【摘要】：近年來(lái),配邊理論與群的上同調(diào)理論在物理中的對(duì)稱保護(hù)拓?fù)?SPT)理論中扮演著越來(lái)越重要的角色。比如,Freed-Hopkins的工作將配邊理論與SPT理論聯(lián)系起來(lái);Wang-Gu-Wen的工作將群的上同調(diào)理論與SPT理論聯(lián)系起來(lái)。本文計(jì)算得到了物理中跟4d-楊-米爾斯理論以及4d-伴隨量子色動(dòng)力學(xué)(QCD)相關(guān)的一些配邊群和配邊不變量,以及給出了有限阿貝爾群bar消解的任意階cocycle的顯示表達(dá)式,并討論了它們?cè)跀?shù)學(xué)和物理中的應(yīng)用。本文結(jié)構(gòu)如下:在第一章中,我們介紹了本文中將用到的基本定義和記號(hào)以及配邊理論的發(fā)展和它在物理中的應(yīng)用。在第二章中,我們利用Adams譜序列的方法計(jì)算了配邊群Ωd≤5H(B2Z2),其中H=O/SO/Spin/Pin±,B2Z2為higher分類空間,或等價(jià)地為Eilenberg-MacLane空間K(Z2,2)。熟知那些在Ω5SO(B2Z2)中消失的Ω5O(B2Z2)的配邊不變量為某種4d SU(2)楊-米爾斯理論的5d拓?fù)漤?xiàng)的候選者。作為推論,我們計(jì)算了TPd≤5(H×BZ2),該群由Daniel Freed和Michael Hopkins定義,用來(lái)分類某種拓?fù)湎唷４送?我們計(jì)算了Ωd≤5 Spin×z2(SU(2)×z2z8)(B2Z2),已知Ω5Spin×z2(SU(2)×z2z8)(B2Z2)的配邊不變量中的w3x2和aP2(x2)為伴隨QCD4的兩類't Hooft反常。這里a為H1(BZ4,Z4)的生成元,x2為H2(B2Z2,Z2)的生成元,P2為Pontryagin平方,W3為5維流形M的切叢的第三個(gè)Stiefel-Whitney類,所有上同調(diào)類都通過(guò)配邊群定義中的映射拉回到M上。Juven Wang,Xiao-Gang Wen和Edward Witten提出了拉回平凡化的存在性問(wèn)題,我們考慮了涉及higher symmetry的推廣的拉回平凡化的存在性問(wèn)題。對(duì)于w3x2的拉回平凡化存在性問(wèn)題,我們給了一個(gè)肯定的回答,為了研究aP2(x2)的拉回平凡化存在性問(wèn)題,我們計(jì)算了Ωd≤5 Spin×(B2Z2)。在第三章中,我們考慮了上面的配邊不變量aP2(x2)的拉回平凡化存在性問(wèn)題。我們?cè)诩僭O(shè)1-形式對(duì)稱不破缺的前提下證明了aP2(x2)不能被完全平凡化。我們發(fā)現(xiàn)在某些1-形式對(duì)稱破缺的情形,aP2(x2)可以被完全平凡化,而在另一些1-形式對(duì)稱破缺的情形,aP2(x2)仍然不可以被完全平凡化。在第四章中,我們對(duì)任意給定的有限阿貝爾群A,構(gòu)造了一個(gè)從其bar·消解到一個(gè)Koszul型消解之間的鏈映射,由此給出了A的所有次數(shù)的歸一化cocycle的顯式且統(tǒng)一的公式。作為應(yīng)用,我們確定了A上的所有辮子線性Gr-范疇,并且對(duì)所有n計(jì)算了n維環(huán)面的Dijkgraaf-Witten不變量。在第五章中,我們提出了用Frobenius-Schur(FS)指數(shù)分類球形融合范疇的新嘗試。我們給出FS指數(shù)為2的球形融合范疇的monoidal等價(jià)類,以及FS指數(shù)為2的modular范疇的辮子monoidal等價(jià)類。由此,我們證明Gauss和為FS指數(shù)為2的modular范疇的完全不變量。這個(gè)結(jié)果可以看成是特征為2的域上非退化二次型分類的Arf定理的范疇化版本。在附錄中,我們通過(guò)舉例介紹了第二章的計(jì)算中用到的Adams譜序列方法,包括第二章的一些計(jì)算細(xì)節(jié)。我們還介紹了Bockstein同態(tài)和一些有用的公式。
【圖文】：

邐＾逡逑０１２３４５邋ｔ－ｓ逡逑圖２．１邋0ｆ（Ｂ２Ｚ２）。箭頭代表微分。逡逑因而我們有下面的定理（細(xì)節(jié)見(jiàn)Ａ．１）逡逑／邐Ｑｆ°（Ｂ２Ｚ２）逡逑０邐Ｚ逡逑１邐０逡逑２邐Ｚ２逡逑３邐０逡逑４邐Ｚ邋ｘ邋Ｚ４逡逑５邐Ａ逡逑定理２．３逡逑１３逡逑

圖２．３邋ｇｐｉｎ（Ｂ２Ｚ２）
【學(xué)位授予單位】：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2019
【分類號(hào)】：O189.2;O411

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本文編號(hào)：2635349