本文關(guān)鍵詞：某些正反散射問(wèn)題數(shù)值算法的研究　出處：《吉林大學(xué)》2015年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：聲波和電磁波的散射與反散射理論在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用,并且在實(shí)際生活中有著很多應(yīng)用,如醫(yī)學(xué)成像,雷達(dá)探測(cè),無(wú)損探傷等.本文主要討論了障礙散射問(wèn)題和單縫散射問(wèn)題的數(shù)值求解及貝葉斯方法在內(nèi)腔體反散射問(wèn)題和單縫反散射問(wèn)題中的應(yīng)用.我們所考慮的散射問(wèn)題模型均為Helmholtz方程.由于障礙散射問(wèn)題和單縫散射問(wèn)題都是無(wú)界域上的散射問(wèn)題,進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)首先要考慮無(wú)界域截?cái)鄦?wèn)題.在本文中,我們利用Dirichlet-to-Neumann算子(簡(jiǎn)稱DtN算子)將無(wú)界域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有界域問(wèn)題.與常用的吸收邊界條件相比；這種轉(zhuǎn)化是精確的,沒(méi)有近似.因此,在第一章的緒論中,我們介紹了Hehmholtz方程和 Dirichlet-to-Neumann算子及文中所要探討的幾種散射問(wèn)題的研究現(xiàn)狀,并列出了本文的主要工作.第二章中我們提出了一種處理DtN邊界條件的間斷有限元方法,以障礙散射問(wèn)題為模型介紹了算法的具體格式,證明了顯波數(shù)k的DG模和L2模誤差估計(jì),并給出了相應(yīng)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果.第三章中我們利用DtN算子將單縫散射(single slit scattering)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單縫處的一個(gè)算子方程,證明了算子方程解的存在性、唯一性及穩(wěn)定性.應(yīng)用Galerkin法對(duì)算子方程進(jìn)行數(shù)值求解,證明了數(shù)值解的存在性、唯一性和收斂性.最后進(jìn)行了數(shù)值模擬,其結(jié)果與實(shí)際的物理現(xiàn)象一致,說(shuō)明了算法的有效性.第四章中介紹了兩個(gè)反散射問(wèn)題的貝葉斯方法.以內(nèi)腔體反散射問(wèn)題為例,給出了貝葉斯方法的具體步驟及方法適定性分析,數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明了方法的可行性.同時(shí),我們還利用貝葉斯方法反演了單縫散射問(wèn)題中點(diǎn)源的位置,給出了相應(yīng)的數(shù)值算例.本文的最后一章為總結(jié),對(duì)全文內(nèi)容進(jìn)行了總結(jié)并列出了后續(xù)研究的幾個(gè)方向.1.處理DtN邊界條件的間斷有限元方法考慮障礙散射問(wèn)題,設(shè)區(qū)域Ω (?)R2為L(zhǎng)ipschitz區(qū)域,我們用表示區(qū)域Ω的外部.設(shè)Ω為包含原點(diǎn)的星形域且邊界(?)Ω充分光滑,例如,(?)Ω是C2類的.我們考慮如下的具有Dirichlet邊界條件和Sommerfeld輻射條件的Helmholtz方程外問(wèn)題：給定入射場(chǎng)ui,求散射場(chǎng)us使得對(duì)于任意的函數(shù)f∈H1/2((?)BR),定義DtN算子如下：借助DtN算子我們將問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化為如下有界域上的問(wèn)題其中上的單位外法向量,為了方便,我們將us簡(jiǎn)寫成u.這里,BR1和BR2為包含區(qū)域Ω的兩個(gè)大圓,將問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化為有界域上的問(wèn)題(3)后,計(jì)算區(qū)域?yàn)棣窻2.為了處理DtN邊界條件我們需要在邊界ΓR2附近剖分出一個(gè)環(huán)形區(qū)域AR1R2,在其內(nèi)部使用環(huán)形網(wǎng)格剖分和譜方法基底.在剩余的部分,即ΩR1內(nèi)采用標(biāo)準(zhǔn)的三角網(wǎng)格剖分和多項(xiàng)式基底.記ΩR2上的整體剖分T=T1+T2,其中T1表示ΩR1中的三角剖分,T2表示AR1R2中的環(huán)形剖分.對(duì)于任意的單元K∈T1,我們定義其直徑若單元我們定義其直徑為圓環(huán)的寬度相應(yīng)地,對(duì)于剖分T1中的三角單元K的邊e,定義he為其長(zhǎng)度he：=diam e.