【摘要】：近幾十年來,分數(shù)階微積分理論逐漸引起研究人員的重視并得到迅速發(fā)展,相對于傳統(tǒng)整數(shù)階微積分理論,分數(shù)階導數(shù)理論框架下的數(shù)學模型更適用于模擬力學和工程建模中的復雜現(xiàn)象,能夠?qū)碗s環(huán)境中所涉及的記憶和遺傳性(Heredity)、非局部性(Non-locality)、自相似性(Self-similarity)、路徑依賴性(Long-range-dependence)等性質(zhì)提供更為深刻全面的闡述,且模型更為簡單明了。由于分數(shù)階算子本身特有的復雜性和非局部性使得模型不能輕易的獲得其解析解,通常情況下需要借助于數(shù)值方法來求解。本文主要針對工程中重要的位勢問題和一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導問題,提煉其整數(shù)階本構模型,并重點構建分數(shù)階本構模型對其進行數(shù)值求解。所構建的模型和算法不僅適用于廣義的分數(shù)階,更適用于文中給定的整數(shù)階模型。文中給出的所有測試算例均是針對實際問題抽象出一般性的數(shù)學模型,進而利用給定的數(shù)值方法進行求解。全文的核心要點主要分為以下幾部分:(1)本文旨在討論兩類二維位勢問題的數(shù)值解,即泊松(Poisson)方程和拉普拉斯(Laplace)方程,且滿足狄利克雷(Dirichlet)和諾伊曼(Neumann)邊界條件。文中首先引入塊脈沖函數(shù)(Block-Pulse functions)的定義,并由此定義構建滿足該基函數(shù)的向量,然后將原問題的解函數(shù)由該基向量近似表示,接著將原問題的微分項也表示成向量形式,最后離散未知變量對形成的線性方程組數(shù)值求解。數(shù)值結果表明本文給出的方法較其它數(shù)值算法構造簡單、運行速度快,且能獲得高的數(shù)值精度。(2)本文利用分數(shù)階微分算子矩陣方法求解三維位勢問題Poisson方程和Laplace方程的數(shù)值解。該方法基于一維Block-Pulse函數(shù)的微分算子矩陣并構造相應的三維Block-pulse函數(shù)的微分算子矩陣,然后將原問題的每一項同邊界條件均表示成向量形式,最后離散未知變量求解。以往求解三維位勢問題數(shù)值解常用的方法是利用球諧函數(shù)和三維Taylor級數(shù)展開,而本文提出的方法是將待求問題的解函數(shù)由三維Block-Pulse函數(shù)展開,該方法構造簡單,運行速度快,而且當級數(shù)展開達到64項時,即可達到10~(-3)10~(-4)的數(shù)值精度。(3)本文利用Chebyshev小波求解一類一維常系數(shù)非穩(wěn)態(tài)熱傳導問題的數(shù)值解,該方法基于第二類Chebyshev小波的定義并構造相應的分數(shù)階積分算子矩陣,然后將此積分算子矩陣應用于初始問題微分項的處理,使得原問題被轉化為關于未知解的線性代數(shù)方程組,最后得到原問題的數(shù)值解。相比傳統(tǒng)的傅里葉分析,小波能任意的提取短期負荷序列的細節(jié),因此具有更高的數(shù)值精度,而且數(shù)值結果驗證了本文所提方法的可行性及有效性。(4)針對一維非穩(wěn)態(tài)變系數(shù)熱傳導問題,本文提出利用Chebyshev多項式進行數(shù)值求解,用正交多項式函數(shù)去逼近微分方程的基本解,所得數(shù)值結果相比解析結果能獲得10~(-9)10~(-10)的收斂精度。由于本章討論的是變系數(shù)問題,對于變系數(shù)的處理,以往處理起來都比較困難,這里通過引入乘積算子矩陣,進而將初始問題轉化為統(tǒng)一的向量形式。另外本文還針對所討論的問題給出了誤差分析,且數(shù)值結果也表明本文提出的方法對于求解此類問題有很高的數(shù)值精度。
【學位授予單位】：太原科技大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O551.3
【圖文】：

1.1 二維位勢問題求解域 和節(jié)點 的子域in and subdomains of the nodeJS for two-dim 1.2 三維位勢問題求解域 和節(jié)點 的子域in and subdomain of the node for three-dim典型的位勢問題 例如電子元件的散熱常為拉普拉斯(Laplace)方程或泊松(Poiss

1 1.2 三維位勢問題求解域 和節(jié)點 的子域in and subdomain of the node for three-dim典型的位勢問題 例如電子元件的散熱問常為拉普拉斯(Laplace)方程或泊松(Poiss種橢圓形方程，反映了問題的一種定常狀，穩(wěn)定濃度場等均是定常態(tài)，位勢導數(shù) 工程中很多位勢問題都滿足 Laplace 方程周圍的靜電場 瓷絕緣子或各種橫截面的埋

圖 1.3 二維溫度場的控制體積1.3 The control volume of two-dimensional temperatur有兩方面的特征，首先其溫度不隨時間變化域凈增熱量為零，即在同一段時間內(nèi)，流入制方程可表示為：

【參考文獻】

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本文編號：2783935