非線性世界千變?nèi)f化,流體力學(xué)中的非線性問(wèn)題特別多。尋求解決這些非線性問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法是一件非常有意義的工作。同倫分析法是近年來(lái)提出和發(fā)展的一種求解非線性方程級(jí)數(shù)解的解析近似方法�；诖鷶�(shù)拓?fù)渲小巴瑐悺钡母拍?同倫分析法通過(guò)構(gòu)造零階形變方程和高階形變方程將原非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列線性子問(wèn)題。與傳統(tǒng)的攝動(dòng)方法相比,同倫分析法完全不依賴于物理小參數(shù),因此不僅適用于弱非線性問(wèn)題,同樣適用于強(qiáng)非線性問(wèn)題。此外,同倫分析還具有諸多自由性,可以更優(yōu)雅地與物理問(wèn)題本身相結(jié)合。由于這些優(yōu)點(diǎn),同倫分析法已經(jīng)廣泛地被應(yīng)用于力學(xué)、傳熱學(xué)、物理學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、金融學(xué)等各個(gè)自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域。本論文中我們將應(yīng)用同倫分析法求解若干流體力學(xué)和金融數(shù)學(xué)中有著實(shí)際應(yīng)用價(jià)值和理論意義的問(wèn)題。 首先,考察了波流相互問(wèn)題。在深海中,一列行進(jìn)波遇到定常流。來(lái)流的速度剖面具有指數(shù)分布形式。從方程角度,這是一個(gè)橢圓型自由邊界問(wèn)題。通過(guò)坐標(biāo)變換,將自由邊界固定,得到一個(gè)以非線性項(xiàng)為主的控制方程。在采用同倫分析法的時(shí)候,我們從物理角度入手,充分利用同倫分析法具有諸多的自由性,選擇解表達(dá)、線性算子等。在得到收斂的高階結(jié)果之后,我們重點(diǎn)研究了波流共同場(chǎng)中各個(gè)可能關(guān)心的物理量,仔細(xì)分析了波流相互作用后的波速、波高、速度剖面、波形、水微團(tuán)動(dòng)能、波幅衰減等方面的變化。指出波流相互作用的關(guān)鍵是渦量。深水波與均勻流是不會(huì)產(chǎn)生非線性作用的。結(jié)果表明:(1)波浪在順流中比靜水中傳播得快,靜水中又比逆流中傳播的快;(2)順流使得波峰更尖銳、波谷更平坦,逆流的作用則正好相反;(3)波幅和流體速度在沿水深方向上的衰減速度在順流中比靜水中快、在靜水中比逆流中快。我們還將Stokes波浪破碎的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件進(jìn)行推廣,從靜水中的深水波推廣到了非均勻來(lái)流上的深水波。有逆流時(shí),深水波可以比在靜水中更高、更陡。特別地,我們考察了純波和純流這兩個(gè)極端情況。在這兩個(gè)極端情況下,我們的的級(jí)數(shù)解與之前的理論結(jié)果吻合得很好,因此也驗(yàn)證了本方法的有效性。 其次,考察了粘性邊界層流動(dòng)的若干具體實(shí)例(包含本論文的第三至第六章)。在第三章,考察了拉伸平板上的非定常滯止流動(dòng)。非定常邊界層方程是一個(gè)含有非線性項(xiàng)的拋物型方程。我們發(fā)現(xiàn)這類方程具有很大的常微分性質(zhì)。因此,在應(yīng)用同倫分析法時(shí),我們使用的是類似常微分方程的處理方法。與攝動(dòng)解相比,我們得到的高階級(jí)數(shù)解在整個(gè)時(shí)間域上一致有效。我們討論了外部勢(shì)流與平板拉伸速度對(duì)流體速度剖面與表面磨擦系數(shù)的影響。在第四章,考察了多孔介質(zhì)中垂直放置的受熱平板上駐點(diǎn)附近的非定�；旌蠈�(duì)流。同第三章一樣,求得了在整個(gè)時(shí)間域上高階一致收斂的解。并討論了混合傳導(dǎo)系數(shù)對(duì)熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的影響。在第五章,考察了納米邊界層流動(dòng)。實(shí)驗(yàn)和理論表明,在微觀狀態(tài)中,經(jīng)典邊界層理論中的不可滑移條件不再成立。取而代之的是允許一定程度的可滑移條件。采用廣義Navier可滑移條件,我們分別研究了三種常見(jiàn)的邊界層流動(dòng)問(wèn)題:(1)楔角流動(dòng);(2)逐漸變小狹道內(nèi)的流動(dòng);和(3)指數(shù)變化外流驅(qū)動(dòng)的流動(dòng)。得到了高階收斂的級(jí)數(shù)解后,我們討論了滑移長(zhǎng)度和其它物理參數(shù)對(duì)速度剖面與切應(yīng)力的影響。在第六章,考察了兩種常見(jiàn)納米邊界層流動(dòng)的傳熱問(wèn)題,分別是線性Navier條件下的(1)二維滯止流;和(2)三維軸對(duì)稱滯止流。討論了不同流體在有壁面速度滑移與溫度跳躍時(shí)的不同性質(zhì)。 最后,考察了一種常見(jiàn)的金融衍生物——美式看跌期權(quán)問(wèn)題。美式看跌期權(quán)的持有人可以在期權(quán)到期日前的任何一個(gè)交易日以敲定價(jià)格出售一定數(shù)量和質(zhì)量的原生資產(chǎn)。從方程角度來(lái)說(shuō)美式看跌期權(quán)問(wèn)題是一個(gè)具有移動(dòng)邊界性質(zhì)的拋物型方程。