本文關(guān)鍵詞：關(guān)于廣義維諾格拉多夫二次型在圓球內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)問題　出處：《山東大學(xué)》2016年碩士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：維諾格拉多夫二次型定義為如下的一組方程更一般的情形為如下的方程組其中(0.1)為(0.2)當(dāng)k=2時(shí)的特殊情形,(0.1)作為最初的形式引入被許多的研究者深入的研究過,也有這方面工作的推廣,得到許多有價(jià)值的結(jié)果(見文[1],[2],[3]).許多的作者考慮了這一問題的不同的變換形式和相關(guān)的問題.最古典的問題如考慮如下的方程：其中k≥2且k為一自然數(shù),求(x1,x2,x3,x4)在滿足|xi|≤N(i=1,2,3,4)整數(shù)解的個(gè)數(shù).當(dāng)k取不同的值時(shí),方程(0.3)整數(shù)解的分布情況會(huì)有截然相反的變化。當(dāng)k≥3時(shí),Hooley(見文[4],[5],[6])證明了大概有4N2的整數(shù)解在對(duì)角線上,即滿足x1=x3,x2=x4或者x1=x4,x2=x3的整數(shù)解的個(gè)數(shù),而不在對(duì)角線上整數(shù)解的個(gè)數(shù)的階要低一些.而當(dāng)k=2情形下,方程(0.3)在矩形中大概有N2logN整數(shù)解,而此時(shí)方程在對(duì)角線上解的個(gè)數(shù)為N2,這表明在這種情況下對(duì)角線上整數(shù)解的個(gè)數(shù)不占主導(dǎo)地位.類似的,我們考慮(0.2)在滿足|xl,i|≤N時(shí)整數(shù)解的個(gè)數(shù).令VK(N)表示為滿足這個(gè)條件的整數(shù)解的個(gè)數(shù).那么,根據(jù)(0.4),可以得到那么根據(jù)定理(1.1)我們有如下的估計(jì)運(yùn)用初等的方法我們?cè)谙敕ㄉ弦材艿玫酵?N)的漸進(jìn)公式,但可能得到的結(jié)果跟分析上的方法相比較要弱一些.實(shí)際上,當(dāng)k=2時(shí),我們運(yùn)用Dirichlet的雙曲方法我們能得到如下的結(jié)果：其中c為一常數(shù).將以上的結(jié)果與(0.6)相比較,可以驗(yàn)證剛才的結(jié)論.本文中我們考慮方程組(0.2)在滿足一定條件下整數(shù)解的個(gè)數(shù)的分布情況.記VK(N)為滿足在一個(gè)圓球內(nèi)的整數(shù)解的個(gè)數(shù)我們主要通過對(duì)Riemann-zeta函數(shù)在水平線上1/2≥σ≥1更精確的估計(jì)以及利用Riemann-zeta函數(shù)的均值估計(jì)改進(jìn)了Valentin Blomer和JorgBrudern最新的研究結(jié)果(參見[7]),并假定若滿足Lindelof猜想我們能得到更好的結(jié)果.文章分為四個(gè)部分.第一部分系統(tǒng)的介紹了本課題的研究背景,給出了本文的主要結(jié)果：定理1.1令k≥2是一個(gè)任意固定的自然數(shù).當(dāng)k=2,3時(shí),對(duì)任意δ滿足實(shí)數(shù),我們有Vk(N)=N3Pk(logN)+O(N3-δ)(0.5)其中Pk是次數(shù)為2(k-1)-1多項(xiàng)式.定理1.2令k≥2是一個(gè)任意固定的自然數(shù).當(dāng)k≥4時(shí),對(duì)任意δ滿足實(shí)數(shù),我們有Vk(N)=N3Pk(logN)+O(N3-δ)(0.6)其中Pk是次數(shù)為2(k-1)-1多項(xiàng)式.特別地,當(dāng)k=2時(shí),我們有P2(x)=48(x+c),其中其中x表示模3的非主特征,我們還得到如下更好的結(jié)果：V2(N)=N3P2(logN)+O(N2logN). (0.7)定理1.3令k≥3是一固定的任意自然數(shù).如果假定Lindel6f猜想對(duì)于ζ(s)和L(s,x)是正確的,那么,對(duì)于任意滿足0δ1實(shí)數(shù),我們有如下的公式：Vkl(N)=N3Pk(logN)+O(N3-δ).第二部分介紹了需要證明定理的所需的預(yù)備知識(shí),主要介紹Riemann-Zeta函數(shù)的高次均值估計(jì),運(yùn)用截?cái)嗟腗ellin積分變換,然后運(yùn)用柯西留數(shù)定理進(jìn)行積分估計(jì).根據(jù)k不同的取值范圍,分別通過Riemann-zeta函數(shù)在水平線上的估計(jì)或者運(yùn)用ζ(σ+it)均值估計(jì)得到積分的估計(jì),選取恰當(dāng)?shù)膮?shù),進(jìn)而得到更好的結(jié)果.第三部分根據(jù)Valentin Blomer和Jorg Brudern的想法(見文[7]),我們把計(jì)算滿足方程組(0.2)的圓內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)與二元二次型聯(lián)系起來,通過一些簡(jiǎn)單的代數(shù)數(shù)論方面的知識(shí),將主要定理轉(zhuǎn)化為引理的表達(dá)形式.第四部分是定理的證明.主要是根據(jù)約化后的形式的定理,主要運(yùn)用了J.Bourgain在ζ(1+it)最新的估計(jì),Phragmen-Lindelof凸性原理以及ζ(σ+it)的均值估計(jì),從而得到本文的主要定理.
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O156

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本文編號(hào)：1323248