在我們的方法中采用擬一致網(wǎng)格剖分,即存在常數(shù)C10,C2 0,使得設(shè)Fh表示剖分T1的“骨架”,即躍度與平均值的定義與其它標(biāo)準(zhǔn)DG方法相同.定義基于剖分T的分片Sobolev空間：其中那么問(wèn)題(3)的變分形式如下：求u∈X使得其中ah(·,·)是如下定義的DG雙線性形式：且G(v)的定義如下：這里a,b和λ是待定的正參數(shù).從上面的定義可以看出,如果u是問(wèn)題(3)的解,那么u滿足下式定義DG模如下：對(duì)于單元K∈T1,無(wú)論它是直邊三角形還是曲邊三角形,在計(jì)算中我們都可以將它映射為參考單元K,其頂點(diǎn)為(0,0),(0,1),(1,0).用P1(K)表示單元K上的全體線性多項(xiàng)式的集合.我們定義DG近似空間其中則Vh(?)X是有限維空間.下面我們給出基于變分形式(4)的DG格式：求uh∈Vh使得可以證明DG格式(6)的解是存在且唯一的.定理1.(存在唯一性定理)設(shè)則DG格式(6)存在唯一解.為了給出誤差估計(jì),我們首先證明了空間Vh的逼近性質(zhì)及雙線性形式定理2.設(shè)函數(shù)對(duì)于(?)φh∈Vh2,如下的跡逆不等式成立其中Gti是與h無(wú)關(guān)的正的常數(shù),這里“ti”表示“trace inverse",定理3.設(shè)ah(·,·)定義式(5)中待定的常數(shù)a，，b，λ分別滿足則雙線性形式bh(·,·)滿足下式,|bh(v,v)|≥Ccope,‖v‖DG2,(?)v∈Vh,其中Ccoer是與波數(shù)k和剖分h無(wú)關(guān)的正的常數(shù).定理4.存在與波數(shù)k無(wú)關(guān)的常數(shù)C0，使得借助空間Vh的逼近性質(zhì)及雙線性形式bh(·,·)的性質(zhì),我們證明了DG模和L2模的誤差估計(jì)如下：定理5.(DG-模誤差估計(jì))設(shè)區(qū)域Ω為光滑星形域,邊界(?)Ω是解析的,定理3的條件成立,當(dāng)k2h充分小時(shí),我們可以得到如下的誤差估計(jì)其中C0是與網(wǎng)格剖分h和波數(shù)k無(wú)關(guān)的常數(shù).定理6.(L2模誤差估計(jì))設(shè)定理5的條件滿足,當(dāng)k2h充分小吐我們可以得到如下的誤差估計(jì)其中C0是與網(wǎng)格剖分h和波數(shù)k無(wú)關(guān)的常數(shù).最后,我們應(yīng)用所提出的間斷有限元方法對(duì)障礙散射問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值求解.實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明我們的方法對(duì)于大波數(shù)情形也是有效的,并且其數(shù)值誤差收斂階與前面的理論證明相吻合.2.單縫散射問(wèn)題的Galerkin法設(shè)ΓUΓc表示R2中帶有單縫的良導(dǎo)體平面,其所在直線設(shè)為x軸,其中表示平面上的單縫,}＼r表示良導(dǎo)體平面.令單縫的左端點(diǎn)為原點(diǎn),單縫長(zhǎng)度為L(zhǎng).ui為入射場(chǎng),ur為平面產(chǎn)生的反射場(chǎng),即y=0時(shí),ui(x,y)+ur(x,y)=0.若入射場(chǎng)是入射角為θ(關(guān)于y軸)的平面波,那么其中當(dāng)y≥0時(shí),設(shè)參考場(chǎng)全場(chǎng)這里us表示散射場(chǎng).當(dāng)y0時(shí),全場(chǎng)由于Γc為良導(dǎo)體平面,那么由其物理性質(zhì)可知在Γc上ut=0.于是全場(chǎng)ut滿足：其中波數(shù)由于入射場(chǎng)ui和反射場(chǎng)ur都滿足Helmhotz方程,且在故散射場(chǎng)us滿足：對(duì)(10)關(guān)于x做Fourier變換可以解得：當(dāng)y0時(shí),當(dāng)y0時(shí),其中為零擴(kuò)張算子,定義如下：定義Γ上的Dirichlet-to-Neumann算子T如下：利用Γ上的DtN悄算子T和全場(chǎng)ut及其法向?qū)?shù)(?)ut/(?)y在Γ上的連續(xù)性,我們可以將問(wèn)題(10)-(12)化成如下r上的算子方程：其中于(16)中解得uΓs后,可由(13),(14)式得到散射場(chǎng)us.為了簡(jiǎn)單,我們記uΓs為u.于是方程(16)可以改寫為：對(duì)于實(shí)數(shù)s,定義Sobolev空間：相應(yīng)的模為當(dāng)不發(fā)生混淆時(shí),用分別代替借助上面的空間定義,可以證明方程(17)的解存在、唯一并且穩(wěn)定.其中C0為與g無(wú)關(guān)的常數(shù).設(shè)為H*2(Γ)的有限維子空間,且形成空間VN的一組基底.則解方程(17)的Galerkin法為：求使得可以證明數(shù)值解un。