不適定問題是相對于數(shù)學物理方程（正問題）提出的,根據(jù)實際物理問題建立適當?shù)臄?shù)學模型而產(chǎn)生的一個熱門研究領(lǐng)域。不適定問題在物性探測、氣象預報和圖像恢復等領(lǐng)域都有廣泛的應用。基于現(xiàn)有的相關(guān)研究成果,本文研究求解離散不適定問題的Krylov迭代正則化算法。論文主要包括以下內(nèi)容:首先,基于正交投影算子,將原問題的廣義形式轉(zhuǎn)化為標準形式,再結(jié)合Fractional Tikhonov方法提出投影Fractional Tikhonov正則化算法。其次,基于矩陣擾動和特征向量收縮的相關(guān)理論,提出一種正交投影算子的選取方法。最后,對于大規(guī)模離散問題,將原問題投影到Krylov子空間后運用投影Fractional Tikhonov正則化算法,提出Arnoldi-投影Fractional Tikhonov正則化算法,進一步提出限制值域的Arnoldi-投影Fractional Tikhonov正則化算法。論文針對上述新算法做了數(shù)值試驗,并和已有的相關(guān)算法進行了對比。數(shù)值試驗表明本文提出的算法是可行且有效的。 

【文章來源】：南京航空航天大學江蘇省 211工程院校

【文章頁數(shù)】：50 頁

【學位級別】：碩士

【部分圖文】：

通過不同正則化方法恢復的Lena圖像

(e)2L L恢復后的圖像(f) L D恢復后的圖像圖 4.1 通過不同正則化矩陣恢復的 Lena 圖像從上面四個恢復的圖像可以看出，圖(c)是最模糊的，圖(d)和圖(e)清晰度相近，(f)的圖像清晰，且和原始圖像最為接近，這說明基于特征向量收縮的正交投影算子作為正則化矩陣是效的，且在一定程度上具有優(yōu)勢。

(c) v 1/100時shaw恢復結(jié)果 (d) v 1/1000時shaw恢復結(jié)果圖 5.1 不同水平的 , shaw 恢復結(jié)果從圖中可以看出，APFT 方法得到的近似解可以很好地逼近精確解，說明 APFT 正則化方法是有效的。例 5.2 考慮第一類 Fredholm 積分方程 , baK s t f t dt g s , c s d 的離散化。求解線性方程組 Ax b，其中系數(shù)矩陣 A 取 baart、shaw、phillips 、foxgood 和 gravity等 6 類矩陣，階數(shù)為 1000 階，正交投影算子(3.7)通過本章第一節(jié)給出的1P P生成，k 為投影空間維數(shù)，參數(shù) 0.1，取不同的右端擾動項 e /b，比較 Arnoldi Tikhonov (AT) 方法、Arnoldi-投影 Tikhonov(AFT) 方法和 Arnoldi-投影 Fractional Tikhonov(APFT)方法的計算解與真實解相對誤差范數(shù)結(jié)果如下表所示：表 5.1 N=1000， =1e 2時，解的相對誤差表表 5.2 N=1000， =1 e 1時，解的相對誤差表表 5.1 N=1000， =1 e 2時，解的相對誤差表Problem k AT k AFT k APFTBarrt 10 4.27e-1 10 3.69e-1 3 2.93e-1


本文編號：3070171