本文關(guān)鍵詞：某些正反散射問題數(shù)值算法的研究　出處：《吉林大學》2015年博士論文　論文類型：學位論文

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【摘要】：聲波和電磁波的散射與反散射理論在數(shù)學物理領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用,并且在實際生活中有著很多應用,如醫(yī)學成像,雷達探測,無損探傷等.本文主要討論了障礙散射問題和單縫散射問題的數(shù)值求解及貝葉斯方法在內(nèi)腔體反散射問題和單縫反散射問題中的應用.我們所考慮的散射問題模型均為Helmholtz方程.由于障礙散射問題和單縫散射問題都是無界域上的散射問題,進行數(shù)值求解時首先要考慮無界域截斷問題.在本文中,我們利用Dirichlet-to-Neumann算子(簡稱DtN算子)將無界域問題轉(zhuǎn)化為有界域問題.與常用的吸收邊界條件相比；這種轉(zhuǎn)化是精確的,沒有近似.因此,在第一章的緒論中,我們介紹了Hehmholtz方程和 Dirichlet-to-Neumann算子及文中所要探討的幾種散射問題的研究現(xiàn)狀,并列出了本文的主要工作.第二章中我們提出了一種處理DtN邊界條件的間斷有限元方法,以障礙散射問題為模型介紹了算法的具體格式,證明了顯波數(shù)k的DG模和L2模誤差估計,并給出了相應的數(shù)值實驗結(jié)果.第三章中我們利用DtN算子將單縫散射(single slit scattering)問題轉(zhuǎn)化為單縫處的一個算子方程,證明了算子方程解的存在性、唯一性及穩(wěn)定性.應用Galerkin法對算子方程進行數(shù)值求解,證明了數(shù)值解的存在性、唯一性和收斂性.最后進行了數(shù)值模擬,其結(jié)果與實際的物理現(xiàn)象一致,說明了算法的有效性.第四章中介紹了兩個反散射問題的貝葉斯方法.以內(nèi)腔體反散射問題為例,給出了貝葉斯方法的具體步驟及方法適定性分析,數(shù)值實驗結(jié)果說明了方法的可行性.同時,我們還利用貝葉斯方法反演了單縫散射問題中點源的位置,給出了相應的數(shù)值算例.本文的最后一章為總結(jié),對全文內(nèi)容進行了總結(jié)并列出了后續(xù)研究的幾個方向.1.處理DtN邊界條件的間斷有限元方法考慮障礙散射問題,設(shè)區(qū)域Ω (?)R2為Lipschitz區(qū)域,我們用表示區(qū)域Ω的外部.設(shè)Ω為包含原點的星形域且邊界(?)Ω充分光滑,例如,(?)Ω是C2類的.我們考慮如下的具有Dirichlet邊界條件和Sommerfeld輻射條件的Helmholtz方程外問題：給定入射場ui,求散射場us使得對于任意的函數(shù)f∈H1/2((?)BR),定義DtN算子如下：借助DtN算子我們將問題(1)轉(zhuǎn)化為如下有界域上的問題其中上的單位外法向量,為了方便,我們將us簡寫成u.這里,BR1和BR2為包含區(qū)域Ω的兩個大圓,將問題(1)轉(zhuǎn)化為有界域上的問題(3)后,計算區(qū)域為ΩR2.為了處理DtN邊界條件我們需要在邊界ΓR2附近剖分出一個環(huán)形區(qū)域AR1R2,在其內(nèi)部使用環(huán)形網(wǎng)格剖分和譜方法基底.在剩余的部分,即ΩR1內(nèi)采用標準的三角網(wǎng)格剖分和多項式基底.記ΩR2上的整體剖分T=T1+T2,其中T1表示ΩR1中的三角剖分,T2表示AR1R2中的環(huán)形剖分.對于任意的單元K∈T1,我們定義其直徑若單元我們定義其直徑為圓環(huán)的寬度相應地,對于剖分T1中的三角單元K的邊e,定義he為其長度he：=diam e.