【摘要】：物理世界是復(fù)雜的,事物之間的關(guān)系往往是非線性的,如湍流、非線性振動(dòng)和波浪等問題。混沌是非線性系統(tǒng)的典型行為,并且被認(rèn)為是20世紀(jì)繼相對論和量子力學(xué)之后第三次偉大的科學(xué)革命。所以混沌動(dòng)力系統(tǒng)的研究在科學(xué)和工程中都有著重要的意義和價(jià)值。由于混沌動(dòng)力系統(tǒng)通常不存在解析解,所以數(shù)值模擬是其重要的研究手段之一。眾所周知,所有數(shù)值模擬都存在數(shù)值噪音,即截?cái)嗾`差和舍入誤差。由于混沌動(dòng)力系統(tǒng)對初始條件敏感,從而也對數(shù)值誤差敏感,所以獲得足夠長時(shí)域內(nèi)混沌動(dòng)力系統(tǒng)可靠的數(shù)值解是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題。本文采用廖世俊教授提出的“干凈數(shù)值模擬”(Clean Numerical Simulation,簡稱CNS)策略對混沌動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行高精度數(shù)值模擬,研究了數(shù)值噪音對混沌動(dòng)力系統(tǒng)數(shù)值結(jié)果的影響,揭示了混沌三體系統(tǒng)微觀不確定性和宏觀隨機(jī)性之間的聯(lián)系,并且獲得三體系統(tǒng)二千多個(gè)全新的周期解。本文研究的主要內(nèi)容如下:首先,以Hénon-Heiles系統(tǒng)、三體系統(tǒng)以及由Rayleigh-Bénard對流導(dǎo)出的有限維動(dòng)力系統(tǒng)為例,采用干凈數(shù)值模擬得到這些混沌動(dòng)力系統(tǒng)的收斂、可靠的數(shù)值結(jié)果,并且與基于雙精度的傳統(tǒng)數(shù)值方法所得到的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對比研究。對于Hénon-Heiles系統(tǒng)和三體系統(tǒng),在雙精度計(jì)算環(huán)境下的傳統(tǒng)數(shù)值方法不能夠得到系統(tǒng)長時(shí)間可靠的軌道、傅里葉功率譜和自相關(guān)函數(shù)。對由Rayleigh-Bénard對流所導(dǎo)出的有限維耗散動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)值研究表明數(shù)值噪音對混沌的耗散動(dòng)力系統(tǒng)的非定常統(tǒng)計(jì)量有著較大的影響。其次,采用干凈數(shù)值模擬研究了混沌三體系統(tǒng)微觀不確定性的傳播�？紤]三體系統(tǒng)的初始位置存在微觀的物理不確定性,通過10000個(gè)樣本的干凈數(shù)值模擬,發(fā)現(xiàn)該不確性會隨著時(shí)間指數(shù)級增長到宏觀尺度,表現(xiàn)出宏觀的隨機(jī)性。這種微觀的不確定性是內(nèi)在的,不需要任何外力。因此,這表明三體系統(tǒng)宏觀的隨機(jī)性是自激產(chǎn)生的。干凈數(shù)值模擬結(jié)果表明,混沌或許是連接微觀不確定性和宏觀隨機(jī)性的橋梁。此外,本文發(fā)現(xiàn)了三體問題2000多族全新的周期解。自從牛頓提出三體問題以來,300多年間人們僅發(fā)現(xiàn)3族周期解,直到2013年,?uvakov和Dmitra?inovi?[Phys.Rev.Lett.110,114301(2013)]取得重大突破發(fā)現(xiàn)了13個(gè)全新的等質(zhì)量三體問題的周期解。本文將網(wǎng)格搜尋方法和Newton-Raphson方法與干凈數(shù)值模擬相結(jié)合,發(fā)現(xiàn)了等質(zhì)量三體問題600多族全新的周期解,不等質(zhì)量三體問題1200多族全新的周期解以及自由落體三體問題300多族全新的周期解。并且發(fā)現(xiàn)這些三體系統(tǒng)的周期解滿足廣義的開普勒第三定律,即系統(tǒng)總能量的立方和平均周期的平方之乘積近似于一個(gè)常數(shù)。傳統(tǒng)上認(rèn)為非等級結(jié)構(gòu)的三體系統(tǒng)通常是不穩(wěn)定的。但是本文新發(fā)現(xiàn)的周期解都是非等級結(jié)構(gòu)的,其中28個(gè)周期解是線性穩(wěn)定的。因此,本文從理論上預(yù)測了三體系統(tǒng)存在許多穩(wěn)定的非等級結(jié)構(gòu)的周期解,這對天文觀測有著指導(dǎo)意義。
【圖文】：

＝煌ù笱Р┦墾絎宦畚?第五章 三體問題的周期解研究5.4 拓?fù)浞诸惙椒ㄈ鐖D5 5所示，三體系統(tǒng)的三個(gè)天體的相對位置可以采用兩個(gè)相對坐標(biāo)向量來表示 [101]：ρ =1√2(r1 r2), λ =1√6(r1+ r2 2r3). (5 11)因此，，可以采用向量ρ和λ來描述三體系統(tǒng)周期解的軌道的形狀。三個(gè)天體形成的三角形的形狀可以用以下長度為 1 的向量表示 [40]：n = (nx, ny, nz) =(2ρ · λR2,λ2 ρ2R2,2(ρ × λ) · ezR2), (5 12)其中R =√ρ2+ λ2。三體系統(tǒng)的三個(gè)天體的相對位置變量對應(yīng)于單位為1 的球面上的點(diǎn)，如圖5 6所示。球面坐標(biāo)僅僅依賴三體系統(tǒng)三個(gè)天體的位置所構(gòu)成的三角形的形狀，因此稱為 “形狀球面”（shape sphere）。球面的赤道上的點(diǎn)對應(yīng)的是三體共線的情形。圖5 6中赤道上的三個(gè)紅色的點(diǎn)對應(yīng)是兩體碰撞點(diǎn)，也就是勢能的奇點(diǎn)。球面的北極和南極點(diǎn)對應(yīng)的是三體為等邊三角形的構(gòu)型。圖5 6中的實(shí)線為 8 字型周期解軌道對應(yīng)在形狀球面的曲線。本章采用拓?fù)浞诸惙椒▽θw問題周期解進(jìn)行分類 [40, 41]。采用上述的坐標(biāo)變換，三體系統(tǒng)的一個(gè)周期軌道對應(yīng)于球面的一條閉合曲線。因?yàn)楸疚膬H3r3 / 2 2 2r1r圖 5 5 三體系統(tǒng)的 Jacobi 坐標(biāo)。Fig. 5 5 The three-body Jacobi coordinates ρ, λ.— 57 —
【學(xué)位授予單位】：上海交通大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O415.5;O313

【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前1條

1 郝柏林;分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它——關(guān)于確定論系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機(jī)性[J];物理學(xué)進(jìn)展;1983年03期

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前1條

1 楊鵬;非線性混沌動(dòng)力系統(tǒng)的高精度并行計(jì)算[D];上海交通大學(xué);2013年

本文編號：2594848