本文選題：正倒向隨機微分方程　切入點：預估校正方法　出處：《山東大學》2016年博士論文　論文類型：學位論文

【摘要】：在本文中,我們將系統(tǒng)研究求解正倒向隨機微分方程(FBSDEs)和帶跳的正倒向隨機微分方程(FBSDEJs)的高精度數(shù)值算法。在[54]中,Pardoux和彭實戈院士首次證明了非線性倒向隨機微分方程(BSDE)解的存在唯一性。而經(jīng)濟學家Duffie和Epstein從經(jīng)濟學角度出發(fā),也獨立的提出了一種特殊形式的BSDE[26]。1991年,彭實戈院士引入了著名的非線性Feynman-Kac公式[58],它揭示了一類擬線性偏微分方程(PDEs)與BSDE之間的關系,這使我們可以通過BSDE研究諸如反應擴散方程和Navier-Stokes方程等重要的非線性偏微分方程系統(tǒng)。自此之后,FBSDEs的理論研究取得了迅速發(fā)展,并在很多領域中得到了廣泛應用,例如隨機最優(yōu)控制,金融數(shù)學,偏微分方程,風險度量,非線性期望以及隨機微分博弈等等。在實際問題中,FBSDEs的結構通常十分復雜,很難通過解析方法得到其顯式解。因此,研究FBSDEs的數(shù)值算法就顯得尤為重要。根據(jù)目前的研究情況,求解FBSDEs的數(shù)值方法大致可分為兩類：一類是以非線性Feynman-Kac公式為基礎,借助求解PDEs的數(shù)值方法來求解FBSDEs；另一類方法則直接分析和離散FBSDEs,利用概率統(tǒng)計工具對其進行數(shù)值求解。本文將從第二類方法入手,研究求解FBSDEs的高階數(shù)值格式。長期以來,在FBSDEs的數(shù)值格式中,需要通過求解非線性方程獲得Yt的高精度數(shù)值解。這使我們不得不借助一些迭代方法,增加了算法的復雜度。類似的問題也出現(xiàn)在常微分方程(ODEs)數(shù)值算法的研究中,而預估校正方法很好的解決了這一問題。受此啟發(fā),我們通過引入一個新的Gauss過程和一個新的Poisson隨機測度,對非耦合FBSDEs和FBSDEJs分別提出了一種顯格式(預估校正格式),并對所提格式進行了嚴格的誤差估計和收斂性分析,證明了所提格式能夠達到二階收斂。然而,在分析過程中,我們還得到了以下結論：對于求解FBSDEs和FBSDEJs的預估校正格式,使用弱二階(或更高階)格式求解正向方程是使倒向方程的數(shù)值解達到二階收斂的必要條件。事實上,在[88,94]等研究工作中,作者也得到了類似的結論。這個條件極大的限制了預估校正格式在實際問題中的應用,特別是在高維情況。其主要原因有以下兩個方面：第一,正向隨機微分方程(SDE)和帶跳的隨機微分方程(SDEJ)的高階格式非常復雜,尤其在高維情況時很難實現(xiàn)。特別是SDEJ的高階格式,不僅形式復雜,在進行數(shù)值模擬時還需要考慮足夠多的跳,才能保證其高階收斂性。第二,在許多實際問題中,人們只關心倒向方程的解。在很多模型中,正向方程只是對狀態(tài)變量的描述,我們對其數(shù)值解的精度并不關心。例如,在Black-Scholes期權定價模型中,正向方程是對股票價格的描述,而股票價格是客觀存在的,當前時刻的股票價格也是已知的。我們關心的是在當前的股票價格下,以該股票為標的物的期權的價格,它是倒向方程的解Yt.綜合這兩個因素,使用高階格式求解正向方程計算量大且收效甚微,得不償失。因此,我們很自然的會提出以下問題：能否提出一個求解FBSDEs或FBSDEJs的數(shù)值格式,當使用簡單的(低階收斂的)數(shù)值格式求解正向方程時,仍然使倒向方程的數(shù)值解達到高階收斂?