在我們的方法中采用擬一致網(wǎng)格剖分,即存在常數(shù)C10,C2 0,使得設(shè)Fh表示剖分T1的“骨架”,即躍度與平均值的定義與其它標準DG方法相同.定義基于剖分T的分片Sobolev空間：其中那么問題(3)的變分形式如下：求u∈X使得其中ah(·,·)是如下定義的DG雙線性形式：且G(v)的定義如下：這里a,b和λ是待定的正參數(shù).從上面的定義可以看出,如果u是問題(3)的解,那么u滿足下式定義DG模如下：對于單元K∈T1,無論它是直邊三角形還是曲邊三角形,在計算中我們都可以將它映射為參考單元K,其頂點為(0,0),(0,1),(1,0).用P1(K)表示單元K上的全體線性多項式的集合.我們定義DG近似空間其中則Vh(?)X是有限維空間.下面我們給出基于變分形式(4)的DG格式：求uh∈Vh使得可以證明DG格式(6)的解是存在且唯一的.定理1.(存在唯一性定理)設(shè)則DG格式(6)存在唯一解.為了給出誤差估計,我們首先證明了空間Vh的逼近性質(zhì)及雙線性形式定理2.設(shè)函數(shù)對于(?)φh∈Vh2,如下的跡逆不等式成立其中Gti是與h無關(guān)的正的常數(shù),這里“ti”表示“trace inverse",定理3.設(shè)ah(·,·)定義式(5)中待定的常數(shù)a，，b，λ分別滿足則雙線性形式bh(·,·)滿足下式,|bh(v,v)|≥Ccope,‖v‖DG2,(?)v∈Vh,其中Ccoer是與波數(shù)k和剖分h無關(guān)的正的常數(shù).定理4.存在與波數(shù)k無關(guān)的常數(shù)C0，使得借助空間Vh的逼近性質(zhì)及雙線性形式bh(·,·)的性質(zhì),我們證明了DG模和L2模的誤差估計如下：定理5.(DG-模誤差估計)設(shè)區(qū)域Ω為光滑星形域,邊界(?)Ω是解析的,定理3的條件成立,當k2h充分小時,我們可以得到如下的誤差估計其中C0是與網(wǎng)格剖分h和波數(shù)k無關(guān)的常數(shù).定理6.(L2模誤差估計)設(shè)定理5的條件滿足,當k2h充分小吐我們可以得到如下的誤差估計其中C0是與網(wǎng)格剖分h和波數(shù)k無關(guān)的常數(shù).最后,我們應用所提出的間斷有限元方法對障礙散射問題進行了數(shù)值求解.實驗結(jié)果說明我們的方法對于大波數(shù)情形也是有效的,并且其數(shù)值誤差收斂階與前面的理論證明相吻合.2.單縫散射問題的Galerkin法設(shè)ΓUΓc表示R2中帶有單縫的良導體平面,其所在直線設(shè)為x軸,其中表示平面上的單縫,}＼r表示良導體平面.令單縫的左端點為原點,單縫長度為L.ui為入射場,ur為平面產(chǎn)生的反射場,即y=0時,ui(x,y)+ur(x,y)=0.若入射場是入射角為θ(關(guān)于y軸)的平面波,那么其中當y≥0時,設(shè)參考場全場這里us表示散射場.當y0時,全場由于Γc為良導體平面,那么由其物理性質(zhì)可知在Γc上ut=0.于是全場ut滿足：其中波數(shù)由于入射場ui和反射場ur都滿足Helmhotz方程,且在故散射場us滿足：對(10)關(guān)于x做Fourier變換可以解得：當y0時,當y0時,其中為零擴張算子,定義如下：定義Γ上的Dirichlet-to-Neumann算子T如下：利用Γ上的DtN悄算子T和全場ut及其法向?qū)?shù)(?)ut/(?)y在Γ上的連續(xù)性,我們可以將問題(10)-(12)化成如下r上的算子方程：其中于(16)中解得uΓs后,可由(13),(14)式得到散射場us.為了簡單,我們記uΓs為u.于是方程(16)可以改寫為：對于實數(shù)s,定義Sobolev空間：相應的模為當不發(fā)生混淆時,用分別代替借助上面的空間定義,可以證明方程(17)的解存在、唯一并且穩(wěn)定.