本文選題：Navier-Stokes方程 + 非齊次邊值��； 參考：《哈爾濱工業(yè)大學(xué)》2017年碩士論文

【摘要】：Navier-Stokes方程作為流體力學(xué)的基本方程之一,具有悠久的歷史。它描述了粘性流體的運動,在流體力學(xué)的各個領(lǐng)域有普遍應(yīng)用。平靜的水流,湍急的小溪,飛機周圍的氣流,盤旋的颶風(fēng),以及爆破產(chǎn)生的沖擊波等現(xiàn)象都可以通過Navier-Stokes方程來分析。本文主要考慮帶有對稱結(jié)構(gòu)的高維多連通區(qū)域上,滿足非齊次Direchlet邊值條件的Navier-Stokes方程解的存在性。Navier-Stokes方程作為七個“千禧問題”之一,受到很多關(guān)注,也得到了一些成果。對Navier-Stokes方程的研究已經(jīng)從各個角度全面展開。其中,不論是對高維空間中Navier-Stokes方程的研究,還是在多連通區(qū)域上對Navier-Stokes方程的研究,都取得了很多重要的結(jié)果。一方面,數(shù)學(xué)家們一度認(rèn)為,對5維穩(wěn)態(tài)Navier-Stokes方程的研究,有可能為最終解決3維發(fā)展的Navier-Stokes方程帶來思路。另一方面,2015年Korobkov,Pileckas和Russo證明了在一般的2維多連通區(qū)域上,滿足非齊次Direchlet邊值條件的Navier-Stokes方程解的存在性。他們的結(jié)果獲得了極大關(guān)注,發(fā)表在Annals of Math上。因此,在高維多連通區(qū)域上,討論解的存在性,是一個很有意思的數(shù)學(xué)問題。如果邊值函數(shù)在多連通區(qū)域的每一個連通分支上的流量都為零,那么該邊值函數(shù)可以延拓為某函數(shù)的旋度。對于僅滿足相容性條件的邊值函數(shù),上述延拓不能實現(xiàn)。本文將構(gòu)造Virtual Drain函數(shù),使其集中了邊值函數(shù)在邊界每一個連通分支上的全部流量,并且其支集可以限制在對稱平面的某個小鄰域內(nèi)。原邊值函數(shù)減去Virtual Drain函數(shù)后,便可以光滑地延拓為某函數(shù)的旋度。最后將問題轉(zhuǎn)化為證明一個Leray不等式,從而可以證明方程的所有可能的解一致有界,再通過Leray-Schauder度理論,即可證明Navier-Stokes方程弱解的存在性。
[Abstract]:As one of the basic equations of fluid mechanics, Navier-Stokes equation has a long history.It describes the motion of viscous fluid and is widely used in various fields of fluid mechanics.Phenomena such as calm currents, fast-flowing streams, airflow around aircraft, circling hurricanes, and blast shock waves can all be analysed by Navier-Stokes equation.In this paper, as one of the seven millennium problems, the existence of solutions of the Navier-Stokes equation satisfying the nonhomogeneous Direchlet boundary value condition on the high dimensional multiconnected domain with symmetric structure is considered. As one of the seven "millennial problems", many attentions have been paid and some results have been obtained.The study of Navier-Stokes equation has been carried out from all angles.Among them, many important results have been obtained in both the study of Navier-Stokes equation in high-dimensional space and the study of Navier-Stokes equation in multi-connected domain.On the one hand, mathematicians once thought that the study of the 5-dimensional steady-state Navier-Stokes equation might bring some ideas for the solution of the Navier-Stokes equation.On the other hand, in 2015, Korobkovan Pileckas and Russo proved the existence of solutions to the Navier-Stokes equation satisfying the inhomogeneous Direchlet boundary value condition in a general 2-dimensional multiconnected domain.Their results received great attention and were published in the Annals of Math.Therefore, it is an interesting mathematical problem to discuss the existence of solutions in high dimensional multiconnected domains.If the flow of the boundary value function on each connected branch of the multi-connected region is zero, the boundary value function can be extended to the curl of a function.For the boundary value function which only satisfies the compatibility condition, the above extension can not be realized.In this paper, the Virtual Drain function is constructed so that it concentrates all the traffic of the boundary value function on each connected branch of the boundary, and its branch set can be restricted to a small neighborhood of the symmetric plane.When the original boundary value function subtracts the Virtual Drain function, it can be smoothly extended to the curl of a certain function.Finally, the problem is transformed into proving a Leray inequality, so that all possible solutions of the equation can be proved uniformly bounded, and the existence of weak solutions of the Navier-Stokes equation can be proved by the theory of Leray-Schauder degree.
【學(xué)位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O175.8

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