帶著這個問題,我們使用一種嶄新的方法對BSDE進行研究,得到了兩個一階ODEs�；贠DEs中的一階微分項與擴散過程生成元之間的等價關系,我們提出了求解FBSDEs的全新多步格式。結合擴散過程生成元的局部性這一特點,在全新多步格式中,可以使用Euler格式求解SDE,而不影響對ODEs中一階微分項的逼近精度,從而使BSDE的數(shù)值解能夠保持高階收斂性。對于FBSDEJs,通過類似的研究方法,我們也提出了一類多步格式。根據(jù)跳擴散過程生成元的局部性特點,在保證倒向方程的數(shù)值解達到高階收斂的前提下,我們不僅可以使用Euler格式求解正向SDEJ,而且只需要考慮一個跳。這顯著的降低了數(shù)值格式的計算復雜度。求解FBSDEs和FBSDEJs全新多步格式的提出,對上文提到的問題給出了肯定的答案。Euler格式不僅計算簡便,而且易于推廣到高維情況。因此,多步格式的這種特點也為高維FBSDEs勺高階算法研究奠定了良好的基礎。在此基礎上,為了應對維數(shù)災難,算法還需要在其它各個方面提高運算效率。在本文中,結合稀疏網(wǎng)格和譜方法,我們提出了求解高維FBSDEs的高效數(shù)值算法。算法使用稀疏網(wǎng)格對高維空間進行離散,并通過稀疏結構的Gauss積分公式逼近高維積分。對于高維空間中的函數(shù)逼近問題,我們首先將函數(shù)在一組具有分層結構的基底下展開,然后使用快速變換求出其展開系數(shù)。通過以上工作,我們提出了求解高維FBSDEs的高階收斂算法,并通過數(shù)值實驗證明了其高效性。最后,我們對隨機最優(yōu)控制問題的數(shù)值算法進行研究。根據(jù)推廣的隨機最大值原理,隨機最優(yōu)控制問題可以轉(zhuǎn)化為一個帶有外部最優(yōu)條件的FBSDEs系統(tǒng)。然后,通過分別研究優(yōu)化算法和FBSDEs的數(shù)值解法,我們提出了一個求解隨機最優(yōu)控制問題的一般算法。在隨機最優(yōu)控制問題中,狀態(tài)方程的漂移和擴散系數(shù)都含有未知的控制過程,這使我們很難對狀態(tài)方程進行高精度求解。根據(jù)這個特點,我們選取全新的多步格式作為求解FBSDEs的數(shù)值方法。在不進行更精細的時間剖分的前提下,得到了求解隨機最優(yōu)控制問題的二階收斂算法。綜上所述,本文的主要創(chuàng)新之處可以總結為以下幾點。1.提出了求解非耦合FBSDEs和FBSDEJs的顯式二階格式。利用預估校正的思想,避免了求解K時的迭代過程,并通過誤差分析,嚴格證明了所提格式可以達到二階收斂。2.首次提出求解耦合FBSDEs和FBSDEJs的高階格式�；陔S機分析和正倒向隨機微分方程的理論,分別得到了與FBSDEs和FBSDEJs對應一階ODEs。以ODEs的性質(zhì)和數(shù)值格式為基礎,提出了一類全新的多步格式。根據(jù)擴散過程和跳擴散過程生成元的局部特性,在這類格式中,我們可以使用Euler方法求解正向方程,同時使得倒向方程的數(shù)值解仍然保持高階收斂性。3.首次提出求解高維FBSDEs的高階算法。以所提多步格式為基礎,通過使用具有自嵌套結構的稀疏網(wǎng)格和具有分層結構的正交多項式,提出了求解高維FBSDEs的高效多步算法。在這個算法中,稀疏網(wǎng)格上的快速變換使我們能夠高效的求出高維空間中函數(shù)在所選基底下的展開系數(shù),極大地提高了整個算法的運算效率。4.首次提出了求解隨機最優(yōu)控制問題的高階算法。以推廣的隨機最大值原理為基礎,提出了通過FBSDEs求解隨機最優(yōu)控制問題的一般算法。