其中C0為與g無關(guān)的常數(shù).設(shè)為H*2(Γ)的有限維子空間,且形成空間VN的一組基底.則解方程(17)的Galerkin法為：求使得可以證明數(shù)值解un。存在、唯一并且收斂到真解u.定理8.方程(18)的解存在且唯一定理9.設(shè)u是方程(17)的解,un是方程(18)的解,且在中終歸稠密,即則當N充分大時,下面的估計式成立,其中C0是與u，N無關(guān)的常數(shù).從而在我們所考慮的單縫散射問題中,故所以,我們選取不失一般性,我們假設(shè)則算子方程(17)相應的Galerkin方程可化為：解上面的方程可以得到uΓs的數(shù)值解通過uΓs的數(shù)值解即可得散射場us(x,y)的數(shù)值解.最后,我們證明了{VN}N∞=在空間H*1/2(r)中終歸稠密.定理10.有限維子空間列{VN}N=1∞在H*1/2(Β)中終歸稠密.我們應用Galerkin法對單縫散射問題進行了數(shù)值模擬,其結(jié)果與實際的物理現(xiàn)象相吻合,說明了算法的有效性.3.兩個反散射問題的貝葉斯方法考慮下面的問題：已知變量y∈RJ,求q∈Rn滿足如下方程這里我們稱y為觀測值,q為未知量.這是一個典型的反問題模型,通常情況下觀測值y是帶有誤差的,即我們實際考慮的模型應該是其中δ∈RJ為觀測誤差.應用貝葉斯方法從統(tǒng)計學的角度來思考以上問題.首先將變量q,y和δ均視為隨機變量,那么反問題的解就是給定y,求變量q的概率分布,即求條件分布q|y.這樣雖然不知道誤差δ的具體值,我們卻可以將它的統(tǒng)計性質(zhì)寫入到了模型中.設(shè)隨機變量q的概率密度函數(shù)為π0(q),隨機變量δ與q相互獨立,且δ的概率密度函數(shù)為π(δ).當q已知時,y由(19)式?jīng)Q定,故y|q的概率密度函數(shù)為)).于是隨機變量y和q的聯(lián)合概率密度為由貝葉斯公式,我們就可以得到條件分布q|y的概率密度函數(shù).π0(q)通常稱為先驗密度函數(shù),稱為似然函數(shù),πy(q)稱為后驗密度函數(shù).設(shè)腳是具有密度函數(shù)πy的后驗測度,μ0是具有密度函數(shù)π0的先驗測度,那么.我們稱dμy/dμ0為Radon-Nikodym導數(shù),它關(guān)于似然函數(shù)成正比,即利用Radon-Nikodym導數(shù)的概念可以將上面的分析推廣到無窮維的情形,即q∈X,y∈Y,X和Y均為無窮維空間.由上面的分析可以看出,應用貝葉斯方法解反問題主要可以分為以下三步：1.依據(jù)關(guān)于未知量q的所有先驗信息來確定先驗密度函數(shù)π0(q).2.根據(jù)誤差函數(shù)的性質(zhì)來確定似然函數(shù)π(y-g(q)),實際上似然函數(shù)反映了當未知量q已知時觀測值y所滿足的分布.3.根據(jù)前兩步的準備和貝葉斯公式,可以確定后驗密度函數(shù)的表達形式,然后尋找合適的抽樣方法將其描述出來即可.3.1.內(nèi)腔體反散射問題的貝葉斯方法考慮如下的內(nèi)腔體散射問題,設(shè)D(?)R2是單連通區(qū)域且具有C2光滑的邊界.設(shè)點源和觀測點都位于區(qū)域D內(nèi)部的曲線C上,則內(nèi)腔體散射問題可以描述如下：其中k0是波數(shù),ui為入射場,定義如下：這里,是C上的一個固定點,Φ(x,d)是二維Helmhotlz方程的基本解.邊界條件(22)中的B代表三類不同的邊界條件,即Dirichlet, Neumann 和 Robin邊界條件.我們所要考慮的反問題就是已知測量曲線C上的散射場us及邊界條件(22),重構(gòu)腔體形狀D.下面為了簡化問題,我們設(shè)區(qū)域D是關(guān)于原點的星形域,即其中0r R0.