本文關(guān)鍵詞：變參數(shù)計量經(jīng)濟學(xué)聯(lián)立模型的局部線性工具向量估計及其性質(zhì)，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

第39卷第6期2009年3月；數(shù)學(xué)的實踐與認識；Vol139No16；March,2009；變參數(shù)計量經(jīng)濟學(xué)聯(lián)立模型的局部線性工具向量估計及；孫燕；(上海財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院,上海200433)；摘要:聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型在經(jīng)濟政策制定、.利；數(shù)計量經(jīng)濟學(xué)聯(lián)立模型研究我國轉(zhuǎn)軌時期的宏觀經(jīng)濟,；關(guān)鍵詞:變參數(shù)計量經(jīng)濟學(xué)聯(lián)立模型;漸近正態(tài)性；1引言；、經(jīng)濟結(jié)構(gòu)分析

第39卷第6期2009年3月

數(shù)學(xué)的實踐與認識

Vol139　No16　

March,2009　

變參數(shù)計量經(jīng)濟學(xué)聯(lián)立模型的局部線性工具向量估計及其性質(zhì)

孫　燕

(上海財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院,上�！�200433)

摘要:　聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型在經(jīng)濟政策制定、.利用變參

數(shù)計量經(jīng)濟學(xué)聯(lián)立模型研究我國轉(zhuǎn)軌時期的宏觀經(jīng)濟,.在經(jīng)濟變量隨機設(shè)計條件下,研究了估計量的大樣本性質(zhì).,擬合效果更優(yōu)..

關(guān)鍵詞:　變參數(shù)計量經(jīng)濟學(xué)聯(lián)立模型;漸近正態(tài)性

1　引　　言

、經(jīng)濟結(jié)構(gòu)分析和經(jīng)濟預(yù)測方面起著重要作用[1].(Robustness),即永遠不會錯誤地估計回歸函數(shù),如,[223];并且當(dāng)回歸變量為一維時,有很好的擬合效果,因此其在計量經(jīng)濟學(xué)中得到了越來越多的關(guān)注[425].但是非參數(shù)方法也有其弱點,其一它要求有大量的數(shù)據(jù),這一點在我國宏觀經(jīng)濟研究中很難滿足;其二當(dāng)回歸變量是高維時,如在一個小型的Klein戰(zhàn)爭之間模型[1]中某個結(jié)構(gòu)方程的解釋變量就有6個,此時估計的收斂速度緩慢,令人很不滿意,且估計極不穩(wěn)定[6].

經(jīng)典的線性聯(lián)立方程雖然簡便,但其假定在整個樣本時序上結(jié)構(gòu)參數(shù)都是恒定不變的.然而,一方面由于影響經(jīng)濟發(fā)展的因素眾多,不同時期內(nèi)隨機因素對被解釋變量的干擾方式及干擾程度不同,另一方面經(jīng)濟結(jié)構(gòu)的變化也使得結(jié)構(gòu)參數(shù)隨時間不同而變化,因此線性聯(lián)立方程容易造成單方程的設(shè)定誤差,致使聯(lián)立方程的累計誤差很大.而我國自1978年改革開放以來,經(jīng)濟環(huán)境發(fā)生了重大的變化,因此利用變參數(shù)計量經(jīng)濟學(xué)聯(lián)立模型研究我國轉(zhuǎn)軌時期的宏觀經(jīng)濟更合理.

設(shè)變參數(shù)計量經(jīng)濟學(xué)聯(lián)立模型中的某結(jié)構(gòu)式方程可表為:

T

Yi=(1,Xi)Βi+ui　i=1,2,…,n

(1)

其中Yi∈R是內(nèi)生被解釋變量,(Y1,X1),…,(Yn,Xn)是Rp+1上獨立同分布的隨機序列,變參數(shù)Βi=(Βi0,Βi1,…,Βip)T,ui是均值為零獨立同分布的隨機變量.本文我們將給出變參數(shù)宏觀經(jīng)濟聯(lián)立模型中Βi的非參數(shù)估計,并在經(jīng)濟變量隨機設(shè)計條件下,證明了估計量的大樣本性質(zhì)(相合性、相合收斂速度和漸近正態(tài)性),其相合收斂速度達到了非參數(shù)估計的最優(yōu)收斂速度.