然后,根據(jù)隨機最優(yōu)控制問題的特點,選取適當?shù)膬?yōu)化算法和FBSDEs數(shù)值格式,成功的構造出了求解隨機最優(yōu)控制問題的二階算法。在一些金融和經(jīng)濟學問題中,該算法都有良好的表現(xiàn)。下面,我們分別介紹每一章的主要內(nèi)容和得到的結果。第一章中我們回顧了FBSDEs和FBSDEJs的研究進程以及一些主要的數(shù)值格式。第二章主要介紹了一些關于FBSDEs和FBSDEJs的基礎知識。在介紹FBSDEs之前,我們首先引入一個帶域流的完備概率空間(Ω,F,F,P),其中F={Ft}0≤t≤T,Ft是由d維布朗運動Wt=(Wt1,…,Wtd)T生成的自然σ-域流,T是終端時刻�，F(xiàn)在,我們考慮定義在(Ω,F,F,P)上的正倒向隨機微分方程,X0∈F0和ζ∈FT是給定的隨機變量,分別作為SDE的初始條件和BSDE的終端條件,f[0.T]×Rq×Rp×Rp×d→FP稱為BSDE的生成元。(Xt,Yt,Zt):[0,T]×Ω→Rq×Rp×RP×d是需要求解的未知過程。我們稱(Xt,Yt,Zt)是方程(1)的L2-適應解,如果(Xt,Yt,Zt)是平方可積的Ft-適應過程,且滿足FBSDEs(1)。FBSDEs(1)稱為非耦合的,如果正向方程的漂移系數(shù)b和擴散系數(shù)σ不依賴于K和Zt在本文中,我們假設所研究的FBSDEs其終端條件是XT的確定性函數(shù),即ζ=φ(XT),并且參數(shù)b,σ和f都是(t,Xt,Yt,Zt)的確定性函數(shù)。對于帶跳的正倒向隨機微分方程,我們需要引入另一個概率空間(Ω,F,F,P),其中F={Ft}0-t-T是一族右連續(xù)的域流,T是終端時刻。Ft是由下面兩個相互獨立的隨機過程生成的,1.[Ws}，，0≤s≤t：d-維布朗運動。2.μ(A,[0,s]),0≤s≤t,A∈ε：E×[0,T]上的泊松隨機測度,其中ε表示E上的Borel集。在(Ω,F,F,P)上,我們考慮帶跳的正倒向隨機微分方程。v(A,[0,t])叫做泊松隨機測度的補償過程,它是E×[0,T]上的有限測度。在本文中,我們假設v(A,[0,t])具有以下形式,在第三章中,我們提出了求解FBSDEs和FBSDEJs的預估校正格式,并通過誤差分析,嚴格的證明了其二階收斂性。首先,引入一個新的隨機過程△Wtn,s然后,根據(jù)得到的參考方程,我們提出了求解FBSDEs的預估校正格式,格式1.給定隨機變量X0,YN和ZN,對n=N-1...,1,0通過以下步驟倒向求解隨機變量Yn和Zn,接下來,我們對所提格式的收斂性進行分析,得到了下面的定理。定理1.在一定的假設條件下,對于充分小的At,我們有以下估計。從這個定理中我們可以看出,當使用弱二階格式求解SDE時,求解FBSDEs的預估校正格式可以達到二階收斂。類似的,對于FBSDEJs,我們需要在△Wtn,s的基礎上,再引入另一個新的隨機過程,程,并以此為依據(jù)提出了下面求解FBSDEJs的預估校正格式。格式2.對于非耦合的FBSDEJs,假設正向SDEJ的初始條件X0和BSDEJ的終端條件(YN,ZN,ΓN)都是已知的。那么對n=N-1,N-2,...,0,我們可以通過以下方法倒向求解(Yn,Zn,Γn),通過對格式中的截斷誤差進行分析,我們得到了如下定理。定理2.在一定的假設條件下,對充分小的時間剖分步長Δt,我們有,其中,α,β,γ與求解正向SDEJ數(shù)值算法的弱收斂階有關,C,C1,Ω都是與At無關的正常數(shù),C依賴于c0和L,C1與c0,T和L有關,C2依賴于c0,T,K,X0和函數(shù)b,σ,c,f,φ及其導數(shù)的上界。