本文關(guān)鍵詞： 捕食者-食餌模型 Hopf分支 時(shí)滯 擴(kuò)散 強(qiáng)Allee效應(yīng)　出處：《哈爾濱工業(yè)大學(xué)》2015年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：微分方程在力學(xué)、物理學(xué)、管理科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和生物學(xué)等許多實(shí)際問題中均具有廣泛應(yīng)用,本文主要研究微分方程在種群?jiǎn)栴}中的應(yīng)用。如果種群的生命較長(zhǎng),各個(gè)世代彼此重疊,如人和很多脊椎動(dòng)物、多年生植物等,可以近似地認(rèn)為其種群增長(zhǎng)是連續(xù)的,可用微分方程來(lái)描述該種群的發(fā)展變化規(guī)律。首先,生物經(jīng)常從一地區(qū)轉(zhuǎn)移到另一地區(qū),這種地區(qū)之間的物種擴(kuò)散,有利于各地生物群落的演替,豐富了每個(gè)地區(qū)物種的多樣性。其次,物種之間相互作用也會(huì)影響物種的數(shù)量,其中捕食者-食餌是常見的相互作用。再次,任何物種都有成熟期,因此時(shí)滯對(duì)種群變化也起到重要的影響。上述現(xiàn)象可用偏微分方程或泛函微分方程進(jìn)行刻畫,因此,偏(泛函)微分方程的動(dòng)力學(xué)行為的研究是一個(gè)極其重要的研究課題。在研究微分方程的解的定性理論中,分支問題是一個(gè)重要的方向,分支問題就是研究當(dāng)參數(shù)(如種群的成熟期、環(huán)境容量或者捕食率等)變化經(jīng)過(guò)某些臨界值時(shí),微分方程的解的定性結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化。本文主要通過(guò)使用微分方程中心流形理論、規(guī)范型方法、Hopf分支和穩(wěn)態(tài)分支定理、特征值分析、上下解方法,以及極值原理、比較原理等,對(duì)幾類連續(xù)種群的偏(泛函)微分方程模型進(jìn)行了深入的研究。其主要的工作歸納如下:(1)對(duì)一類具有Ivlev型功能反應(yīng)函數(shù)和Neumann邊值的捕食者-食餌模型,通過(guò)分析特征值的分布證明了平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和空間齊次周期解以及空間非齊次周期解的存在性,以及穩(wěn)態(tài)分支的存在性。通過(guò)偏微分方程中心流形理論以及規(guī)范型方法分析了Hopf分支方向以及所分支出的周期解的穩(wěn)定性。(2)對(duì)一類具有Ivlev型功能反應(yīng)函數(shù)和Neumann邊值的捕食者-食餌模型,研究了時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的影響。通過(guò)對(duì)特征方程的分析,討論了非負(fù)平衡解的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性。并且應(yīng)用規(guī)范型方法以及中心流形理論,討論了Hopf分支周期解的穩(wěn)定性和分支周期解的分支方向。當(dāng)時(shí)滯較小時(shí),系統(tǒng)的共存態(tài)是穩(wěn)定的,而當(dāng)時(shí)滯經(jīng)過(guò)一個(gè)臨界值時(shí),共存態(tài)失去其穩(wěn)定性,進(jìn)而當(dāng)時(shí)滯經(jīng)過(guò)一列臨界值時(shí),空間齊次和非齊次周期解從臨界值處分支出來(lái)。(3)對(duì)一類具有強(qiáng)Allee效應(yīng)和Neumann邊值的捕食者-食餌系統(tǒng),首先,我們通過(guò)構(gòu)造上、下解方法和極限系統(tǒng)理論得到了具有強(qiáng)Allee效應(yīng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程整體解的存在性、唯一性,以及解的漸近行為,給出解的一個(gè)先驗(yàn)估計(jì);并且證明了,當(dāng)捕食者的初始值較大時(shí),系統(tǒng)的解會(huì)趨于平衡點(diǎn)(0,0),即捕食者開始時(shí)數(shù)量太多,隨著時(shí)間的推移,捕食者和食餌都會(huì)消亡。其次,文章通過(guò)特征值分析,討論了每個(gè)平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性。最后通過(guò)討論特征方程的根的分布,研究了系統(tǒng)的Hopf分支問題和穩(wěn)態(tài)分支問題。結(jié)論顯示,強(qiáng)Allee效應(yīng)豐富了系統(tǒng)的時(shí)空動(dòng)力學(xué)行為,使模型對(duì)種群?jiǎn)栴}的刻畫更加準(zhǔn)確,結(jié)論更加符合實(shí)際。
[Abstract]:In this paper , we mainly study the application of differential equations in the problems of mechanics , physics , management science , economics and biology . In this paper , we mainly study the application of differential equations in population problems . In this paper , the existence , uniqueness and asymptotic behavior of Hopf bifurcation in a class of predator - prey systems with strong Allee effect and Neumann boundary value are studied .

【學(xué)位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175

【共引文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：1477142