同第二章的波流自由邊界問(wèn)題相比,美式期權(quán)問(wèn)題的移動(dòng)邊界在到期日存在奇性。在運(yùn)用同倫分析法時(shí),我們使用了一個(gè)復(fù)雜偏微分線性算子,結(jié)合Laplace變換求得形式解,然后對(duì)形式解做泰勒展開(kāi)近似。這個(gè)思路為以后同倫分析法求解復(fù)雜非線性問(wèn)題提供了借鑒價(jià)值。與前人工作相比,本文的最大貢獻(xiàn)在于:(1)拋棄了固定移動(dòng)邊界的Landau變換,或者類似的變換,而是在同倫分析法的框架下直接求解。因此,運(yùn)用該方法求解自由(移動(dòng))邊界問(wèn)題具有普遍意義;(2)給出了一個(gè)在實(shí)際金融環(huán)境下足夠精確的最佳實(shí)施邊界的顯式表達(dá)式。推導(dǎo)過(guò)程中沒(méi)有進(jìn)行任何數(shù)值計(jì)算,也不包含任何待定參數(shù);(3)近似解的收斂速度很快。運(yùn)用本論文推導(dǎo)的公式只需要幾秒鐘就可以得到精確的解;(4)所有之前的解析近似公式都只能適合有效期非常短的期權(quán)(例如:一、兩個(gè)月)。而我們推導(dǎo)的解析近似解可以在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)有效(例如:兩、三年)。采用了Pad′e方法之后,我們的近似解可以應(yīng)用于具有更長(zhǎng)有效期的期權(quán)。就作者所知,如此精確,而且形式簡(jiǎn)潔的近似解是第一次提出。 綜上所述,從方程角度,本論文重點(diǎn)關(guān)注具有自由(移動(dòng))邊界性質(zhì)的偏微分方程。分別為:具有自由液面的波浪方程,和具有最佳實(shí)施邊界的Black-Sholes方程。從問(wèn)題本身,本論文重點(diǎn)關(guān)注了流體力學(xué)中的波流相互作用、納米邊界層流動(dòng)、非定常邊界層流動(dòng)等問(wèn)題,和金融學(xué)中的美式看跌期權(quán)問(wèn)題。 本論文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)可以從力學(xué)、金融學(xué)和數(shù)學(xué)三方面來(lái)概括。 一、在力學(xué)上 (1)首次提出了不僅適合弱非線性,同樣適用于強(qiáng)非線性條件的波流相互作用的解析方法。波浪不必是小幅波,來(lái)流也不必是弱流。揭示了深水波與來(lái)流相互作用的鍵是來(lái)流的渦量。 (2)對(duì)幾種非定常邊界層流動(dòng),第一次給出了在整個(gè)時(shí)間域上一致有效的級(jí)數(shù)解。 二、在金融學(xué)上 (3)首次給出了在實(shí)際金融環(huán)境下非常精確的美式看跌期權(quán)最佳實(shí)施邊界的解析近似。與所有之前的解析近似解相比,我們得到的解析近似解不包含任何待定參數(shù),是一個(gè)顯式的表達(dá)式,它的有效范圍至少擴(kuò)大15倍。 三、在數(shù)學(xué)上 (4)運(yùn)用兩種不同的途徑求解自由(移動(dòng))邊界問(wèn)題。在波流問(wèn)題中,通過(guò)引入一個(gè)坐標(biāo)變換將自由邊界問(wèn)題轉(zhuǎn)化為固定邊界問(wèn)題之后進(jìn)行求解。而在美式看跌期權(quán)問(wèn)題中,我們使用的是在同倫分析法的框架下直接求解。其中第二種途徑具有普遍意義。 (5)在波流問(wèn)題中,我們提出了從物理背景角度,而不是方程本身選取線性算子。線性算子可以與原方程的形式無(wú)關(guān)。結(jié)合物理背景的求解思路大大簡(jiǎn)化了非線性方程的求解過(guò)程。 (6)在同倫分析法的框架下求解美式看跌期權(quán)方程時(shí),首次采用了一個(gè)復(fù)雜偏微分線性算子。結(jié)合Laplace變換,得到原問(wèn)題的形式解。然后對(duì)形式解做泰勒展開(kāi)求得級(jí)數(shù)近似。這個(gè)方法豐富了同倫分析法,為日后求解復(fù)雜偏微分方程問(wèn)題提供了一條新的思路。 本論文的工作不但進(jìn)一步探討了同倫分析法在不同領(lǐng)域、不同類型問(wèn)題中的應(yīng)用,更為實(shí)際力學(xué)、工程和金融問(wèn)題提供了可供參考的理論依據(jù)。
【學(xué)位單位】：上海交通大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位年份】：2008
【中圖分類】：F224;F830

【引證文獻(xiàn)】

相關(guān)博士學(xué)位論文 前3條

1 尤翔程;同倫分析方法在流體力學(xué)和時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)中的應(yīng)用[D];上海交通大學(xué);2011年

2 吳榮興;各向異性壓電板非線性高頻振動(dòng)方程及其求解研究[D];寧波大學(xué);2012年

3 樊濤;同倫分析方法在邊界層流動(dòng)及納米流體流動(dòng)問(wèn)題之應(yīng)用[D];上海交通大學(xué);2012年

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前2條

1 李文赫;一般級(jí)數(shù)展開(kāi)法的理論與應(yīng)用研究[D];東北石油大學(xué);2011年

2 牛照;非線性問(wèn)題的優(yōu)化同倫分析方法[D];上海交通大學(xué);2010年

本文編號(hào)：2826286