本文選題：反應(yīng)擴散方程　切入點：自由邊界　出處：《哈爾濱工業(yè)大學(xué)》2015年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：偏微分方程被廣泛地運用于探討物理、化學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域的各種問題,其研究內(nèi)容和方法是多種多樣的。為了得到具有理論和實際意義的結(jié)果,方程通常會帶有適當(dāng)?shù)母郊訔l件——初邊值條件。本博士學(xué)位論文討論了幾類反應(yīng)擴散方程的自由邊界問題和一類高階偏微分方程的Navier邊界問題。首先考察一維空間上兩種易燃物混合時熱傳播模型的自由邊界問題,其具有反應(yīng)項v~p和u~q.主要目的是研究該問題正解或最大正解的存在性、唯一性、正則性和漸近性。當(dāng)p≥1且q≥1時,我們利用拋物型方程Lp理論和壓縮映射原理得到關(guān)于時間局部解的存在唯一性,進而將該唯一解延拓到關(guān)于時間的最大存在區(qū)間上;當(dāng)p1或q1時,利用逼近方法證明最大正解的存在唯一性,并給出關(guān)于最大存在時間有限的解必將爆破的結(jié)論。利用拋物型方程的內(nèi)部Schauder估計得到解的正則性,且給出自由邊界的單調(diào)性。借助于建立的比較原理,通過構(gòu)造上下解給出該問題正解關(guān)于時間全局存在和有限時刻爆破的充分條件,而且還研究關(guān)于時間全局的有界解的長時間性質(zhì)。其次探討兩個高維空間上擴散競爭模型的自由邊界問題。一個描述占有共同初始區(qū)域的兩類競爭物種通過自由邊界向外傳播的動力學(xué)性質(zhì);另一個看做為入侵本土物種的競爭物種通過自由邊界向外傳播的動力學(xué)性質(zhì)。對于前者,我們給出解的全局存在性、唯一性及其估計;然后通過引入相應(yīng)問題的特征值,給出兩競爭物種蔓延和熄滅的充分條件,繼而確立蔓延和熄滅的準(zhǔn)則;對成功蔓延情形,提供該問題解的長時間性質(zhì)。對于后者,結(jié)合相關(guān)技巧得到了類似于前者的結(jié)論;而且給出自由邊界傳播速度的一個粗略估計。再次考慮一類具有不同蔓延系數(shù)單物種模型的雙邊自由邊界問題。我們借助于ω-極限集給出解的收斂定理,繼而通過構(gòu)造適合的上下解得到蔓延和熄滅的充分條件,再借助于連續(xù)性方法確立蔓延和熄滅準(zhǔn)則;對于成功蔓延情形,利用零點理論得到解的一致收斂性和自由邊界傳播速度的較精確估計。接著研究一類具有移動和混合邊界條件在對流環(huán)境中單物種模型的自由邊界問題。其目的是理解對流環(huán)境和混合邊界條件對物種動力學(xué)性質(zhì)的影響。我們給出小對流項系數(shù)時解蔓延和熄滅二擇一性質(zhì)及兩種控制蔓延熄滅的臨界值;提供解的一致收斂性和自由邊界傳播速度的較精確估計;描述較大對流項系數(shù)時解的長時間性質(zhì)。最后討論半空間上高階偏微分方程的Navier邊界問題。該問題解的性質(zhì)是通過研究與之對應(yīng)的帶有Bessel位勢的積分方程解的性質(zhì)來得到。兩次利用正則提升定理提高正解的正則性;借助于移動平面法得到正解的單調(diào)性;基于單調(diào)性結(jié)果,呈現(xiàn)正解的不存在性。
[Abstract]:Partial differential equations (PDEs) are widely used to discuss various problems in physics, chemistry, biology and so on. The equations usually have appropriate additional conditions-initial-boundary value conditions. The free boundary problems for several kinds of reaction-diffusion equations and the Navier boundary problems for a class of higher order partial differential equations are discussed in this dissertation. The free boundary problem of the heat transfer model when the two combustible compounds are mixed on the interlayer, The main purpose of this paper is to study the existence, uniqueness, regularity and asymptotic behavior of the positive solution or the maximum positive solution of the problem when p 鈮，

本文編號：1639523