本文選題：薛定諤方程　切入點：超收斂　出處：《湘潭大學》2016年博士論文

【摘要】：薛定諤方程是量子力學最基本的方程,在非線性光學、等離子物理、電磁波理論、核物理、量子化學等領域中被廣泛應用.薛定諤方程也是量子力學的一個基本假定,并不能從什么比它更根本的假定來證明它,它的正確性只能靠實踐來檢驗,而且在實際中復雜的薛定諤方程不易求得精確解.因此,關于其數(shù)值解的研究越來越受到重視和關注.本文在均勻剖分的矩形網(wǎng)格或廣義矩形網(wǎng)格上,主要研究了三類薛定諤方程的有限元超收斂結果.在第三章中,針對二維含時線性薛定諤方程,首先在空間上用雙p次Lagrange矩形有限元得到半離散格式,分別利用有限元插值誤差估計理論和橢圓投影算子進行誤差分析,得到了半離散數(shù)值解與精確解的插值函數(shù)之間具有超收斂結果,并構造插值后處理算子得到了整體超收斂.然后在時間方向用Crank-Nicolson方法得到全離散格式,證明了全離散數(shù)值解與精確解的插值函數(shù)之間具有超收斂結果,通過數(shù)值算例驗證了理論結果.在第四章中,針對二維不含時非線性薛定諤方程,用雙線性矩形有限元將原問題進行離散,利用橢圓投影算子對有限元數(shù)值解進行了誤差分析,得到了超收斂結果,同樣運用插值后處理技術得到了整體超收斂,并用數(shù)值算例驗證了理論結果的正確性.在第五章中,針對二維含時非線性薛定諤方程,首先在空間方向用雙線性矩形有限元得到半離散格式,利用橢圓投影算子證明了半離散數(shù)值解與精確解的插值函數(shù)之間具有超收斂結果,通過插值后處理技術得到了整體超收斂.然后在時間上用向后Euler方法和C rank-Nicolson方法得到兩種全離散格式,證明了這兩種全離散格式的數(shù)值解與精確解在L2范數(shù)下的最優(yōu)階誤差估計,最后用數(shù)值算例驗證了理論結果.
[Abstract]:Schrodinger equation is the most basic equation in quantum mechanics. It is widely used in nonlinear optics, plasma physics, electromagnetic wave theory, nuclear physics, quantum chemistry and so on.Schrodinger equation is also a basic assumption of quantum mechanics. It can not be proved by what is more fundamental than it. Its correctness can only be verified by practice, and the complex Schrodinger equation is not easy to obtain exact solution in practice.Therefore, more and more attention has been paid to the numerical solution.In this paper, the finite element superconvergence results of three classes of Schrodinger equations are studied on uniformly divided rectangular or generalized rectangular meshes.In the third chapter, for the two-dimensional time-dependent linear Schrodinger equation, the semi-discrete scheme is obtained by using the double p-degree Lagrange rectangular finite element method in space, and the error analysis is carried out by using the interpolation error estimation theory of finite element method and the elliptic projection operator, respectively.The superconvergence results between the interpolation functions of semi-discrete numerical solutions and exact solutions are obtained, and the global superconvergence is obtained by constructing interpolation post-processing operators.Then the full discrete scheme is obtained by using the Crank-Nicolson method in the time direction. It is proved that there is superconvergence between the interpolation function of the full discrete numerical solution and the exact solution, and the theoretical results are verified by a numerical example.In chapter 4, for the two-dimensional time-free nonlinear Schrodinger equation, the original problem is discretized by the bilinear rectangular finite element method. The error analysis of the finite element numerical solution is carried out by using elliptical projection operator, and the superconvergence result is obtained.The global superconvergence is also obtained by the interpolation post-processing technique, and the correctness of the theoretical results is verified by a numerical example.In the fifth chapter, for the two-dimensional time-dependent nonlinear Schrodinger equation, the semi-discrete scheme is obtained by bilinear rectangular finite element method in the space direction.By using elliptic projection operator, it is proved that the interpolation function of semi-discrete numerical solution and exact solution has superconvergence results, and the global superconvergence is obtained by interpolation post-processing technique.Then, two kinds of fully discrete schemes are obtained by backward Euler method and C rank-Nicolson method in time, and the optimal order error estimates of the numerical solutions and exact solutions of these two schemes under L 2 norm are proved. Finally, the theoretical results are verified by numerical examples.
【學位授予單位】：湘潭大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82;O413.1

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本文編號：1688370