本文一般性地討論了碰撞,得到了動(dòng)能損失與恢復(fù)系數(shù)的一般關(guān)系,對(duì)常見(jiàn)的三個(gè)結(jié)論,即e=1等價(jià)于動(dòng)能不變、e=0等價(jià)于動(dòng)能損失最大,及動(dòng)能改變?chǔ)∝（1-e²）,都給予了一般證明。此外,還給出了此類碰撞的核心特征——系統(tǒng)只有一個(gè)自由度,其具體條件是:碰撞只發(fā)生在一處地方,且為光滑碰撞和嚴(yán)格點(diǎn)碰撞,此外其他約束皆為理想約束。 

【文章來(lái)源】：物理與工程. 2020,30(01)

【文章頁(yè)數(shù)】：6 頁(yè)

【部分圖文】：

各種碰撞模型

實(shí)際上,如果碰撞滿足光滑條件和嚴(yán)格點(diǎn)碰撞條件,就整個(gè)系統(tǒng)而言,其自由度必然只有一個(gè)。以兩粒子一維正碰為例。確定系統(tǒng)狀態(tài)需兩個(gè)速度,但存在動(dòng)量守恒,故只剩下一個(gè)自由度。這個(gè)自由度可以取為粒子1的速度,也可取為粒子2的速度,或者取為兩粒子的速度差Dv=v2-v1。無(wú)論取哪個(gè),只要它的取值確定,那么結(jié)合動(dòng)量守恒方程(由初始條件確定總動(dòng)量),就可以確定系統(tǒng)所有部分的速度情況,從而確定整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)。更為一般的情形如何呢?先考慮這樣的簡(jiǎn)單情形:系統(tǒng)中的剛體共有N個(gè),分為兩串(如圖2所示,但也允許有分枝情況出現(xiàn)):前m個(gè)為一串,后(N-m)個(gè)為第二串。兩串中的各成員相互光滑鉸接,而碰撞發(fā)生在分屬兩串的兩個(gè)剛體之間。不會(huì)有剛體與這兩串都不鉸接:如果有,要么它不參與碰撞,要么違反“碰撞只發(fā)生在一處地方”的約定。又假定兩串剛體分別是自由的,沒(méi)有哪個(gè)剛體與參考系鉸接(做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng))。

同一剛體內(nèi)部,必有相對(duì)速度?瘙經(jīng)0i-?瘙經(jīng)0j和υ′i-υ′j都垂直于相互作用沖量Iji,故同一剛體內(nèi)部對(duì)式(7)～(8)的貢獻(xiàn)都是0。對(duì)于光滑鉸鏈處,有?瘙經(jīng)i-?瘙經(jīng)j=0,故而光滑鉸鏈處對(duì)式(7)～(8)的貢獻(xiàn)也都是0。于是,式(5)～(6)的右邊,或式(7)～(8)中,唯一可能不為0的,來(lái)自于碰撞點(diǎn)P處的相互作用(如圖3所示)。根據(jù)假設(shè),碰撞時(shí)只有沿法向n的彈力,且主矩為0。于是,設(shè)主矢為I12=I=In,則對(duì)式(7)～(8)中的如下典型項(xiàng),有


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