本文關(guān)鍵詞： Liouville可積性 哈密頓系統(tǒng) 齊次多項(xiàng)式勢(shì)能 哈密頓函數(shù) 首次積分　出處：《上海交通大學(xué)》2015年碩士論文　論文類(lèi)型：學(xué)位論文

【摘要】：本文主要研究具有齊次勢(shì)能的三個(gè)自由度的哈密頓系統(tǒng)的多項(xiàng)式可積性。具有齊次勢(shì)能的m自由度的哈密頓系統(tǒng)是由哈密頓函數(shù)確定的,其中勢(shì)能函數(shù)V(q1,…,qm)是k次齊次多項(xiàng)式或一個(gè)k次齊次多項(xiàng)式的逆。因?yàn)楣茴D函數(shù)本身就是哈密頓系統(tǒng)的一個(gè)首次積分,在m個(gè)自由度情形下,根據(jù)劉維爾完全可積定理可知,若存在另外(m-1)個(gè)與哈密頓函數(shù)H相互獨(dú)立的且對(duì)合的首次積分,那么哈密頓方程是完全可積的。原方程可以通過(guò)這m個(gè)首次積分求解。在過(guò)去研究中,對(duì)于兩個(gè)自由度下的齊次多項(xiàng)式勢(shì)能V(q1,q2),在勢(shì)能次數(shù)k=-3,-2,-1,0,1,2,3,4的情形,關(guān)于求解另一個(gè)獨(dú)立的多項(xiàng)式首次積分Ⅰ的研究都有了十分完整的結(jié)果,甚至針對(duì)更高次數(shù)的情形也有過(guò)一些特例的討論,但是對(duì)于高維自由度的討論還很少。兩個(gè)自由度的哈密頓系統(tǒng),勢(shì)能次數(shù)k=-1,0,1時(shí),哈密頓系統(tǒng)完全可積的結(jié)論可以比較直接的得到。當(dāng)勢(shì)能次數(shù)2≤k≤5時(shí),Hietarinta [Phys. Lett.A 96(1983),273-278]最初有過(guò)較為完整的討論,并證明了勢(shì)能次數(shù)k=2時(shí),哈密頓系統(tǒng)完全可積的結(jié)論。隨后由Maciejewski及Przybylska [Phys. Lett. A,327(5-6)(2004),461-473]給出了所有次數(shù)k=3時(shí)的勢(shì)能形式滿足哈密頓系統(tǒng)完全可積。之后再次由Maciejewski及Przybylska [J. Math. Phys.46 (6) (2005)062901]給出了除了這一類(lèi),所有次數(shù)k=4時(shí)的勢(shì)能形式滿足哈密頓系統(tǒng)完全可積,并且由Llibre, Mahdi和Valls [J. Math. Phys52(2011),012702,9 pp]補(bǔ)充證明了次數(shù)k=4時(shí)未解決的這類(lèi)勢(shì)能形式中,只有個(gè)別形式的勢(shì)能滿足哈密頓系統(tǒng)完全可積。勢(shì)能次數(shù)k=-2時(shí),在十分強(qiáng)的限制條件下,哈密頓系統(tǒng)才完全可積的結(jié)論由Llibre, Mahdi和Valls [J. Math. Phys. Lett. A 375 (2011),18451849]得到。同樣由Llibre, Mahdi和Valls [Phys. D240(2011)1928--1935]解決了勢(shì)能次數(shù)k=-3時(shí),哈密頓系統(tǒng)僅在幾種特殊的是勢(shì)能形式下完全可積。本文中我們主要研究在三個(gè)自由度下具有齊次勢(shì)能的哈密頓系統(tǒng)的多項(xiàng)式可積性,由于問(wèn)題復(fù)雜性所限,這里著重研究了k=-2,-1,0,1,2的情形,并完全解決了這幾個(gè)次數(shù)勢(shì)能情形下的多項(xiàng)式可積性。對(duì)于次數(shù)k=-1,0,1,2的勢(shì)能情形下,我們證明了哈密頓系統(tǒng)均完全可積,并可以找到除哈密頓函數(shù)以外的兩個(gè)函數(shù)獨(dú)立的多項(xiàng)式首次積分。在k=-2的勢(shì)能情形下,我們給出了相應(yīng)的哈密頓系統(tǒng)可積的充要條件,并給出了另兩個(gè)函數(shù)獨(dú)立的多項(xiàng)式首次積分的具體的表不。
[Abstract]:In this paper, the polynomial integrability of three degrees of freedom Hamiltonian systems with homogeneous potential energy is studied. The Hamiltonian system with m degree of freedom with homogeneous potential energy is determined by the Hamiltonian function. Where the potential energy function VQ 1, 鈥，

本文編號(hào)：1524479