本文選題：保結(jié)構(gòu)算法　切入點(diǎn)：非線性偏微分方程　出處：《南京大學(xué)》2017年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：近幾十年來,對微分方程保結(jié)構(gòu)算法的研究已經(jīng)獲得了巨大的發(fā)展,并且在現(xiàn)代應(yīng)用科學(xué)與工程計(jì)算領(lǐng)域中都具有非常重要的研究價(jià)值。馮康院士在上世紀(jì)八十年代首次提出哈密頓系統(tǒng)的辛算法,開啟了微分方程保結(jié)構(gòu)算法這一嶄新的領(lǐng)域。在本文中,我們主要研究非線性偏微分方程的保結(jié)構(gòu)算法。在對于偏微分方程數(shù)值方法的研究中,非線性發(fā)展型偏微分方程因其廣泛應(yīng)用而特別受到關(guān)注。其涉及領(lǐng)域包括藥理學(xué)、結(jié)構(gòu)生物學(xué)、半導(dǎo)體、超導(dǎo)體、等離子體、物理學(xué)、天體力學(xué)及材料力學(xué)等。其中,非線性波動方程是一類極其重要的發(fā)展型偏微分方程,描述了自然界中的各種波動現(xiàn)象,包括光波、水波和聲波等,并且定量地刻畫了波速與介質(zhì)屬性之間的關(guān)系,在電子、航空航天等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。因此,對于非線性偏微分方程的數(shù)值方法研究無疑具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義。眾所周知,非線性發(fā)展型偏微分方程具有很多特殊的幾何結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì),例如:能量守恒或耗散性、對稱性、振蕩性、辛性、多辛性等等。因此,為了獲得更好的計(jì)算效果,在設(shè)計(jì)數(shù)值算法時(shí),我們希望能夠盡可能多地保持連續(xù)系統(tǒng)的這些幾何結(jié)構(gòu)和物理屬性。另外,由于非線性項(xiàng)的存在,在設(shè)計(jì)具有高收斂階的、穩(wěn)定的數(shù)值格式時(shí),存在著很大的困難。所以,對于非線性發(fā)展型偏微分方程設(shè)計(jì)高階穩(wěn)定的保結(jié)構(gòu)的數(shù)值方法顯得特別具有挑戰(zhàn)性。基于非線性常微分系統(tǒng)已有的一些保結(jié)構(gòu)算法,本文將對于非線性偏微分方程繼續(xù)深入研究,并且構(gòu)造同時(shí)具備多種保結(jié)構(gòu)性質(zhì)的高階穩(wěn)定的算法。另一方面,在純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)、分子生物學(xué)、電子工程、量子力學(xué)等應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域中廣泛存在著一類非線性偏微分方程:(?)其中Ω∈eRd(d≥1)是一個(gè)有界區(qū)域,f(u)是u的一個(gè)函數(shù),u:Ω×[t0,T]→ R表示t時(shí)刻在位置x處的波位移。我們假設(shè)非線性偏微分方程(1)滿足給定的邊界條件,例如:周期邊界條件,Dirichlet邊界條件或者Neumann邊界條件。線性項(xiàng)Δu使得該系統(tǒng)具有許多顯著的特性。而傳統(tǒng)的數(shù)值方法,如標(biāo)準(zhǔn)的有限差分方法、有限元方法以及線方法,具有有限的精度或者并不能夠充分考慮到線性項(xiàng)Δu的離散所帶來的特殊結(jié)構(gòu),計(jì)算效果往往并不顯著。因此,近年來越來越多的學(xué)者致力于設(shè)計(jì)和分析有效的求解非線性偏微分系統(tǒng)(1)的保結(jié)構(gòu)算法的研究。