【摘要】：本文以離散量子行走模型為主要研究對象,研究了二面體群上的離散量子行走。因?yàn)槿菏且粋�抽象的概念,而凱萊圖作為群的圖形化表示,是利用群論機(jī)制研究量子行走的一種方便手段,所以本文研究并分析了二面體群凱萊圖上的離散量子行走模型,包括無記憶量子行走模型、有記憶量子行走模型,以及三態(tài)量子行走模型。論文的具體內(nèi)容如下:第一,針對由圖形的旋轉(zhuǎn)和反射生成的有限二面體群,根據(jù)群元素的特征,通過特殊的編碼模式構(gòu)建了二面體群凱萊圖上的無記憶離散量子行走模型,并且利用傅里葉變換進(jìn)行分析。研究發(fā)現(xiàn)了二面體群凱萊圖上的無記憶量子行走與環(huán)上的一步記憶量子行走之間的等價(jià)關(guān)系,并給出了硬幣算子中參數(shù)對量子行走演化算子影響的矩陣形式。此外,利用數(shù)值模擬方法研究了量子行走的基本概率性質(zhì)。第二,基于所提出的二面體群凱萊圖上的無記憶離散量子行走模型,通過增加一步記憶構(gòu)建了二面體群凱萊圖上的有記憶離散量子行走模型,并且利用傅里葉變換進(jìn)行分析,給出了概率分布和時(shí)間平均概率分布的具體形式。鑒于正則圖上的有記憶量子行走與其對應(yīng)線圖上的無記憶量子行走之間的聯(lián)系,給出了二面體群凱萊圖上的一步記憶量子行走的圖形化表示。此外,利用數(shù)值模擬方法研究了量子行走的基本概率性質(zhì)。進(jìn)一步地,針對線、環(huán)和二面體群的凱萊圖,討論了無記憶量子行走與有記憶量子行走之間的異同。第三,基于所提出的二面體群凱萊圖上的無記憶離散量子行走模型,通過將硬幣算子由二維酉矩陣擴(kuò)展到三維酉矩陣構(gòu)建了二面體群凱萊圖上的三態(tài)量子行走模型,并且利用傅里葉變換進(jìn)行分析。此外,利用數(shù)值模擬方法研究了量子行走的基本概率性質(zhì)。進(jìn)一步地,針對線、環(huán)和二面體群的凱萊圖,討論了二態(tài)量子行走與三態(tài)量子行走之間的異同。綜上,本文圍繞二面體群凱萊圖上的離散量子行走開展了一系列研究工作,進(jìn)一步拓展了非阿貝爾群凱萊圖上的量子行走的理論研究。
【學(xué)位授予單位】：南京航空航天大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2019
【分類號】：O157.5;O413
【圖文】：

（a）5D （b）8D圖 2.1 二面體群的凱萊圖文獻(xiàn)[64]給出下面線圖的定義，用于研究正則圖上的通用量子有記憶行走模型。定義 2.12 設(shè) G (V , E)表示一個有向圖，其點(diǎn)集為 V (G )，邊集為 E (G )。有向圖G 的線圖為LG。LG的點(diǎn)集為 E (G )；對于 , , , ( )a b c dx x x x V G， , , , ( )a b c dx x x x E LG當(dāng)且僅當(dāng), bx 和 , c dx x 都在 E (G )中，且b cx x。LG的線圖標(biāo)記為 2L G。類似的，對于d N ，有dL G。定義 2.13 離散傅里葉變換是傅里葉變換中的一種。離散傅里葉變換將函數(shù)f n （n 為“時(shí)間”變量）變換為連續(xù)的周期頻譜 iwF e 。令 f : 是整數(shù)上的一個復(fù)函數(shù)，則它散傅里葉變換是一個由式 iw inwnF e e f n 給出的連續(xù)函數(shù)f : , ，它的逆葉變換為 = 1 2inw iwf n e F e dw 。在傅里葉分析中，離散傅里葉變換通常為 iknnf k e f n (2.11)逆傅里葉變換為 1=2iknf n e f k dk (2.12

（a）4D 的凱萊圖 （b）4D 凱萊圖的標(biāo)準(zhǔn)編碼圖 3.1 二面體群的凱萊圖及其對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)編碼1.3 數(shù)學(xué)模型鑒于由圖形的旋轉(zhuǎn)和反射生成的有限二面體群，每個頂點(diǎn)具有兩個方向，即C SU 2 ，中SU 2 是行列式為 1 的2 2酉矩陣構(gòu)成的集合。離散量子行走的硬幣希爾伯特空間2CH 由 0 , 1 張成，基態(tài)的矩陣形式如下：1 00 , 10 1C C (3.3)面體群凱萊圖的邊可以由附加到頂點(diǎn)集寄存器的輔助寄存器編碼為 direction vertex ，即0 0 , , 1 1 , 0 0 , , 1 1RFE R R N F F N (3.4)移算子 S定義為 0 0 1 , 0 1 , C CC CS R j R jS F j F j

（a）原圖 4-環(huán) （b） 4-環(huán)的線圖 LG圖 3.2 原圖與其對應(yīng)的線圖圖 3.2（a）給出了 4-環(huán)的原圖 G (V , E )，（b）給出了一個線圖的例子，也就是 G (V , E )的線圖，即 LG 。從圖論的角度來看，圖 3.2（b）和圖 3.1（a）是同構(gòu)的，即 4-環(huán)上的一步記憶量子行走對應(yīng)的圖與二面體群4D 凱萊圖上的無記憶量子行走對應(yīng)的圖同構(gòu)。類似地，由LG 表示的 N-環(huán)上的線圖和二面體群ND 的凱萊圖是同構(gòu)的。從這個角度來看，二面體群ND 的凱萊圖上的無記憶量子行走和 N-環(huán)上的一步記憶量子行走是等價(jià)的。3.3 硬幣算子中參數(shù)對量子行走演化算子的影響沿著線上的離散量子行走和 N-環(huán)上的離散量子行走的研究思路[30]，研究硬幣算子中參數(shù)對二面體群ND 凱萊圖上的離散量子行走演化算子的影響。粒子位置為 s mod 2 ,t modN 。對于傅里葉空間的量子行走仍然適用。粒子的有限狀態(tài)空間是離散的，通過特殊的編碼方式，有限動量空間定義為 120, , ,Nikn NN N Nnk t e n t k (3.35)這與 N-環(huán)上的離散量子行走有密切關(guān)系。對于 N-環(huán)上的離散量子行走，利用硬幣轉(zhuǎn)移矩陣的一

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本文編號：2748388