本文選題：極大　切入點：加代數(shù)　出處：《河北師范大學(xué)》2016年碩士論文

【摘要】：極大 加代數(shù)是一個具有重要理論意義和應(yīng)用價值的代數(shù)系統(tǒng).多項式是代數(shù)學(xué)中基本的研究對象之一.極大 加線性系統(tǒng)理論不斷發(fā)展和完善,而極大 加代數(shù)上多項式理論鮮見研究.帶余除法是數(shù)論和多項式論中的一個重要方法,在Euclid除法、因式分解、求解多項式方程、有理函數(shù)分解中扮演著重要角色.本文將研究極大 加代數(shù)上多項式的除法運算和帶余除法.在此基礎(chǔ)上,本文還將首次研究極大 加代數(shù)上編碼的線性碼.首先,我們研究極大 加代數(shù)上形式多項式與多項式函數(shù)之間的關(guān)系,證明在形式多項式冪等代數(shù)與多項式函數(shù)冪等代數(shù)之間存在一個賦值同態(tài).其次,我們研究凹形式多項式的性質(zhì),發(fā)現(xiàn)任一凹形式多項式具有全支集.然后,我們引入極大 加代數(shù)上形式多項式可除、商式和余式的概念,并給出可除的一些性質(zhì).我們利用凹形式多項式具有全支集的特性及其相鄰項系數(shù)之差的單調(diào)性,研究2次凹形式多項式與次數(shù)小于2的形式多項式的帶余除法,分別給出2次凹形式多項式除以1次形式多項式的商式和余式存在的充分必要條件,商式和余式唯一的充分必要條件,以及商式和余式的求法.凹形式多項式的帶余除法對于研究極大 加代數(shù)上多項式函數(shù)的帶余除法有著特別的意義.利用賦值同態(tài)的性質(zhì),我們證明:如果兩個凹形式多項式可除,那么它們所對應(yīng)的多項式函數(shù)可除.利用2次凹形式多項式除以1次形式多項式的商式和余式的計算公式,我們可計算任一2次多項式函數(shù)除以1次多項式函數(shù)的商式和余式.另一方面,我們還舉例說明,當兩個凹形式多項式不可除時,它們所對應(yīng)的多項式函數(shù)也不可除.最后,我們研究極大 加代數(shù)上編碼的線性碼,并引入極大 加代數(shù)上線性碼和循環(huán)碼的概念,給出極大 加代數(shù)上線性碼的多項式描述,即極大 加碼多項式,且用數(shù)值例子加以說明.極大 加代數(shù)上多項式的帶余除法可用于計算極大 加循環(huán)碼的循環(huán)移位.
[Abstract]:Maximal plus algebra is an algebraic system with important theoretical significance and application value. Polynomial is one of the basic research objects in algebra. However, the theory of polynomials on maximal addition algebra is seldom studied. The method with coaddition division is an important method in number theory and polynomial theory. In Euclid division, factorization of factorization, solving polynomial equations, Rational function decomposition plays an important role. In this paper, we will study the division of polynomials and the division with coaddition of polynomials on maximal plus algebras. On this basis, we will also study the linear codes encoded on maximal plus algebras for the first time. We study the relationship between formal polynomials and polynomial functions on maximal additive algebras, and prove that there exists an assignment homomorphism between formal polynomial idempotent algebras and polynomial function idempotent algebras. We study the properties of concave polynomials and find that any concave polynomial has a set of full branches. Then we introduce the concepts of divisible quotient and covariance of formal polynomials on maximal additive algebras. Some properties of divisibility are given. By using the monotonicity of the concave polynomial with full support set and the difference between the coefficients of adjacent terms, we study the division method with remainder between the concave polynomial of order 2 and the formal polynomial of degree less than 2. The necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of quotient and covariance of quadratic concave polynomial divided by first-order formal polynomial are given respectively, and the necessary and sufficient conditions for the uniqueness of quotient and covariance are obtained. In addition, the method of quotient and covariance is of special significance for the study of the division of polynomial functions with coaddition on maximal addition algebras, using the property of assignment homomorphism, the method with codivision of concave polynomials is of special significance in studying the division of polynomial functions on maximal addition algebras. We prove that if two concave polynomials are divisible, then their corresponding polynomial functions can be divisible. We can calculate the quotient and covariance of any polynomial function of degree 2 divided by polynomial function of degree 1. On the other hand, we also show that when two concave polynomials are not divisible, the corresponding polynomial functions are also not divisible. In this paper, we study the linear codes coded on maximal additive algebras, and introduce the concepts of linear codes and cyclic codes on maximal additive algebras, and give the polynomial description of linear codes on maximal plus algebras, that is, the polynomial of maximal additive codes. A numerical example is given to illustrate that the division of polynomials on maximal addition algebras can be used to calculate the cyclic shift of maximal plus cyclic codes.
【學(xué)位授予單位】：河北師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O157.4

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本文編號：1677036