為了后面證明的方便設(shè)q=lnr.故問題的模型可以寫成如下形式其中為觀測點的個數(shù))是對應于散射場方程(21)的有限維觀測算子,向量y是具有誤差δ的觀測值.這里q屬于函數(shù)空間X,對于X的選擇將在后面介紹.假設(shè)q滿足正態(tài)分布(也稱高斯分布)其中m0為期望,G0為協(xié)方差算子.誤差δ滿足正態(tài)分布N(0,Γ),其中Γ為有界協(xié)方差矩陣.由前面的分析可知Radon-Nikodym導數(shù)參照文獻[99]我們給出q所滿足的正態(tài)分布.設(shè)算子且定義域如下：由于星形域的表示中,r(θ)是2π周期的,所以這里我們在函數(shù)空間的符號中用方括號表示函數(shù)是2π周期的.假設(shè)q"(θ)滿足L2[0,2π]上的正態(tài)分布N(0,A-1).則由Karhunen-Loeve展開,我們可以得到其中an和bn是獨立同分布的隨機變量,其滿足的分布為Ⅳ(0,1).然后我們通過對q"(θ)積分來得到q(θ).而積分得到的結(jié)果并不是唯一的,我們選擇其中的一種周期形式來定義q(θ),如文獻[99]所示,定義其中q0～N(μ,σ2)是一個正態(tài)隨機變量.對q"(θ)的展開式逐項積分可得由積分算子的線性和連續(xù)性可知這樣得到的q(θ)依然是正態(tài)分布.根據(jù)文獻[95]中的引理6.25,可知上面定義的q"(θ)對于α1/2幾乎一定落在中.因此上面的逐項積分是可以進行的,且g(θ)幾乎一定是C2,a的,因此設(shè)可以驗證觀測算子g滿足如下的假設(shè)1：假設(shè)1(i)對于任意ε0,存在常數(shù)使得對于q∈X下式成立,(ii)對于任意t0,存在常數(shù)K=K(t)0,使得對于滿足t的q1,q2∈X,下式成立,則根據(jù)文獻[95]中的定理4.1,定理4.2和引理6.31可以得到如下的適定性定理.定理11.(適定性定理)設(shè)觀測算子g滿足假設(shè)1且則有(i)后驗測度μg關(guān)于先驗測度μ0絕對連續(xù),且Radon-Nikodym導數(shù)(ii)后驗測度μg是L2[0,2π]上的一個概率測度.(iii)后驗測度μy關(guān)于觀測值y是Lipschitz連續(xù)的,即存在常數(shù)使得其中這里，Hellinger距離定義如下:若μ1和μ2都關(guān)于μ0絕對連續(xù),則3.2.單縫反散射問題的貝葉斯方法下面考慮點源入射時的單縫散射反問題：假設(shè)已知下半平面一條線上的散射場值,目標是反演點源的位置.單縫r的長度仍然設(shè)為π,已知y=a上若干點的散射場測量值其中δ為測量誤差,由單縫散射問題中的方程(10)-(12)決定,目標是反演點源的位置q=(x,y).假設(shè)我們事先已知點源的大致位置在[b,c]×[e,f]的區(qū)域中,這樣初始分布可以采用均勻分布依然假設(shè)誤差δ滿足正態(tài)分布Ⅳ(0,σ2I),則根據(jù)貝葉斯公式,當時,后驗分布的密度函數(shù)正比于當(x,y)不在區(qū)域[b,c]×[e,f]中時,后驗分布密度函數(shù)為0.利用MCMC方法抽樣描述上述關(guān)于q的后驗分布,取平均值后即可做為點源位置的估計.我們對內(nèi)腔體散射中重構(gòu)腔體形狀的問題及單縫散射中反演點源位置的問題,應用貝葉斯方法分別進行了數(shù)值實驗,實驗說明了貝葉斯方法的有效性.
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【學位授予單位】：吉林大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：TN011

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