基于以上陳述,本論文研究求解非線性偏微分方程的有效的、具有高精度的、穩(wěn)定的保結(jié)構(gòu)算法,內(nèi)容安排如下:第1章簡要介紹了非線性偏微分方程的相關(guān)內(nèi)容以及系統(tǒng)的基本性質(zhì)、保能量算法以及對稱方法。第2章對于一維具有Neumann邊界條件的非線性哈密爾頓波方程構(gòu)造了一些保能量方法。通過空間有限差分半離散化得到一類守恒的常微分哈密爾頓系統(tǒng):其哈密爾頓函數(shù)為:事實(shí)上,該哈密爾頓可以看做是原連續(xù)系統(tǒng)的一個(gè)近似能量(離散能量)。對于哈密爾頓系統(tǒng)(2)提出了對稱的平均向量場方法和改進(jìn)的平均向量場方法。從而得到了一系列具有高精度的保能量的數(shù)值格式。第3章研究了二維的具有Neumann邊界條件的非線性哈密爾頓波方程。通過運(yùn)用一個(gè)四階有限差分算子離散空間導(dǎo)數(shù)后,分析了半離散系統(tǒng)的能量守恒性、穩(wěn)定性和收斂性。注意到,這里的空間離散化方法使得在邊界點(diǎn)和內(nèi)部點(diǎn)上都具有四階精度。由于這類方程是能量守恒的,故運(yùn)用平均向量場方法到導(dǎo)出的常微分系統(tǒng),從而構(gòu)造了保能量的全離散格式。對于一般的具有不同邊界條件的高維非線性波方程,第4章中提出了算子型常數(shù)變易公式。基于算子譜理論,分析了依賴于拉普拉斯Δ的算子函數(shù)的有界性和一些有用的性質(zhì),并且對于高維的具有不同邊界條件的哈密爾頓波方程提出了一個(gè)精確的保能量公式。基于算子型常數(shù)變易公式,第5章中利用Brikhoff-Hermite求積公式,構(gòu)造了一類對稱的任意高階的時(shí)間積分方法,并且分析了全離散格式的線性穩(wěn)定性、非線性穩(wěn)定性和收斂性。第6章中,首先對一維的周期邊界問題構(gòu)造了任意高階的Lagrange組合型時(shí)間積分方法。適當(dāng)?shù)目臻g離散化以后,分析了全離散格式的非線性穩(wěn)定性和收斂性;然后分析了所構(gòu)造的時(shí)間積分方法結(jié)合離散的快速Sine/Cosine變換可以很好地用來模擬二維的具有Dirichlet/Neumann邊界的非線性波方程。論文的創(chuàng)新點(diǎn)主要有以下幾個(gè)方面:·結(jié)合高階有限差分方法和平均向量場方法,對于具有Neumann邊界條件的一維、二維的非線性哈密爾頓波方程,構(gòu)造了一些高精度的保能量方法�？臻g有限差分離散可以使得在內(nèi)部點(diǎn)和邊界點(diǎn)上都能達(dá)到相同的精度�！τ诟呔S的非線性波方程,提出了算子型常數(shù)變易公式;通過算子譜理論,分析了算子函數(shù)的有界性和其它的一些有用的性質(zhì)�！τ诟呔S的具有不同邊界條件的非線性哈密爾頓波方程,建立了一個(gè)精確的保能量格式�！み\(yùn)用Brikhoff-Hermite求積公式到算子型常數(shù)變易公式,構(gòu)造了一類對稱的、具有任意高階的時(shí)間積分方法。相較于傳統(tǒng)的PDE數(shù)值求解方法,新方法降低了問題本身對時(shí)間方向的光滑性要求�！た臻g離散化以后,我們分析了 Brikhoff-Hermite時(shí)間積分方法的線性及非線性穩(wěn)定性以及收斂性。另外,我們還分析了新方法的長時(shí)間行為,包括對稱性和長時(shí)間能量保持性。·構(gòu)造了任意高階的Lagrange組合型時(shí)間積分方法,并且分析了方法的非線性穩(wěn)定性和收斂性。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：南京大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O175.29
，

本文編號：1605410