【摘要】：近幾十年來(lái),分?jǐn)?shù)階微積分理論逐漸引起研究人員的重視并得到迅速發(fā)展,相對(duì)于傳統(tǒng)整數(shù)階微積分理論,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)理論框架下的數(shù)學(xué)模型更適用于模擬力學(xué)和工程建模中的復(fù)雜現(xiàn)象,能夠?qū)?fù)雜環(huán)境中所涉及的記憶和遺傳性(Heredity)、非局部性(Non-locality)、自相似性(Self-similarity)、路徑依賴(lài)性(Long-range-dependence)等性質(zhì)提供更為深刻全面的闡述,且模型更為簡(jiǎn)單明了。由于分?jǐn)?shù)階算子本身特有的復(fù)雜性和非局部性使得模型不能輕易的獲得其解析解,通常情況下需要借助于數(shù)值方法來(lái)求解。本文主要針對(duì)工程中重要的位勢(shì)問(wèn)題和一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題,提煉其整數(shù)階本構(gòu)模型,并重點(diǎn)構(gòu)建分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解。所構(gòu)建的模型和算法不僅適用于廣義的分?jǐn)?shù)階,更適用于文中給定的整數(shù)階模型。文中給出的所有測(cè)試算例均是針對(duì)實(shí)際問(wèn)題抽象出一般性的數(shù)學(xué)模型,進(jìn)而利用給定的數(shù)值方法進(jìn)行求解。全文的核心要點(diǎn)主要分為以下幾部分:(1)本文旨在討論兩類(lèi)二維位勢(shì)問(wèn)題的數(shù)值解,即泊松(Poisson)方程和拉普拉斯(Laplace)方程,且滿(mǎn)足狄利克雷(Dirichlet)和諾伊曼(Neumann)邊界條件。文中首先引入塊脈沖函數(shù)(Block-Pulse functions)的定義,并由此定義構(gòu)建滿(mǎn)足該基函數(shù)的向量,然后將原問(wèn)題的解函數(shù)由該基向量近似表示,接著將原問(wèn)題的微分項(xiàng)也表示成向量形式,最后離散未知變量對(duì)形成的線性方程組數(shù)值求解。數(shù)值結(jié)果表明本文給出的方法較其它數(shù)值算法構(gòu)造簡(jiǎn)單、運(yùn)行速度快,且能獲得高的數(shù)值精度。(2)本文利用分?jǐn)?shù)階微分算子矩陣方法求解三維位勢(shì)問(wèn)題Poisson方程和Laplace方程的數(shù)值解。該方法基于一維Block-Pulse函數(shù)的微分算子矩陣并構(gòu)造相應(yīng)的三維Block-pulse函數(shù)的微分算子矩陣,然后將原問(wèn)題的每一項(xiàng)同邊界條件均表示成向量形式,最后離散未知變量求解。以往求解三維位勢(shì)問(wèn)題數(shù)值解常用的方法是利用球諧函數(shù)和三維Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi),而本文提出的方法是將待求問(wèn)題的解函數(shù)由三維Block-Pulse函數(shù)展開(kāi),該方法構(gòu)造簡(jiǎn)單,運(yùn)行速度快,而且當(dāng)級(jí)數(shù)展開(kāi)達(dá)到64項(xiàng)時(shí),即可達(dá)到10~(-3)10~(-4)的數(shù)值精度。(3)本文利用Chebyshev小波求解一類(lèi)一維常系數(shù)非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)值解,該方法基于第二類(lèi)Chebyshev小波的定義并構(gòu)造相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階積分算子矩陣,然后將此積分算子矩陣應(yīng)用于初始問(wèn)題微分項(xiàng)的處理,使得原問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為關(guān)于未知解的線性代數(shù)方程組,最后得到原問(wèn)題的數(shù)值解。相比傳統(tǒng)的傅里葉分析,小波能任意的提取短期負(fù)荷序列的細(xì)節(jié),因此具有更高的數(shù)值精度,而且數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了本文所提方法的可行性及有效性。(4)針對(duì)一維非穩(wěn)態(tài)變系數(shù)熱傳導(dǎo)問(wèn)題,本文提出利用Chebyshev多項(xiàng)式進(jìn)行數(shù)值求解,用正交多項(xiàng)式函數(shù)去逼近微分方程的基本解,所得數(shù)值結(jié)果相比解析結(jié)果能獲得10~(-9)10~(-10)的收斂精度。由于本章討論的是變系數(shù)問(wèn)題,對(duì)于變系數(shù)的處理,以往處理起來(lái)都比較困難,這里通過(guò)引入乘積算子矩陣,進(jìn)而將初始問(wèn)題轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的向量形式。另外本文還針對(duì)所討論的問(wèn)題給出了誤差分析,且數(shù)值結(jié)果也表明本文提出的方法對(duì)于求解此類(lèi)問(wèn)題有很高的數(shù)值精度。
【學(xué)位授予單位】：太原科技大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類(lèi)號(hào)】：O551.3
【圖文】：

1.1 二維位勢(shì)問(wèn)題求解域 和節(jié)點(diǎn) 的子域in and subdomains of the nodeJS for two-dim 1.2 三維位勢(shì)問(wèn)題求解域 和節(jié)點(diǎn) 的子域in and subdomain of the node for three-dim典型的位勢(shì)問(wèn)題 例如電子元件的散熱常為拉普拉斯(Laplace)方程或泊松(Poiss

1 1.2 三維位勢(shì)問(wèn)題求解域 和節(jié)點(diǎn) 的子域in and subdomain of the node for three-dim典型的位勢(shì)問(wèn)題 例如電子元件的散熱問(wèn)常為拉普拉斯(Laplace)方程或泊松(Poiss種橢圓形方程，反映了問(wèn)題的一種定常狀，穩(wěn)定濃度場(chǎng)等均是定常態(tài)，位勢(shì)導(dǎo)數(shù) 工程中很多位勢(shì)問(wèn)題都滿(mǎn)足 Laplace 方程周?chē)撵o電場(chǎng) 瓷絕緣子或各種橫截面的埋

圖 1.3 二維溫度場(chǎng)的控制體積1.3 The control volume of two-dimensional temperatur有兩方面的特征，首先其溫度不隨時(shí)間變化域凈增熱量為零，即在同一段時(shí)間內(nèi)，流入制方程可表示為：

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：2783935