本文關(guān)鍵詞： 三維外問題 Helmholtz方程 區(qū)域分解算法 橢圓人工邊界 橢球人工邊界 自然邊界歸化　出處：《南京師范大學(xué)》2015年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：由馮康先生首創(chuàng)的自然邊界歸化在各種邊界歸化中別具一格,它與有限元和辛幾何算法一并構(gòu)成了馮先生的三大學(xué)術(shù)貢獻(xiàn).后經(jīng)余德浩等人的發(fā)展,除了直接將自然邊界元方法用于求解某些特殊有界區(qū)域上的邊值問題以外,基于自然邊界歸化的區(qū)域分解算法還是處理一般的無界區(qū)域及凹角斷裂區(qū)域問題的有效手段之一.前人的研究工作在二維及三維領(lǐng)域里取得了許多重要的研究成果,人們往往以圓或球面作為人工邊界,但對(duì)于某些特殊形狀的內(nèi)部區(qū)域,例如橢圓或長(zhǎng)橢球區(qū)域,用橢圓或橢球面作人工邊界,則可以大大減少計(jì)算區(qū)域,進(jìn)而可以減少計(jì)算量和存儲(chǔ)量.本文主要研究Helmholtz方程外問題的區(qū)域分解算法和橢圓外區(qū)域上依賴時(shí)間問題的Dirichlet-Neumann交替算法(D-N交替算法).第一章先介紹一些坐標(biāo)變換、特殊函數(shù)和必需的Sobolev空間,這些內(nèi)容都是后面各章節(jié)必要的理論工具.第二章研究三維Helmholtz方程外問題基于自然邊界歸化的D-N交替算法.首先給出D-N交替算法及其等價(jià)的預(yù)處理Richardson迭代算法,然后分析該算法的收斂性,給出等價(jià)的變分形式及其離散形式,并對(duì)其離散形式進(jìn)行收斂性分析,最后給出數(shù)值例子以示該方法的可行性和有效性.第三章研究三維Helmholtz方程外問題基于自然邊界歸化的Schwarz交替算法.首先給出問題等價(jià)的變分形式,其次給出Schwarz交替算法并分析該算法的收斂性、收斂速度.最后給出數(shù)值例子驗(yàn)證算法的可行性和有效性.第四章研究長(zhǎng)橢球外區(qū)域上三維Helmholtz方程基于自然邊界歸化的D-N交替算法.首先給出所研究的問題的D-N交替算法,然后分析了該算法的收斂性.第五章研究橢圓外區(qū)域上依賴于時(shí)間問題的D-N交替算法.首先對(duì)所研究的問題進(jìn)行變量替換,得到相應(yīng)的Helmhotz外問題,并得到橢圓外區(qū)域上問題的Poisson積分公式和自然積分方程,其次對(duì)時(shí)間離散化并用所得的自然邊界歸化的結(jié)果給出D-N交替算法,然后對(duì)算法的收斂性進(jìn)行分析,最后給出數(shù)值算例說明該方法的可行性與有效性.
[Abstract]:Naturalization of natural boundary, initiated by Mr. Feng Kang, is unique among all kinds of boundary naturalization. It, together with finite element method and symplectic geometry algorithm, constitutes Mr. Feng's three major academic contributions. Later, through the development of Yu Dehao and others, In addition to using the natural boundary element method directly to solve boundary value problems in some special bounded regions, The domain decomposition algorithm based on natural boundary domestication is also one of the effective methods to deal with the general problem of unbounded region and concave fault region. Many important research results have been obtained in the field of 2D and 3D. A circle or sphere is often used as an artificial boundary, but for an inner region of a special shape, such as an ellipse or a long ellipsoid, the artificial boundary of an ellipse or an ellipsoid can greatly reduce the computational area. In this paper, we mainly study the domain decomposition algorithm for the Helmholtz equation and the Dirichlet-Neumann alternating algorithm for time-dependent problem in the outer elliptic region. In the first chapter, some coordinate transformations are introduced. Special functions and required Sobolev spaces, In the second chapter, the D-N alternating algorithm based on natural boundary normalization is studied. First, the D-N alternating algorithm and its equivalent preprocessing Richardson iterative algorithm are given. Then the convergence of the algorithm is analyzed, the equivalent variational form and its discrete form are given, and the convergence of the discrete form is analyzed. Finally, a numerical example is given to show the feasibility and effectiveness of the method. In chapter 3, the Schwarz alternating algorithm based on naturalization of natural boundary for three-dimensional Helmholtz equation is studied. At first, the equivalent variational form of the problem is given. Secondly, the Schwarz alternating algorithm is given and the convergence of the algorithm is analyzed. Finally, a numerical example is given to verify the feasibility and validity of the algorithm. In Chapter 4th, the D-N alternating algorithm for 3D Helmholtz equations based on natural boundary normalization is studied in the long ellipsoid region. First, the D-N alternating algorithm for the studied problem is given. Then the convergence of the algorithm is analyzed. Chapter 5th studies D-N alternating algorithm for time-dependent problems in the outer elliptic domain. The Poisson integral formula and the natural integral equation of the problem in the outer elliptic domain are obtained. Secondly, the D-N alternating algorithm is given for the discretization of time and the result of natural boundary normalization, and then the convergence of the algorithm is analyzed. Finally, a numerical example is given to illustrate the feasibility and effectiveness of the method.
【學(xué)位授予單位】：南京師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175

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本文編號(hào)：1527860