存在、唯一并且收斂到真解u.定理8.方程(18)的解存在且唯一定理9.設(shè)u是方程(17)的解,un是方程(18)的解,且在中終歸稠密,即則當(dāng)N充分大時(shí),下面的估計(jì)式成立,其中C0是與u，N無(wú)關(guān)的常數(shù).從而在我們所考慮的單縫散射問(wèn)題中,故所以,我們選取不失一般性,我們假設(shè)則算子方程(17)相應(yīng)的Galerkin方程可化為：解上面的方程可以得到uΓs的數(shù)值解通過(guò)uΓs的數(shù)值解即可得散射場(chǎng)us(x,y)的數(shù)值解.最后,我們證明了{(lán)VN}N∞=在空間H*1/2(r)中終歸稠密.定理10.有限維子空間列{VN}N=1∞在H*1/2(Β)中終歸稠密.我們應(yīng)用Galerkin法對(duì)單縫散射問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值模擬,其結(jié)果與實(shí)際的物理現(xiàn)象相吻合,說(shuō)明了算法的有效性.3.兩個(gè)反散射問(wèn)題的貝葉斯方法考慮下面的問(wèn)題：已知變量y∈RJ,求q∈Rn滿足如下方程這里我們稱y為觀測(cè)值,q為未知量.這是一個(gè)典型的反問(wèn)題模型,通常情況下觀測(cè)值y是帶有誤差的,即我們實(shí)際考慮的模型應(yīng)該是其中δ∈RJ為觀測(cè)誤差.應(yīng)用貝葉斯方法從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來(lái)思考以上問(wèn)題.首先將變量q,y和δ均視為隨機(jī)變量,那么反問(wèn)題的解就是給定y,求變量q的概率分布,即求條件分布q|y.這樣雖然不知道誤差δ的具體值,我們卻可以將它的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)寫入到了模型中.設(shè)隨機(jī)變量q的概率密度函數(shù)為π0(q),隨機(jī)變量δ與q相互獨(dú)立,且δ的概率密度函數(shù)為π(δ).當(dāng)q已知時(shí),y由(19)式?jīng)Q定,故y|q的概率密度函數(shù)為)).于是隨機(jī)變量y和q的聯(lián)合概率密度為由貝葉斯公式,我們就可以得到條件分布q|y的概率密度函數(shù).π0(q)通常稱為先驗(yàn)密度函數(shù),稱為似然函數(shù),πy(q)稱為后驗(yàn)密度函數(shù).設(shè)腳是具有密度函數(shù)πy的后驗(yàn)測(cè)度,μ0是具有密度函數(shù)π0的先驗(yàn)測(cè)度,那么.我們稱dμy/dμ0為Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù),它關(guān)于似然函數(shù)成正比,即利用Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)的概念可以將上面的分析推廣到無(wú)窮維的情形,即q∈X,y∈Y,X和Y均為無(wú)窮維空間.由上面的分析可以看出,應(yīng)用貝葉斯方法解反問(wèn)題主要可以分為以下三步：1.依據(jù)關(guān)于未知量q的所有先驗(yàn)信息來(lái)確定先驗(yàn)密度函數(shù)π0(q).2.根據(jù)誤差函數(shù)的性質(zhì)來(lái)確定似然函數(shù)π(y-g(q)),實(shí)際上似然函數(shù)反映了當(dāng)未知量q已知時(shí)觀測(cè)值y所滿足的分布.3.根據(jù)前兩步的準(zhǔn)備和貝葉斯公式,可以確定后驗(yàn)密度函數(shù)的表達(dá)形式,然后尋找合適的抽樣方法將其描述出來(lái)即可.3.1.內(nèi)腔體反散射問(wèn)題的貝葉斯方法考慮如下的內(nèi)腔體散射問(wèn)題,設(shè)D(?)R2是單連通區(qū)域且具有C2光滑的邊界.設(shè)點(diǎn)源和觀測(cè)點(diǎn)都位于區(qū)域D內(nèi)部的曲線C上,則內(nèi)腔體散射問(wèn)題可以描述如下：其中k0是波數(shù),ui為入射場(chǎng),定義如下：這里,是C上的一個(gè)固定點(diǎn),Φ(x,d)是二維Helmhotlz方程的基本解.邊界條件(22)中的B代表三類不同的邊界條件,即Dirichlet, Neumann 和 Robin邊界條件.我們所要考慮的反問(wèn)題就是已知測(cè)量曲線C上的散射場(chǎng)us及邊界條件(22),重構(gòu)腔體形狀D.下面為了簡(jiǎn)化問(wèn)題,我們?cè)O(shè)區(qū)域D是關(guān)于原點(diǎn)的星形域,即其中0r R0.為了后面證明的方便設(shè)q=lnr.故問(wèn)題的模型可以寫成如下形式其中為觀測(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù))是對(duì)應(yīng)于散射場(chǎng)方程(21)的有限維觀測(cè)算子,向量y是具有誤差δ的觀測(cè)值.