Chern-Simons形式最初是由陳省身和J.H.Simons在[1]文中提出,對于規(guī)范理論的發(fā)展起到重要作用.在數(shù)學中,Chern-Simons形式也就是Chern-Simons第二特征類.Descent方程在特征類理論的學習中占有非常重要的地位,并在理論物理領域有著深刻的應用,比如Chern-Simons場論和反常理論.Chern-Simons 第二特征類與Chern-Simons特征多項式有著密切的關系.在部分文獻中③ Chern-Simons特征多項式也叫做不變多項式.P = tr(F∧F)為第二陳類,這里F是曲率2-形式,P為不變多項式,那么由第二陳類出發(fā)的descent方程可以寫作△Q2(k-1)(A0,…,Ak;(?)△k)=dQ2(k)(A0,…,Ak;△k),k=1,2[2],這里A是聯(lián)絡1-形式,△上邊緣算子,d是通常意義下的外微分算子.也就是說,kc維Chern-Simons上鏈的上邊界恰好等于kc + 1維Chern-Simons上鏈的外微分,它們在有關反常的一系列問題上有著重要的應用.由于原始定義的限制,當kk = 2時取到方程的最低次解.所以,這里方程的階數(shù)最低只能取到2次,其中微分形式的解也只有4次,3次和2次,并沒有1次和0次解.在A.Alekseev,F.Naef,X.M.Xu和C.C.Zhu的文章[3]中,作者利用Lie理論中的Kashiwara-Vergene第一方程的解及其伴隨子(associators)與descent方程的解之間的關系,給出了由第二陳類出發(fā)的descent方程之前所沒有的的1次解和0次解,將方程的解完備化.這一過程只將由第二陳類出發(fā)的descent方程進行了擴張,并給出了方程的解,但對更高的維數(shù)的descent方程并沒有進行討論.P ∧ =t(F ∧ F)是第三陳類,第三陳類的出發(fā)的descent方程為△Q3(k-1)(A0,…,Ak;(?)△k)=dQ3(k)(A0,…,Ak;△k),k= 1,2,3[2],由此可知,在原有定義下從第三陳類出發(fā)的descent方程的項最低只能降到3次,并沒有2次、1次和0次項的表達式.本文的主要工作是從另一種途徑入手,從P=tr(F∧F∧F),即對從第三陳類的出發(fā)的descent方程進行降次擴張,得到不同于[3]的ω1和ω0的解,并給出方程全部解的表達式.主要方法是借助Kashiwara-Vergene理論,在自由李代數(shù)Lien上定義其代數(shù)包絡Assn,并在自由李代數(shù)包絡的基礎上定義一個新的復形空間Ωx1,…,xn],給出定義在這個復形空間上的微分算子d和上邊緣算子δ.在此基礎上,將descent方程中的各解項定義在這個新的復形空間上給出descent方程的新的表達式,完成由第三陳類出發(fā)的descent方程的降次擴張,并給出其各階解的具體表達式,特別是另一種1次項ω1和0次項ω0不同于[3]的構造.可以驗證的是,這種構造ω0和ω1的方法適用于各階descent方程.
【學位單位】：河南大學
【學位級別】：碩士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：O411
【文章目錄】：
摘要
ABSTRACT
第一章 引言
    1.1 研究背景
    1.2 本文的主要工作
    1.3 論文結構
第二章 Chern-Simons特征類和descent方程
    2.1 不變多項式及Chern-Simons特征類
    2.2 任意維數(shù)的descent方程
    2.3 規(guī)范變換后的descent方程
0和ω₁'>第三章 由Kashiwara-Vergene理論構造ω₀和ω1

    3.1 Kashiwara-Vergene理論
        3.1.1 基于自由李代數(shù)構造復形空間
        3.1.2 切導子空間
        3.1.3 單形映射和上積映射
0和ω₁的構造'>    3.2 ω₀和ω₁的構造
    3.3 規(guī)范變換后第三陳類的descent方程的全部解
    3.4 高維數(shù)descent方程的降次擴張及求解
第四章 總結與展望
參考文獻
致謝

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本文編號：2871784

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