同樣的,根據(jù)上述定理,使用弱二階收斂的格式求解SDEJ,是BSDEJ的數(shù)值解達到二階收斂的必要條件。雖然正向SDE和SDEJ的數(shù)值格式已經(jīng)得到了深入研究,但其高階格式的形式依舊非常復雜。特別是在求解SDEJ時,隨著收斂階要求的提高,在求解過程中必須考慮足夠多的跳,這使得數(shù)值格式更加復雜。因此,對正向SDE和SDEJ高階格式的需求,極大的增加了我們獲得BSDE和BSDEJ高精度數(shù)值解的難度。本章的研究結果具有以下重要意義：1.利用預估校正的思想,構造了求解非耦合FBSDEs和FBSDEJs的二階顯格式。在以往的高階格式中,必須使用隱格式,通過迭代方法求解非線性方程組來獲得Yt的高精度數(shù)值解。顯格式的提出使我們舍棄了這個迭代過程,在簡化了算法的同時仍然保持了數(shù)值格式的二階收斂性。2.通過誤差分析,在理論上嚴格證明了FBSDEs和FBSDEJs預估校正格式的二階收斂性,同時表明了這種二階收斂性依賴于求解正向方程的弱二階(或更高階)格式。這不僅是一個重要的理論結果,同時也揭示了一類FBSDEs和FBSDEJs數(shù)值格式的誤差結構,啟示我們?nèi)粝胧笷BSDEs和FBSDEJs的高階格式不依賴于正向方程的高階數(shù)值解,需要用新的思路對FBSDEs和FBSDEJs進行研究。在第四罩中,我們用一種嶄新的思路研究FBSDEs。通過對BSDE進行研究,得到了兩個一階ODEs作為數(shù)值格式的參考方程。在此基礎上,通過對一階微分項進行估計,我們提出了求解耦合FBSDEs的全新多步格式。根據(jù)擴散過程生成元具有的局部性特點,這類多步格式在使用Euler格式求解正向SDE的前提下,仍然能夠使BSDE的數(shù)值解達到高階收斂。令擴散過程Xt滿足如下SDE,那么Xt關于9的生成元Atx被定義為,生成元Atx具有以下性質(zhì),其中Lo為,由此我們可以得到以下定理。定理3.對于固定的t0t和xo∈Rd,如果f∈C1,2([0,T]×Rq)且Et0x0[||L0f(t,Xt)|].+∞,我們可以得到,從上述定理中可以看出,Atxf(t,x)的取值只與b,σ,f及其導數(shù)在點(t,x)的取值有關,這就是我們所說的局部性。結合這個性質(zhì),在對每一個時間層引入空間剖分Dhn后,我們提出了求解耦合FBSDEs的全新多步格式。格式3.對正整數(shù)1≤k≤6,和給定的容許誤差∈0,假設對i=0,1...,k-1,YN-i和ZN-在DhN-i中的取值是已知的,那么,令n=N-k,…,0,對x∈Dhn,通過以下步驟求結合ODEs的相關理論結果并通過大量的數(shù)值實驗,我們得到了以下結論：對于1≤k≤6,所提多步格式是穩(wěn)定的,且k步格式可以達到k階收斂。本章中的研究成果具有以下幾點創(chuàng)新之處：1.使用嶄新的思路研究BSDE,獲得了兩個一階ODEs,作為提出數(shù)值格式的參考方程。并且建立了ODEs中的一階導數(shù)項與擴散過程生成元之間的等價關系。2.根據(jù)擴散過程生成元的局部性特點,我們在對ODEs的一階導數(shù)項進行估計時,可以選取多種滿足等價條件的數(shù)值格式求解正向SDE,其中包括最簡單的Euler格式。這重要發(fā)現(xiàn)使我們在使用Euler格式求解SDE的條件下,仍然可以得到BSDE高階收斂的數(shù)值解,這在FBSDEs數(shù)值算法的研究中尚屬首次。在第五章中,根據(jù)跳擴散過程生成元的局部性,使用與第四章中類似的研究方法,我們提出了求解FBSDEJs的多步格式。