(huì)出現(xiàn)計(jì)算量巨大、收斂速度十分緩慢的情況,預(yù)條件技術(shù)則能夠很好地處理好這樣一類(lèi)問(wèn)題。而本文正是基于預(yù)條件處理思想,提出了一類(lèi)預(yù)條件平方Smith迭代算法數(shù)值求解矩陣方程,具體內(nèi)容如下:利用交替方向隱式法即ADI迭代法構(gòu)造預(yù)條件算子并處理矩陣方程,將該原矩陣方程轉(zhuǎn)化為譜性質(zhì)更好的方程,然后利用平方Smith法迭代產(chǎn)生Krylov子空間中的低秩逼近數(shù)值解形式,同時(shí)給出預(yù)條件平方Smith算法以及誤差和殘量的估計(jì);最后,在數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分對(duì)工程領(lǐng)域中最常見(jiàn)的兩類(lèi)矩陣方程Lyapunov方程和Sylvester方程進(jìn)行數(shù)值編程實(shí)現(xiàn),用實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證本文提出的一類(lèi)預(yù)條件迭代法比傳統(tǒng)的Jacobi迭代法、Global-Krylov子空間法、Block-Krylov子空間法等迭代法具有更好的收斂效果,說(shuō)明本文提出的預(yù)條件平方Smith算法是十分有效的。
[Abstract]:In many fields of engineering application and scientific calculation, matrix calculation has been widely used: for example, the numerical solution of matrix equations such as Lyapunov equation and Sylvester equation, the design and analysis of control system, the boundary value problem of partial differential equation, etc.Image recognition, large-scale linear dynamical systems and model reduction play a very important role, so it is very important to study a kind of numerical iterative algorithm for solving matrix equations.In the practical solving problem of matrix equation, the coefficient matrix is usually a large sparse matrix, which makes iterative method the most common method to solve this kind of problem.However, with the increase of matrix size of coefficient matrix of matrix equation, using classical iterative method to solve the problem will result in a huge amount of computation and a very slow convergence rate. The preconditioning technique can deal with this kind of problem well.Based on the idea of preconditioned treatment, a class of preconditioned square Smith iterative algorithm is proposed to solve the matrix equation numerically. The main contents are as follows: the alternating direction implicit method, I. E. the ADI iterative method, is used to construct the preconditioned operator and to deal with the matrix equation.The original matrix equation is transformed into a better spectral equation, and then the numerical solution of low rank approximation in Krylov subspace is generated iteratively by using the square Smith method. The preconditioned square Smith algorithm and the estimation of error and residual amount are also given.In the part of numerical experiment, two kinds of matrix equations, Lyapunov equation and Sylvester equation, are numerically programmed in the field of engineering.The experimental results show that the proposed preconditioned Smith method is more effective than the traditional Block-Krylov subspace method, which shows that the preconditioned square Smith method proposed in this paper is very effective.
【學(xué)位授予單位】：華東理工大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類(lèi)號(hào)】：O241.6

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本文編號(hào)：1769251