Robinson

[7]

證明了為使其非參數(shù)估計具有一定的漸近性質(zhì),一個必要條件是Βi依賴于

收稿日期:2006208221

基金項目:國家自然科學(xué)基金(10801093)

6期孫　燕:變參數(shù)計量經(jīng)濟學(xué)聯(lián)立模型的局部線性工具向量估計及其性質(zhì)61

樣本容量n,如對任意的j(0ΦjΦp)有

Βij=Βj(ti),ti=i??n

(2)

這個假設(shè)條件更直觀的解釋是樣本點高度密集時得到的參數(shù)估計才具有相合性,關(guān)于這點

更多的討論可參見[728].單方程變參數(shù)模型(1)最早由Robinson[7]為解決經(jīng)濟問題引入;注意到這個模型與文[9210]研究的泛函系數(shù)時間序列回歸模型密切相關(guān);此外這個模型也被成功運用到了計量經(jīng)濟、金融及其它領(lǐng)域[11213].

2　變參數(shù)的局部線性工具向量估計

相對于一般的核估計,局部線性估計克服了它們在邊界點處的估計偏差收斂速度低于內(nèi)點處估計偏差收斂速度的缺陷,方法適用于各種設(shè)計,如隨機設(shè)計,固定設(shè)計等,可達到100%[14].i,Xi)}ni=1估計(2)中的{Βj(??)}.

在模型(1)中,XiiXip)T中某些分量與隨機誤差項ui

相關(guān),即至少存在某個l,p)Xilui)≠0.又設(shè)Z1,…,Zn是Rp+1上獨立同,i0,i,,Zip)T與Xi相關(guān),但與隨機誤差項ui不相關(guān),即E(Ziui)=0.iXi的工具向量.工具向量可以由經(jīng)濟系統(tǒng)的外生變量或者是內(nèi)生.

對t領(lǐng)域內(nèi)的點ti,Βj(ti)(j=0,1,…,p)可由Taylor展開式逼近為:

Βj(ti)≈Βj(t)+Β′t)j(t)(ti-其中Β′??)表示Βj(??)的一階導(dǎo)數(shù).于是對任意給定的t,Β(t)的局部線性工具向量估計j(

^

Β(t)定義為滿足下列方程組的解:

n

^

∑

i=1

B

i

Yi-A

i

Β(t)

^

(t)Β′

Kh(ti-t)=0(3)

-1

其中BTt)=hK((ti-t)??h),稱K(??)為核i,Ai分別為下列矩陣B,A的第i行,Kh(ti-函數(shù)(即權(quán)函數(shù)),h>0為窗寬,它控制著局部領(lǐng)域的大小,

Z10,Z11,…,Z1p,Z10(t1-t),…,Z1p(t1-t)

B=

??

Zn0,Zn1,…,Znp,Zn0(tn-t),…,Znp(tn-t),…,X

1p

,

t)t)t)

1,X11,…,X

A=

1p

,X

11

(t1-(t1-(tn-

??

1,Xn1,…,Xnp,Xn1(tn-t),…,X

np

注:方程組(3)同時給出了變參數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的估計,若其一階導(dǎo)數(shù)為零則表明結(jié)構(gòu)參數(shù)是常數(shù),本文我們將一并給出這些估計的大樣本性質(zhì).

選擇適當(dāng)?shù)拇皩捠?BTWA)-1存在,則對任意給定的t,由(3)得Β(t)及其一階導(dǎo)數(shù)的估計為:

^

Β(t)=(Ip+1,0p+1)(BTWA)-1BTWYΒ(t)=(0p+1,Ip+1)(BTWA)-1BTWY

(4)(5)

^′

62數(shù)　學(xué)　的　實　踐　與　認　識39卷

其中Ip+1為(p+1)階的單位陣,0p+1為(p+1)階的全零陣,Y=(Y1,…,Yn)T,W=diag(Kh(t1-t),…,Kh(tn-t)).

3　估計的漸近性質(zhì)

首先引入下面的記號:

^^^TT

(t))T,Χ(t)=(ΒT(t),Β′(t))T,H=diag(1,h)??Ip+1,Χ(t)=(ΒT(t),Β′

??T),X??T=(1,XT),8??=E(ZZTu2),Λ=

8=E(ZiXiiiiiiΚ

vΚ=

∫

Κ

tK(t)dt,#=(Λi+j)0Φi,jΦ1

∫

??Κ2T

tK(t)dt,#=(vi+j)0Φi,jΦ1,#1=(Λ2,Λ3)

其中??表示Kronecker內(nèi)積.