與第四章不同的是,在保證BSDEJ的數(shù)值解能夠達到高階收斂的前提下,我們發(fā)現(xiàn)不僅可以使用Euler格式求解SDEJ,而且可以在SDEJ的Euler格式中只考慮一個跳。令Xt是一個取值于Rd的跳擴散過程,對于給定的可測函數(shù)g：[0,T]×Rd→ R,Xt關于函數(shù)夕的生成元Atx被定義為,經(jīng)過我們的分析,對于以下兩個跳擴散過程,它們關于函數(shù)g的生成元相等,即以此為基礎,結合得到的三個一階ODEs,我們提出了求解FBSDEJs的多步格式。格式4.對正整數(shù)k≤6,假設對i=0,1...,k-1,YN-i和ZN-i都是已知的,那么通過大量的數(shù)值實驗,我們驗證了多步格式的穩(wěn)定性和高階收斂性,而且在求解具有奇異核函數(shù)的非局部問題中也取得了良好的效果。本章的研究成果具有以下重要意義：1.本章中提出的FBSDEJs的多步格式,允許我們使用只帶一個跳的Euler格式求解正向SDEJ,而BSDEJs的數(shù)值解依然保持高階收斂。2.FBSDEJs在非局部問題中有著重要應用,本章中提出的FBSDEJs的多步格式,在處理具有奇異核函數(shù)的非局部問題時,也體現(xiàn)出了高階收斂性和穩(wěn)定性。在第六章中,以第四章的多步格式為基礎,通過使用稀疏網(wǎng)格和譜方法等工具,我們給出了一個求解高維FBSDEs的高階收斂算法。通過適當?shù)倪x取基函數(shù)和網(wǎng)格點,快速變換的使用顯著提高了算法的效率。在本章中,我們首先介紹文獻[72]中提出的稀疏網(wǎng)格方法。并利用稀疏網(wǎng)格對高維空間進行剖分�？紤]一列R中的點集{Xi}i=1∞,根據(jù)這列一維的點集,通過以下方式構造g維稀疏網(wǎng)格,其中p≥q是一個整數(shù),i=(i1...,iq)是多重指標。稱一列一維點集是自嵌套的(nested)如果它滿足條件x1∈x2…∈xk∈….為了對高維空間內(nèi)的函數(shù)進行逼近,我們選取一組基函數(shù){φ(x)k}k=0∞,通常為正交多項式。對于自嵌套的一列點集,稱{φ(x)k}k=0∞。具有分層結構,如果對任意的正整數(shù)i,滿足,當使用由自嵌套的點集生成的稀疏網(wǎng)格xqp,和具有分層結構的基函數(shù){φ(x)k}k=0∞。時,對于定義在R·中的函數(shù)f,可以通過其在xqp點上的取值定義下面的插值算子,由于所使用的點集和基函數(shù)具有分層結構,我們可以通過以下的快速變換[69]求得展開系數(shù){bk}k∈xpq以快速變換為基礎,我們對高維空間內(nèi)的函數(shù)進行有效的逼近。此外,結合稀疏網(wǎng)格上的Gauss積分公式,我們給出下面求解高維FBSDEs的數(shù)值算法。算法2.求解高維FBSDEs的k步格式使用這個算法,我們對最高六維的耦合FBSDEs進行求解,并驗證了其高階收斂性。本章提出的求解高維FBSDEs的高階算法,有以下幾點創(chuàng)新之處：1.將稀疏網(wǎng)格方法與譜方法相結合,首次應用到求解高維FBSDEs中。在選取自嵌套的稀疏網(wǎng)格和具有分層結構的基函數(shù)時,快速變換的引入使算法效率大幅提高。2.首次提出求解高維耦合FBSDEs的高階數(shù)值算法。通過概率方法求解FBSDEs,雖然能夠很好的應對維數(shù)災難,但受限于概率方法的精度,很難得到高階算法。另一方面,求解高維的正向SDE,目前可行的方法只有Euler格式。因此,第四章中提出的多步格式是本章中高階算法的重要基礎。最后,在第七章中,我們研究求解隨機最優(yōu)控制問題的數(shù)值方法。