這里q屬于函數(shù)空間X,對(duì)于X的選擇將在后面介紹.假設(shè)q滿足正態(tài)分布(也稱高斯分布)其中m0為期望,G0為協(xié)方差算子.誤差δ滿足正態(tài)分布N(0,Γ),其中Γ為有界協(xié)方差矩陣.由前面的分析可知Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)參照文獻(xiàn)[99]我們給出q所滿足的正態(tài)分布.設(shè)算子且定義域如下：由于星形域的表示中,r(θ)是2π周期的,所以這里我們?cè)诤瘮?shù)空間的符號(hào)中用方括號(hào)表示函數(shù)是2π周期的.假設(shè)q"(θ)滿足L2[0,2π]上的正態(tài)分布N(0,A-1).則由Karhunen-Loeve展開(kāi),我們可以得到其中an和bn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,其滿足的分布為Ⅳ(0,1).然后我們通過(guò)對(duì)q"(θ)積分來(lái)得到q(θ).而積分得到的結(jié)果并不是唯一的,我們選擇其中的一種周期形式來(lái)定義q(θ),如文獻(xiàn)[99]所示,定義其中q0～N(μ,σ2)是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量.對(duì)q"(θ)的展開(kāi)式逐項(xiàng)積分可得由積分算子的線性和連續(xù)性可知這樣得到的q(θ)依然是正態(tài)分布.根據(jù)文獻(xiàn)[95]中的引理6.25,可知上面定義的q"(θ)對(duì)于α1/2幾乎一定落在中.因此上面的逐項(xiàng)積分是可以進(jìn)行的,且g(θ)幾乎一定是C2,a的,因此設(shè)可以驗(yàn)證觀測(cè)算子g滿足如下的假設(shè)1：假設(shè)1(i)對(duì)于任意ε0,存在常數(shù)使得對(duì)于q∈X下式成立,(ii)對(duì)于任意t0,存在常數(shù)K=K(t)0,使得對(duì)于滿足t的q1,q2∈X,下式成立,則根據(jù)文獻(xiàn)[95]中的定理4.1,定理4.2和引理6.31可以得到如下的適定性定理.定理11.(適定性定理)設(shè)觀測(cè)算子g滿足假設(shè)1且則有(i)后驗(yàn)測(cè)度μg關(guān)于先驗(yàn)測(cè)度μ0絕對(duì)連續(xù),且Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)(ii)后驗(yàn)測(cè)度μg是L2[0,2π]上的一個(gè)概率測(cè)度.(iii)后驗(yàn)測(cè)度μy關(guān)于觀測(cè)值y是Lipschitz連續(xù)的,即存在常數(shù)使得其中這里，Hellinger距離定義如下:若μ1和μ2都關(guān)于μ0絕對(duì)連續(xù),則3.2.單縫反散射問(wèn)題的貝葉斯方法下面考慮點(diǎn)源入射時(shí)的單縫散射反問(wèn)題：假設(shè)已知下半平面一條線上的散射場(chǎng)值,目標(biāo)是反演點(diǎn)源的位置.單縫r的長(zhǎng)度仍然設(shè)為π,已知y=a上若干點(diǎn)的散射場(chǎng)測(cè)量值其中δ為測(cè)量誤差,由單縫散射問(wèn)題中的方程(10)-(12)決定,目標(biāo)是反演點(diǎn)源的位置q=(x,y).假設(shè)我們事先已知點(diǎn)源的大致位置在[b,c]×[e,f]的區(qū)域中,這樣初始分布可以采用均勻分布依然假設(shè)誤差δ滿足正態(tài)分布Ⅳ(0,σ2I),則根據(jù)貝葉斯公式,當(dāng)時(shí),后驗(yàn)分布的密度函數(shù)正比于當(dāng)(x,y)不在區(qū)域[b,c]×[e,f]中時(shí),后驗(yàn)分布密度函數(shù)為0.利用MCMC方法抽樣描述上述關(guān)于q的后驗(yàn)分布,取平均值后即可做為點(diǎn)源位置的估計(jì).我們對(duì)內(nèi)腔體散射中重構(gòu)腔體形狀的問(wèn)題及單縫散射中反演點(diǎn)源位置的問(wèn)題,應(yīng)用貝葉斯方法分別進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了貝葉斯方法的有效性.
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【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：TN011

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1 周龍?bào)J,陳庭金;低能K-π散射[J];物理學(xué)報(bào);1965年01期

2 張覃z

本文編號(hào)：1435321