為了得到估計量的漸近性質(zhì),:條件1　Βl(??)的二階導(dǎo)數(shù)Β″??)(l=0,1,…,tl(

條件2　核函數(shù)K(??)為具有緊支撐[].

條件3　n→∞時,h→0,→∞.定理1　條件13,(0,1),我們有

-″L-1??-1-1??T-1

(t)-N(0,###??{88(8)})

2特別地,

L″221??

nhΒ(t)-Β(t)-N0,8(8T)-1222

(Λ0Λ2-Λ1)2(Λ0Λ2-Λ1)

^()()

　　注1　E(Βld(t)-Βld(t))=O(h2-d),局部線性工具向量估計是漸近無偏的,

^

22(d)-1-D(Βl(t))=O(nh

^

(2d+1)

),E{Βl(d)(t)-Βl(d)(t)}2=O{h2(2-^

^

^

d)

+n-1h-

(2d+1)

},d=0,1,l=

0,1,…,p,其中Βl

^

(0)

(t)=Βl(t).

P

()

注2　當(dāng)n-1h-2d+1→0時,Βl(d)(t)Βl(d)(t).

55)時,這些估計的均方誤差達到最優(yōu)收斂速度O(n-2(2-d)??),即得變參數(shù)當(dāng)h=O(n-1??

5

),達到了非參數(shù)估計的最Β(t)的局部線性工具向量估計的最優(yōu)相合收斂速度為OP(n-2??

優(yōu)收斂速度[15].

^

下面我們將討論估計量在兩個邊界點處的漸近性質(zhì),如Β(t)在左端點t=ch(0<c<

^

1)上的漸近性質(zhì),同理可得Β(t)在右端點t=1-ch上的漸近性質(zhì).為此對任意ΚΕ0的整數(shù),定義

ΛΚ,c=

??=(v(Λ2,c,Λ3,c)T#c=(Λi+j,c)0Φi,jΦ1,#ci+j,c)0Φi,jΦ1,#1,c=

　　定理2　條件1～3滿足時,估計量在左端點上有

2-1″L^-1??-1-1??T-1

nhHΧ(ch)-Χ(ch)-N(0,#c#c#c??{88(8)})

2

特別地,

22″

^nhΒ(ch)-Β(ch)-2(Λ0,cΛ1,c-Λ22,c)

∫

-c

1

tK(t)dt,vΚ,c=

Κ

∫

-c

1

Κ2

tK(t)dt,

6期孫　燕:變參數(shù)計量經(jīng)濟學(xué)聯(lián)立模型的局部線性工具向量估計及其性質(zhì)

L

63

N

22??0,{8-18(8T)-1}22

(Λ0,cΛ2,c-Λ1,c)

　　注　可見估計量在端點處有類似于其在內(nèi)點處的漸近性質(zhì).

定理的證明見下一部分(第4部分).

4　定理的證明

定理的證明需要用到下面的引理.由積分的黎曼和近似直接可得:引理　當(dāng)條件1、2滿足時,1)對任意的t∈(0,1),有

n

Sn,Κ(t)=nM

-1

∑(h

i=1n

-1

(ti-(ti--1

t))Kh(ti-t))Kh(ti-Κ

2

Κ

t)=ΛΚ(1+o(1)))t)[

-1

n,Κ

(t)=n

-1

∑(h

i=1

n

-1

vΚ(11″

j

Qn,Κ(t)=(2n)

-1

(i(tt)Khti∑Β(Ν)(t

ij

j=0

i

-t)]

2

2ΛΚt)(1+o(1))　　2)Sn,=ΛΚ,c(1+o(1)),Mn,Κ(ch)=h-1vΚ,c(1+o(1))

Qn,Κ(ch)=

2″

hΛ2+Κ,cΒ(0+)(1+o(1))2

其中Κ=0,1,2,Ν.ij位于ti與t之間,j=1,…,p;i=1,…,n

定理1的證明　由于

??″)(t-t)2X1jΒj(Ν1j1pY=AΧ(t)+??+u

2∑j=0

??″)(t-t)2XnjΒj(Νnjn

??是X??的第(j+1)個分量,u=(u,…,u)T.因此,其中X

lj

l

1n

nhH(Χ(t)-

^

Χ(t))=nh(n

p

-1

??″)(t-X1jΒj(Ν1j1

H

-1

(BTWA)H

t)

-12

)-1(2n)-1H

-1

BW

T

??∑

j=0

??