根據(jù)推廣的隨機最大值原理,隨機最優(yōu)控制問題可以轉(zhuǎn)化為一個帶有外部最優(yōu)條件的FBSDEs系統(tǒng)。對于這個系統(tǒng),我們首先給出了一個一般的求解算法。然后通過選取適當?shù)膬?yōu)化算法和FBSDEs數(shù)值格式,得到了求解隨機最優(yōu)控制的二階算法。在本章中,我們研究的隨機最優(yōu)控制問題具有以下形式的狀態(tài)方程,其中Wt=(W1,t,…,Wm,t)T是一個m維布朗運動,αt是控制過程。我們的目標是在容許控制集合u中,選取適當?shù)目刂七^程a.使代價泛函J(a.)取得最小值,其中J(a.)具有以下形式,在這里,我們假設αt可以表示成t和Xt的函數(shù),即αt=α(t,Xt).使代價泛函J(a.)達到最小值的控制過程a.被稱為最優(yōu)控制,通常用α9表示,即根據(jù)推廣的隨機最大值原理,我們將上述隨機最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化成了下面帶有最優(yōu)條件的FBSDEs系統(tǒng)。其最優(yōu)條件為求解這個帶有最優(yōu)條件的FBSDEs系統(tǒng),需要使用優(yōu)化算法和FBSDEs的數(shù)值算法,我們分別用ALG.OPTIM和ALG.FBSDE兩個映射來表示。利用這兩個映射,我們提出了下面求解隨機最優(yōu)控制問題的一般算法。算法3.求解隨機最優(yōu)控制問題的一般算法在這個算法中,ρl是一個隨l變化的正實數(shù),Pn,Qn,Yn,Zn和αn*分別表示Ptn,Qtn,YtnZtn和αtn*的數(shù)值解,Pn+,Qn+,Yn+1,Zn+,αn+*的定義如下,在隨機最優(yōu)控制問題中,狀態(tài)方程的漂移和擴散系數(shù)含有未知的控制過程α,t,這使我們無法明確得到b,σ與t和Xt的關系,也就無法使用高精度格式求解狀態(tài)方程。根據(jù)這個特點,我們選取第四章中提出的多步格式來求解FBSDEs,它允許我們使用Euler格式求解狀態(tài)方程,同時保證了αt和Yt數(shù)值解的高階收斂性。這里,我們用映射ALG.FBSDE.Ms-k表示k步格式對應的數(shù)值算法。同時選用投影梯度法來解決優(yōu)化問題,用ALG.OPTIM.GP表示。這樣,我們得到了下面求解隨機最優(yōu)控制問題的二階算法。算法4.求解隨機最優(yōu)控制問題的二階算法在算法中,ALG.FBSDE.EU表示求解FBSDEs的Euler方法,它在整個求解過程的第一步使用,用來計算ALG.FBSDE.Ms-2需要的終端條件。利用所提的二階算法,我們對金融和經(jīng)濟學中的隨機最優(yōu)控制問題進行求解,都取得了良好的效果。本章中對隨機最優(yōu)控制問題數(shù)值算法的研究,有以下幾點創(chuàng)新之處：1.通過FBSDEs的相關理論,首次給出了一個求解隨機最優(yōu)控制問題的一般算法。在這個算法中,針對不同的實際問題,可以通過選取不同的優(yōu)化算法和FBSDEs數(shù)值格式,構造出適合解決此問題的具體算法。2.根據(jù)隨機最優(yōu)控制問題的特點,通過選取恰當?shù)腇BSDEs數(shù)值格式,使算法達到了二階收斂。值得注意的是,這個二階算法是完整的,2步格式需要的終端條件可以由FBSDEs的Euler格式得到,不需要假設額外的終端已知條件,也不需要進行更精細的時間剖分。
[Abstract]:......
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82


本文編號：1618807