本文關鍵詞：關于廣義維諾格拉多夫二次型在圓球內(nèi)整點個數(shù)問題　出處：《山東大學》2016年碩士論文　論文類型：學位論文

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【摘要】：維諾格拉多夫二次型定義為如下的一組方程更一般的情形為如下的方程組其中(0.1)為(0.2)當k=2時的特殊情形,(0.1)作為最初的形式引入被許多的研究者深入的研究過,也有這方面工作的推廣,得到許多有價值的結(jié)果(見文[1],[2],[3]).許多的作者考慮了這一問題的不同的變換形式和相關的問題.最古典的問題如考慮如下的方程：其中k≥2且k為一自然數(shù),求(x1,x2,x3,x4)在滿足|xi|≤N(i=1,2,3,4)整數(shù)解的個數(shù).當k取不同的值時,方程(0.3)整數(shù)解的分布情況會有截然相反的變化。當k≥3時,Hooley(見文[4],[5],[6])證明了大概有4N2的整數(shù)解在對角線上,即滿足x1=x3,x2=x4或者x1=x4,x2=x3的整數(shù)解的個數(shù),而不在對角線上整數(shù)解的個數(shù)的階要低一些.而當k=2情形下,方程(0.3)在矩形中大概有N2logN整數(shù)解,而此時方程在對角線上解的個數(shù)為N2,這表明在這種情況下對角線上整數(shù)解的個數(shù)不占主導地位.類似的,我們考慮(0.2)在滿足|xl,i|≤N時整數(shù)解的個數(shù).令VK(N)表示為滿足這個條件的整數(shù)解的個數(shù).那么,根據(jù)(0.4),可以得到那么根據(jù)定理(1.1)我們有如下的估計運用初等的方法我們在想法上也能得到玩(N)的漸進公式,但可能得到的結(jié)果跟分析上的方法相比較要弱一些.實際上,當k=2時,我們運用Dirichlet的雙曲方法我們能得到如下的結(jié)果：其中c為一常數(shù).將以上的結(jié)果與(0.6)相比較,可以驗證剛才的結(jié)論.本文中我們考慮方程組(0.2)在滿足一定條件下整數(shù)解的個數(shù)的分布情況.記VK(N)為滿足在一個圓球內(nèi)的整數(shù)解的個數(shù)我們主要通過對Riemann-zeta函數(shù)在水平線上1/2≥σ≥1更精確的估計以及利用Riemann-zeta函數(shù)的均值估計改進了Valentin Blomer和JorgBrudern最新的研究結(jié)果(參見[7]),并假定若滿足Lindelof猜想我們能得到更好的結(jié)果.文章分為四個部分.第一部分系統(tǒng)的介紹了本課題的研究背景,給出了本文的主要結(jié)果：定理1.1令k≥2是一個任意固定的自然數(shù).當k=2,3時,對任意δ滿足實數(shù),我們有Vk(N)=N3Pk(logN)+O(N3-δ)(0.5)其中Pk是次數(shù)為2(k-1)-1多項式.定理1.2令k≥2是一個任意固定的自然數(shù).當k≥4時,對任意δ滿足實數(shù),我們有Vk(N)=N3Pk(logN)+O(N3-δ)(0.6)其中Pk是次數(shù)為2(k-1)-1多項式.特別地,當k=2時,我們有P2(x)=48(x+c),其中其中x表示模3的非主特征,我們還得到如下更好的結(jié)果：V2(N)=N3P2(logN)+O(N2logN). (0.7)定理1.3令k≥3是一固定的任意自然數(shù).如果假定Lindel6f猜想對于ζ(s)和L(s,x)是正確的,那么,對于任意滿足0δ1實數(shù),我們有如下的公式：Vkl(N)=N3Pk(logN)+O(N3-δ).第二部分介紹了需要證明定理的所需的預備知識,主要介紹Riemann-Zeta函數(shù)的高次均值估計,運用截斷的Mellin積分變換,然后運用柯西留數(shù)定理進行積分估計.根據(jù)k不同的取值范圍,分別通過Riemann-zeta函數(shù)在水平線上的估計或者運用ζ(σ+it)均值估計得到積分的估計,選取恰當?shù)膮?shù),進而得到更好的結(jié)果.第三部分根據(jù)Valentin Blomer和Jorg Brudern的想法(見文[7]),我們把計算滿足方程組(0.2)的圓內(nèi)整點個數(shù)與二元二次型聯(lián)系起來,通過一些簡單的代數(shù)數(shù)論方面的知識,將主要定理轉(zhuǎn)化為引理的表達形式.第四部分是定理的證明.主要是根據(jù)約化后的形式的定理,主要運用了J.Bourgain在ζ(1+it)最新的估計,Phragmen-Lindelof凸性原理以及ζ(σ+it)的均值估計,從而得到本文的主要定理.
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O156

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本文編號：1323248