為解決波浪非線性薛定諤（NLS）方程在用于實(shí)際波列時(shí)的本征值計(jì)算問(wèn)題,該文以NLS方程的逆散射變換為基礎(chǔ),對(duì)NLS方程本征值問(wèn)題進(jìn)行推導(dǎo),給出了單值矩陣的數(shù)值計(jì)算方法。以此為基礎(chǔ),結(jié)合多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法,進(jìn)一步給出了計(jì)算NLS方程本征值的數(shù)值算法。結(jié)果表明:使用該方法可以很好地得到NLS方程本征值,具有較高的準(zhǔn)確度。該方法可為應(yīng)用NLS方程對(duì)波浪進(jìn)行預(yù)報(bào)提供一定的基礎(chǔ)。 

【文章來(lái)源】：水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展（A輯）. 2019,34(03)北大核心CSCD

【文章頁(yè)數(shù)】：8 頁(yè)

【部分圖文】：

本征值鄰域中適應(yīng)值倒數(shù)的三維圖像Fig.2Three-dimensionalimageofthereciprocalvalueoffitnessvalueinneighborhoodofaeigenvalue

張新宇，等：波浪非線性薛定諤方程本征值的數(shù)值計(jì)算327即粒子的運(yùn)動(dòng)速度在迭代的過(guò)程中會(huì)逐漸降低，有利于迭代后期最優(yōu)解的找尋和進(jìn)一步優(yōu)化。圖3全局范圍內(nèi)適應(yīng)值倒數(shù)的三維圖像Fig.3Three-dimensionalimageofthereciprocalvalueoffitnessvalueinglobalscope③結(jié)合本征值的共軛仍是本征值這一條特性，本文在原有粒子群優(yōu)化算法中加入了一個(gè)步驟，大大提高了本征值的找尋效率。前面講過(guò)，有一部分本征值找尋難度極大，利用本征值的共軛也是本征值的特性，本文在每次迭代中將所找尋到的所有局部最優(yōu)解的共軛也加入粒子群中。這樣每尋找到一個(gè)本征值，就相當(dāng)于將其共軛本征值也找尋到。一對(duì)共軛本征值對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解中若其中一個(gè)通過(guò)迭代得到優(yōu)化，另外一個(gè)也會(huì)立即得到優(yōu)化。在試驗(yàn)計(jì)算的過(guò)程中還發(fā)現(xiàn)，在復(fù)平面上會(huì)出現(xiàn)一些值，其本身滿足式(6)的要求，但其共軛不滿足，在圖2中就可以觀察到這種非對(duì)稱點(diǎn)。按照本征值的特性看這些點(diǎn)不屬于本征值，但在迭代優(yōu)化的過(guò)程中這些點(diǎn)也會(huì)被找尋到，而且這類點(diǎn)中的一部分還與實(shí)際本征值點(diǎn)較近，會(huì)吸引走一部分粒子，嚴(yán)重影響實(shí)際本征值的搜尋。針對(duì)這個(gè)情況，本文在迭代過(guò)程中會(huì)計(jì)算單個(gè)粒子適應(yīng)值與其共軛點(diǎn)適應(yīng)值的比值，將兩適應(yīng)值相差懸殊的點(diǎn)去掉。綜合上述情況，本文算法的計(jì)算步驟為：①粒子群初始化，在目標(biāo)區(qū)域內(nèi)隨機(jī)給出各個(gè)粒子的初始位置和初始速度。②計(jì)算出每個(gè)粒子的適應(yīng)值，選取其中的前N個(gè)作為局部最優(yōu)解待定集。同時(shí)找到每一粒子在搜尋過(guò)程中的最優(yōu)解Pb。③在待定集中去除臨近值，并去除粒子本身與其共軛適應(yīng)值相差較大的點(diǎn)，得到局部最優(yōu)解集。④對(duì)每一個(gè)粒子確定局部最優(yōu)解集中距離其最近的點(diǎn)，作為其局部最優(yōu)解Lb。⑤每一次迭代?

水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展A輯2019年第3期328果，水池中布置了22個(gè)探針用于測(cè)量波高時(shí)歷，各探針距造波板的距離標(biāo)注在圖片右側(cè)，對(duì)應(yīng)序列為所測(cè)波高序列。圖中初始波列為經(jīng)過(guò)調(diào)制的窄帶平面波，在演化過(guò)程中能量逐漸聚集，到距離造波板140m處出現(xiàn)了畸形波。圖4L=6時(shí)的實(shí)際本征值所在位置與仿真結(jié)果對(duì)比圖Fig.4ComparisondiagramofrealeigenvaluesandsimulationresultwhenL=6圖5L=9時(shí)的實(shí)際本征值所在位置與仿真結(jié)果對(duì)比圖Fig.5ComparisondiagramofrealeigenvaluesandsimulationresultwhenL=7將第一個(gè)探針（15m處探針）所測(cè)的波高時(shí)間序列作為預(yù)報(bào)的初始信息。由初始序列可編程計(jì)算其載波周期和載波幅值，此處識(shí)別結(jié)果為載波周期0T1.6025s，載波幅值0a0.067m，這與試驗(yàn)中的設(shè)定值基本吻合。對(duì)初始波列提取包絡(luò)，所提包絡(luò)即NLS方程柯西問(wèn)題中的初值(0,t)，應(yīng)用前文方法計(jì)算本征值，結(jié)果如圖8所示。圖6L=10時(shí)的實(shí)際本征值所在位置與仿真結(jié)果對(duì)比圖Fig.6ComparisondiagramofrealeigenvaluesandsimulationresultwhenL=10圖7臺(tái)南水力學(xué)實(shí)驗(yàn)室水池實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.7ExperimentdataofTainanHydraulicsLaboratory

【參考文獻(xiàn)】：
期刊論文
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