發(fā)布時(shí)間：2018-03-19 12:14

  本文選題：孤子方程　切入點(diǎn)：可積離散　出處：《華東師范大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：本文主要研究非線性數(shù)學(xué)物理中一些重要的孤子方程的性質(zhì)及它們之間的相互關(guān)系.大致分為以下四方面內(nèi)容：運(yùn)用差分算子代數(shù)化將連續(xù)廣義非線性薛定諤(GNLS)方程可積離散化,并研究所得離散方程的一些可積性質(zhì)和線性約化；構(gòu)造并驗(yàn)證若干多分量孤子方程的雙哈密頓結(jié)構(gòu),進(jìn)而推導(dǎo)方程的其他可積性質(zhì)：發(fā)現(xiàn)一些重要的Camassa-Holm(CH)型方程的reciprocal變換,以此建立不同方程族之間的關(guān)系；利用符號(hào)計(jì)算平臺(tái)Mathematica開發(fā)了驗(yàn)證孤子方程雙哈密頓算子的自動(dòng)推演程序包.具體的章節(jié)安排如下：第一章,介紹了與本文相關(guān)的可積離散、雙哈密頓理論、reciprocal變換、符號(hào)計(jì)算的研究背景與發(fā)展現(xiàn)狀,并且概述了本文的主要工作.第二章,利用差分算子代數(shù)化的方法將連續(xù)GNLS方程Lax對(duì)離散化、得到了半離散GNLS方程,并考慮了其可積性質(zhì)如遞推算子、對(duì)稱和守恒律.通過循環(huán)矩陣?yán)碚撗芯苛嗽搹V義半離散方程所有的線性約化,特別的經(jīng)過其中一個(gè)約化得到了一個(gè)經(jīng)典的半離散NLS方程.第三章,通過零曲率方程構(gòu)造了多分量Novikov方程、多分量Yajima-Oikawa(YO)族以及一個(gè)多分量CH型方程的雙哈密頓算子,并用multi-vector方法驗(yàn)證.由這些多分量方程的雙哈密頓結(jié)構(gòu)可推導(dǎo)以下結(jié)果：多分量Novikov方程的遞推算子和無窮多個(gè)非局域?qū)ΨQ；經(jīng)典的YO方程及其無窮多守恒量；多分量CH型方程所在族的對(duì)偶族：即多分量AKNS族和多分量KN族.第四章,以CH方程、Olver-Rosenau-Qiao(ORQ)方程與KdV族負(fù)一流之間的兩個(gè)reciprocal變換為橋梁,建立了CH方程和ORQ方程之間的聯(lián)系.構(gòu)造了一個(gè)混合CH型方程(混合CH方程與ORQ方程)與KdV族負(fù)一流之間的reciprocal變換,特別地此變換的約化可得將CH方程和ORQ方程聯(lián)系到KdV族負(fù)一流的上述兩個(gè)reciprocal變換.第五章,基于符號(hào)計(jì)算軟件Mathematica和驗(yàn)證雙哈密頓算子的multi-vector萬法,編寫了程序包MvBiHamiltonian該程序包能自動(dòng)驗(yàn)證算子的反對(duì)稱性、Jacobi恒等式和兩個(gè)哈密頓算子之間的相容性等.值得注意的是,該程序包成功地驗(yàn)證了王總結(jié)的所有微分算子形式的雙哈密頓算子.第六章,總結(jié)歸納了本文的主要工作,并闡明了接下來的研究方向.
[Abstract]:In this paper, we mainly study the properties of some important soliton equations in nonlinear mathematical physics and their mutual relations. They are roughly divided into the following four aspects: the continuous generalized nonlinear Schrodinger GNLSs is algebraic by means of difference operator algebra. Equation integrable discretization, Some integrable properties and linear reduction of the discrete equations are obtained, and the double Hamiltonian structures of some multicomponent soliton equations are constructed and verified, and other integrable properties of the equations are derived. The reciprocal transformations of some important Camassa-Holmach type equations are found. Using the symbolic computing platform Mathematica to develop the automatic derivation package for verifying the double Hamiltonian operators of soliton equations. The specific chapters are arranged as follows: in Chapter 1, integrable discretization related to this paper is introduced. The background and development of the double Hamiltonian theory of reciprocal transformation, symbolic computation and the main work of this paper are summarized. In chapter 2, the Lax equations of continuous GNLS equations are discretized by using the algebraic method of difference operators, and the semi-discrete GNLS equations are obtained. The integrable properties such as recursive operator, symmetry and conservation law are considered. The linear reduction of the generalized semi-discrete equation is studied by the cyclic matrix theory. In chapter 3, we construct a multicomponent Novikov equation, a multicomponent Yajima-Oikawa Yo) family and a double Hamiltonian operator for a multicomponent Ch type equation. The following results can be derived from the double Hamiltonian structure of these multicomponent equations: the recursive operators and infinite nonlocal symmetries of the multicomponent Novikov equations, the classical YO equations and their infinite conserved quantities; The dual families of the families in which the multicomponent Ch equations belong, namely, the multicomponent AKNS family and the multicomponent KN family. In chapter 4th, the two reciprocal transformations between the Ch equation and the negative first-class KdV family are used as a bridge. The relation between Ch equation and ORQ equation is established, and the reciprocal transformation between mixed Ch equation (mixed Ch equation and ORQ equation) and KdV family is constructed. In particular, the reduction of this transformation can be used to link Ch equation and ORQ equation to the KdV family negative first-class two reciprocal transformations. Chapter 5th, based on the symbolic computing software Mathematica and the multi-vector Wan method to verify the double Hamiltonian operator, A package MvBiHamiltonian is written, which can automatically verify the antisymmetry Jacobi identity of the operator and the compatibility between the two Hamiltonian operators. This package successfully verifies all the differential operators in the form of double Hamiltonian operators summarized by Wang. Chapter 6th summarizes the main work of this paper and illustrates the future research directions.
【學(xué)位授予單位】：華東師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O175

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本文編號(hào)：1634218