??″)(t-t)2XnjΒj(Νnjn

-1

-1

+nh(nH(BTWA)H

-1

)-1n-1H

-1

BWu≡I1+I2

T

通過直接計算,并由引理的(1)和大數(shù)定律得

-1-1

(BTWA)H-1=#??8(1+oP(1))nH

??″2XΒ(Ν)(t-t)

p

(6)(7)

1jj1j1

(2n)-1H

-1

BW

T

∑

j=0

2″

??=h#1??{8Β(t)}(1+oP(1))

2

??″2XnjΒj(Νt)nj)(tn-2

-1

因此,

I1=

″

2

(8)

64數(shù)　學(xué)　的　實　踐　與　認　識39卷

又

n

nhE(nH

-1-1

BWu)=

T

nhn

-1

∑E(H

i=1

-1

BiKh(ti-l

t)ui)

t)E(Ziui))0ΦlΦ1=0t)ui)t)}

=

cov(

nhnH

-1

-1

nh((h

n

-1

(ti-t))Kh(ti--1

BWu)=hn

T-1

∑cov(H

i=1

BiKh(ti-uiKh(ti-t))

2

2

=hE{H

-1

BiBiH

T-1

2-1

(ti-=h(E(ZiZTiui)(h

j+l

????=#??8(1+o(1))

由中心極限定理可得,

nhH

1

-1

Kh(ti-

2

t))0Φj,lΦ1

BWu

T

L

??N(0,#????(t)8

(9)(10)

結(jié)合式(6)得

I2

L

--N(0,#1

()-1)

??因此由(8)和(10).

5:

Ci=Βi0+Βi1Yi+Βi2Ci-1+Βi3Ci-2+u1i

Ii=Αi0+Αi1Yi+Αi2Yi-Yi=Ii+Ci+Gi

1

+u2i　i=1988,…,2004(11)

其中國內(nèi)生產(chǎn)總值Y、居民消費總額C和投資總額I為內(nèi)生變量,政府消費G(為了實現(xiàn)數(shù)據(jù)

的平衡,將凈出口也包含其中,該數(shù)據(jù)是按照Y2C2I計算出來的)、滯后一期居民消費、滯后二期居民消費、滯后一期國內(nèi)生產(chǎn)總值和常數(shù)項都是外生變量,u1,u2為隨機誤差項.1986～

(2005).2004年的中國宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)(單位:億元)來源于《中國統(tǒng)計摘要》

利用線性聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的識別理論[1],易見消費方程和投資方程都是過度識別的方程,因此該模型系統(tǒng)是可以識別的.以消費方程為例,投資方程類似.對變參數(shù)消費

(1,Gi,Ci-1,Ci-2),采用Epanechnikov方程進行局部線性工具向量估計,取工具向量ZTi=

核函數(shù),即取

0.75(1-t2),　-1<t<12

K(t)=0.75(1-t)+=

0,　others

由交叉驗證法確定h=1.06,得到消費方程在1988～2004年觀察點的平均絕對擬合誤差為291.2.由同樣數(shù)據(jù),利用兩階段最小二乘方法得到的經(jīng)典線性消費方程的平均絕對擬合誤差為456.1.故總的來說,變參數(shù)消費方程的擬合效果優(yōu)于經(jīng)典線性消費方程,并且更符合實際消費理論,要求的數(shù)據(jù)量也不大.又根據(jù)其殘差分布情況(見圖1),在76.5%的觀察點處變參數(shù)消費方程擬合優(yōu)于經(jīng)典線性消費方程,并且其殘差總體分散程度相對要小一些,尤其是改善了經(jīng)典線性模型在1997、2000年較差的擬合狀況.

其中星號表示經(jīng)典線性消費方程的殘差,折線表示變參數(shù)消費方程的殘差.

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12

　

　

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