本文選題：對流擴(kuò)散方程　切入點：Navier-Stokes方程　出處：《山東大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：對流擴(kuò)散方程和Navier-Stokes方程是流體力學(xué)中的兩類基本方程,它們在物理、化學(xué)和工程中有著廣泛的應(yīng)用。在簡化的情形下通過求解這兩類方程還能得到解析的結(jié)果,但當(dāng)遇到復(fù)雜問題時就很難求得解析解,這時數(shù)值求解成為一種非常有效的手段,于是構(gòu)造精確、穩(wěn)定和高效的數(shù)值方法成為研究這兩類問題的重要內(nèi)容。近來,無網(wǎng)格方法,特別是基于積分方程理論提出的精度高和計算量少的算法正引起一些學(xué)者的興趣。本文提出了一種積分方程法用于數(shù)值求解對流擴(kuò)散方程和Navier-Stokes方程,通過和其它方法的比較,該方法展現(xiàn)出了一些優(yōu)勢。在研究穩(wěn)態(tài)對流擴(kuò)散問題時,首先引入一個關(guān)于格林函數(shù)的拉普拉斯方程,將格林函數(shù)展開成級數(shù)形式并代入拉普拉斯方程,可將拉普拉斯方程變?yōu)橐淮鷶?shù)方程組,求解該方程組可得到級數(shù)形式的格林函數(shù)。利用格林函數(shù)的性質(zhì),可將對流擴(kuò)散方程轉(zhuǎn)化為積分方程。此時,再用相同的正交多項式把所要求解的未知量寫成級數(shù)形式,然后利用多項式的正交性質(zhì),可把積分方程化為一個代數(shù)方程組,求解該方程組即可得到對流擴(kuò)散方程級數(shù)形式的近似解。最后,借助Chebyshev多項式和Fourier級數(shù),應(yīng)用積分方程法求解了非齊次邊界條件的一維對流擴(kuò)散問題和齊次邊界條件的二維對流擴(kuò)散問題。在與有限體積法、有限元法和迎風(fēng)差分法的比較中積分方程法都表現(xiàn)出了很高的精度,尤其在處理對流占優(yōu)的對流擴(kuò)散問題時更是展示出了很好的穩(wěn)定性。對于非穩(wěn)態(tài)對流擴(kuò)散方程,由于與穩(wěn)態(tài)情形相比,方程中多了時間變量,因此,需要考慮時間變量的離散方式。這里選用Crank-Nicolson方法對方程的時間變量進(jìn)行離散,這種方法既保證了離散格式的簡潔,又使結(jié)果達(dá)到了較好的精度。對時間變量離散后得到的方程可以看做是穩(wěn)態(tài)形式的方程,這時構(gòu)造與此方程相關(guān)的關(guān)于格林函數(shù)的拉普拉斯方程,并利用格林函數(shù)的性質(zhì),就可以將離散后的對流擴(kuò)散方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于空間變量的積分方程。通過把格林函數(shù)和未知變量展開成級數(shù)形式,可進(jìn)一步將積分方程簡化為一個代數(shù)方程組。求解該方程組就可以得到用級數(shù)形式的有限和表示的非穩(wěn)態(tài)對流擴(kuò)散問題的近似解。在數(shù)值實驗部分,用兩個一維非穩(wěn)態(tài)對流擴(kuò)散問題和四個二維非穩(wěn)態(tài)對流擴(kuò)散問題檢驗了該方法。在一維問題中,給出的左右邊界條件一側(cè)為第一類邊界條件,另一側(cè)為第二類邊界條件。在二維問題中,給出的既有對流占優(yōu)的問題,也有非常數(shù)對流速度的問題,并將計算結(jié)果與多種方法進(jìn)行了比較。在與變分多尺度方法的比較中,兩種方法都在網(wǎng)格數(shù)較小時就達(dá)到了很高的精度,但積分方程法的精度(尤其是計算效率)要明顯好于變分多尺度方法。在與有限體積元法的比較中,當(dāng)網(wǎng)格數(shù)較少時,積分方程法的優(yōu)勢并不明顯,但隨著網(wǎng)格數(shù)的增加和時間步長的減小,積分方程法誤差減小的速度顯著快于有限體積元法。在求解流體力學(xué)中的Navier-Stokes方程時,如何處理速度-壓力的耦合是一棘手的問題。通過比較現(xiàn)有的各種處理該問題的方法,并考慮到積分方程法的特點,本文將采用投影法處理Navier-Stokes方程中的速度-壓力耦合問題。為了將投影法離散后的方程轉(zhuǎn)化為積分方程,文中根據(jù)離散方程的形式分別引入了格林函數(shù)滿足的拉普拉斯方程。然后利用格林函數(shù)的性質(zhì),將離散后的Navier-Stokes方程轉(zhuǎn)化為積分方程。由于所研究的Navier-Stokes方程中速度場滿足的是一般性的邊界條件,并且投影法中的中間變量滿足的是Neumann邊界條件,所以為了計算的方便,統(tǒng)一采用了Chebyshev多項式對格林函數(shù)和未知變量進(jìn)行展開。應(yīng)用Chebyshev多項式的性質(zhì)可以將所要求解的方程離散化為代數(shù)方程組,求解這些方程組就可以得到相應(yīng)方程的解。最后,本文給出了一個算例用于檢驗該方法。計算結(jié)果表明與分?jǐn)?shù)步法相比,積分方程法具有很好的精確性和收斂性,并且對于相同節(jié)點數(shù),所用的CPU時間要明顯少于分?jǐn)?shù)步法。文中還專門討論了周期邊界條件下的對流擴(kuò)散方程和Navier-Stokes方程。在這種邊界條件下,由于可以采用Fourier級數(shù)對格林函數(shù)和未知變量進(jìn)行展開,所以計算格式相對簡單。這里也是首先構(gòu)造格林函數(shù)的拉普拉斯方程,再利用格林函數(shù)的性質(zhì)將對流擴(kuò)散方程或者Navier-Stokes方程轉(zhuǎn)化為積分方程,并進(jìn)一步利用級數(shù)的正交性,將積分方程簡化為一個常微分方程組,最后應(yīng)用TVDRunge-Kutta方法對該方程組進(jìn)行數(shù)值求解。計算結(jié)果表明,在求解對流擴(kuò)散問題時,積分方程法的精度以及收斂性要好于局部間斷Galerkin方法。在求解具有不同Reynolds數(shù)的Navier-Stokes方程時,積分方程法和投影法相比也有很高的精度。尤其對于高Reynolds數(shù)的不可壓縮流動問題,積分方程法的優(yōu)勢更加明顯。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

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本文編號：1605940